证明：如果整数a，b满足（a，b）=1，那么（a+b，a-b）=1或者2
设（a+b，a-b）=k，k为大于2的整数。a+b=i*ka-b=j*k=>a=（i+j）/2*kb=（i-j）/2*k如果a，b同为奇数，如果k是奇数，则i和j必定都是偶数，（i+j）/2和（i-j）/2显然能被2整除，（a，b）=k。
与已知条件矛盾；如果k是偶数，如果k=4，则a，b都是偶数，所以，k不可能等于4。k>4=>（a，b）=k/2，与已知条件矛盾。如果a，b一个是奇数一个是偶数，i，j，k必须都是奇数。=>（i+j）/2和（i-j）/2显然能被2整除，（a，b）=k。
正整数
它是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“1头牛，2头牛”或是“5个人，6个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。
因为(a,b)=1
所以存在u,v使得ua+vb=1
所以u(a+b)+(u-v)(-b)=1
v(a+b)+(u-v)a=1
把以上两式相加得(u+v)(a+b)+(u-v)(a-b)=2
如果a+b被2整除，那么a-b也被2整除，我们可得(a-b,a+b)=2
如果u+v被2整除，那么u-v也被2整除，我们可得(a-b,a+b)=1；
如果a+b不被2整除,u+v不被2整除，那么a-b也不被2整除，u-v也不被2整除，此时必然u,v,a,b均为奇数，这与ua+vb=1矛盾。
设（a+b，a-b）=k。
k为大于2的整数。a+b=i*ka-b=j*k=>a=（i+j）/2*kb=（i-j）/2*k如果a，b同为奇数，如果k是奇数，则i和j必定都是偶数，（i+j）/2和（i-j）/2显然能被2整除，（a，b）=k。
与已知条件矛盾；如果k是偶数，如果k=4，则a，b都是偶数，所以，k不可能等于4。k>4。
=>（a，b）=k/2，与已知条件矛盾。如果a，b一个是奇数一个是偶数，i，j，k必须都是奇数。=>（i+j）/2和（i-j）/2显然能被2整除，（a，b）=k，与已知条件矛盾。所以，假设不成立。=>（a+b，a-b）=1或者2。
区别联系
整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数b除以数a（a≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说b能被a除尽（或说a能除尽b）。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。
设(a+b,a-b)=k,(k为整数)
则存在两个互质的整数m,n使得：
a+b=mk,a-b=nk。
解得：a=(m+n)k/2,b=(m-n)k/2。
由题意：（(m+n)k/2，(m-n)k/2）=1。
若m,n同为奇数，则m+n,m-n都为偶数，（(m+n)k/2，(m-n)k/2）=k=1。
若m,n为一个奇数、另一个为偶数，则m+n,m-n都为奇数，则k为偶数,此时，k=2。
其他算法
证明：
1)充分性：因为as+bt=1,设c=(a,b),则c整除a和b,所以c整除as+bt,即c整除1,所以c=1,即a和b互质。
2)必要性：因为a和b互质，所以(a,b)=1。
考虑非空集合a={as+bt│s,t为任意整数},不妨设a0是a中最小正整数且a0=as0+bt0,y是a中任意一个元素，由带余除法 y=as+bt=q(as0+bt0)+r,0<=r。
设(a+b,a-b)=k k为大于2的整数。
a+b=i*k
a-b=j*k
=>a=(i+j)/2*k
b=(i-j)/2*k
如果a,b同为奇数，如果k是奇数，则i和j必定都是偶数，(i+j)/2和(i-j)/2显然能被2整除，(a,b)=k 与已知条件矛盾；如果k是偶数，如果k=4，则a,b都是偶数，所以，k不可能等于4。k>4 =>(a,b)=k/2，与已知条件矛盾。
如果a,b一个是奇数一个是偶数，i,j,k必须都是奇数。=>(i+j)/2和(i-j)/2显然能被2整除，(a,b)=k 与已知条件矛盾。
所以，假设不成立。
=>(a+b,a-b)=1或者2
希望能解决您的问题。
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丹东市13338417375： 证明:如果实数a、b满足a^2+b^2=0,那么a=0且b=0(用反证法) - ？
宏知贝洛： 反证:若a,b中有一不为0不妨设a不为0则a^2+b^2>=a^2>0与已知矛盾所以a=0且b=0
