如果一个数列收敛，那这个数列倒数组成的数列手链吗

如果一个数列的任一子数列都收敛并且收敛于同一值，那么这个数列收敛吗？~

如果一个数列的任一子数列都收敛并且收敛于同一值，那么这个数列收敛。
任一数列中都能取出一个单调子列，证：
引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项，则称这一项是一个“龙头”。7分2种情况：
1、如果在数列中存在无穷多个“龙头”，那么把这些作为“龙头”的项依次取出来，得到一个严格递减的数列。
2、这个数列中只有有限多个项（包括0）可以作为“龙头”，取出最后一个“龙头”的下一项（如果没有龙头就取数列的第一项），记作a（i（1）），由于a（i（1））不是“龙头”。
在它后面必有一项a（i（2）），满足a（i（1））i（1）；又因为a（i（2））也不是“龙头”，在它后面也必可找到一项a（i（3）），满足a（i（2））i（2）。
依次进行下去，得到的子列a（i（n）），它显然是一个递增的子列．所以任一数列中都能取出一个单调子列．下面证明数列a（n）有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。
证明：
当数列a（n）有界，对a（n）中的任一子序列a（i（n）），利用上述结论，能从a（i（n））中取出一个单调的子序列a（i（n（k）））；又因为a（n）有界，那么a（i（n（k）））也有界，单调有界数列必有极限。
所以a(i(n(k)))收敛,即a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列.必要性得证.当a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列时,这里用用反证法来证明a(n)有界。
假设a(n)无界,即对任给的A>0,存在自然数 n ,使得|a(n)|>A ；现取A=1,存在n(1),使得|a(n(1))|>1 ；取A=2,存在n(2),使得|a(n(2))|>2 。
.取A=k,存在n(k),使得|a(n(k))|>k ；.这样得到a(n)的一个子列 a(n(k)) ,满足 |a(n(k))|>k ,根据题目条件,a(n)中的任一子序列有收敛子列,那么 a(n(k)) (这是关于k的数列)有收敛子列,然而从 |a(n(k))|>k 这一点上。
可知 a(n(k)) 不可能有收敛子列,矛盾.所以 a(n) 有界.充分性得证.综上所述,数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。

扩展资料


A（n）数列收敛：显然任意子列收敛，当然有一子列收敛。
设A(nk)是A(n)的一个收敛于a的子列,于是对任给ε>0,存在K,当k>K时有：
｜A（nk）－a｜
用N－ε定义来做
对任意ε>0,都存在N1使任意N>N1时│aN-a│N2时│aN-a│2NO+1。
│aN-a│0，存在对应的K1，使任意k>K1时，│a(2k)-A│K2时，│a(2k+1)-A│<ε。
取K0＝max｛K1，K2｝，N＝2K0＋1。当n＞N＝2K0＋1时。
①若n为偶数2k，则n＞N=2K0+1 就是 2k＞2K0+1＞2K1+1＞2K1，k＞K1，恒成立 |a(n)-A|=|a(2k)-A│<ε。
②若n为奇数2k+1，则n＞N=2K0+1 就是 2k+1＞2K0+1＞2K2+1，k＞K2，恒成立 |a(n)-A|=|a(2k+1)-A│<ε，这样，无论n是偶数还是奇数，恒成立 |a(n)-A|＜ε。

可能收敛，也可能发散。

数列收敛，指的就是数列有极限。
数列发散，指的就是数列无极限。
乘积无极限的情况
an=2,2,2,2…………，这个数列收敛，极限是2
bn=1,2,3,4…………，这个数列发散，无极限
anbn=2,4,6,8…………，乘积无极限，发散。
乘积收敛的情况
an=0,0,0,0…………，这个数列收敛，极限是0
bn=1,2,3,4…………，这个数列发散，无极限
anbn=0,0,0,0…………，乘积收敛，极限是0

不一定。

收敛的例子：
an=(2n²+n+1)/(3n²+n+1)
n→∞，{an}收敛于⅔
1/an=(3n²+n+1)/(2n²+n+1)
n→∞，{an}收敛于3/2，仍然是收敛的。

不收敛的例子：
an=1/n
n→∞，{an}收敛于0
1/an=n
n→∞，an→∞，数列不收敛。

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金华市13791908891： 如果一个数列收敛,那这个数列倒数组成的数列手链吗 - ？
米虹左福： 不一定.收敛的例子:an=(2n²+n+1)/(3n²+n+1) n→∞,{an}收敛于⅔1/an=(3n²+n+1)/(2n²+n+1) n→∞,{an}收敛于3/2,仍然是收敛的.不收敛的例子:an=1/n n→∞,{an}收敛于01/an=n n→∞,an→∞,数列不收敛.

金华市13791908891： 极限的性质 - ？
米虹左福： 极限的性质: 1、唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的,且它的任何子列的极限与原数列的相等; 2、有界性:如果一个数列收敛(有极限),那么这个数列一定有界. 但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛.例如数列1,-1,1,-1,……,(-1)n+1 ,……

金华市13791908891： 如果一个数列的级数收敛,那么这个数列一个无限的子列是否收敛,又如何证明呢? - ？
米虹左福：[答案] 这个数列的无限子数列也收敛,而且收敛到母数列的极限值,证明很简单.比如数列a1,a2,a3...an...收敛到A,它的子数列无非就是在这个数列中抽值,比如子数列是a2,a6,a11...am...,由于当n>N时有|an-A|解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解...

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金华市13791908891： 数列收敛和数列极限唯一是一回事吗 - ？
米虹左福： 数列收敛是说数列的一个性质,数列极限唯一是一个命题..放在一起怪怪的 二者关系是这样的: 如果数列收敛,则必有极限,这个极限是唯一的; 反过来,如果数列有极限,则数列收敛.

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米虹左福： 极限不存在. 分析过程如下: (1)1/x当x趋于0+时,是正无穷大. (2)1/x当x趋于0-时,是负无穷大. (3)故1/x的极限不存在. 函数极限是高等数学最基本的概念之一,导数等概念都是在函数极限的定义上完成的.函数极限性质的合理运用.常...

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