为什么无穷小替换要注意阶数呢？
同样的无穷小，阶数不同，比值的极限会不同。
因此不能随意舍弃高阶的无穷小。
比如，x 趋于 0 时，单纯的求 xcosx-sinx 的极限，完全可以用 x 替换 sinx，1 替换 cosx ！！
但求 (xcosx-sinx)/x^3 的极限时，就不能用 x 替换 sinx，因为要与 x^3 比较，
所以必须用 x-x^3/6 替换 sinx 。同理也必须用 1-x^2/2 替换 cosx 。
至于 e^x-1 等价于 x 的问题，也不能一概而论。
总之，无穷小替换要恰到好处，阶数高了没用，阶数低了出错。
等价无穷小的使用注意事项
2.在计算有理函数（分式函数）的极限时，用无穷小替换需要注意：替换可以对分式的分子或分母的因子进行；但当分子或分母是多项式时，一般不能只对其中的某些项进行无穷小替换，甚至对所有项分别替换都是不可以的！一个最典型的例子是：求当x－> 0，函数(tanx-sinx)\/ x^3的极限时，如果用tanx~x、...
等价无穷小替换有哪些要求?
1、等价无穷小替换需要在自变量的特定变化范围内进行。一般来说，只有当自变量的变化导致因变量的变化足够小，即因变量的值远大于自变量的值时，我们才能安全地进行等价无穷小替换。例如，当x→0时，sin（x）和x是等价无穷小。2、加减法中的等价无穷小替换需要满足一定的条件。在求极限的过程中，加减法...
使用等价无穷小替换的条件
4、运用泰勒公式法。在某些无法直接代换的情况下，运用泰勒公式法可以间接进行等价无穷小代换。这种方法对于高阶等价无穷小代换有较好的应用效果。使用等价无穷小替换的注意事项：1、确定无穷小所在位置。在进行等价无穷小替换时，必须先确定哪些量是无穷小。在函数中，无穷小通常出现在分子、分母或函数中的...
无穷小的替换公式是什么?
等价无穷小替换公式如下 :以上各式可通过泰勒展开式推导出来，等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。注意 1、0是可以作为无穷小的常数。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展...
等价无穷小替换的使用条件
1、等价无穷小替换是指在求极限时，可以用一个与被代换的量等价的无穷小来替换它。具体来说，如果存在另一个无穷小量，当它与被代换的量趋于同一个值时，它们的比值的极限为1，则称这两个无穷小量是等价的。2、等价无穷小替换的用法是在求极限时，将复杂的无穷小表达式简化，从而更容易求出极限值...
等价无穷小的替换公式是什么?
需要注意的是，等价无穷小替换只能在乘除极限中直接用，加减极限时不可以直接用。此外，在替换过程中，我们需要保持替换前后函数的自变量一致，并且替换后的函数应该是一个简单的、易于处理的形式。总之，等价无穷小替换是微积分中的一个重要工具，它可以帮助我们简化复杂的极限计算过程。通过掌握常见的等价...
无穷小替换有什么条件吗?
=lim sinx\/x+lim tanx\/x+lim x\/x=lim x\/x+lim x\/x+lim x\/x=1+1+1=3注意因为x->0时sinx\/x和tanx\/x以及x\/x的极限都存在，所以能这样做。如果不满足这个条件，得到的答案十有八九都是错的 所以按照书本指定的做法来做才是万无一失的，既不应该也不需要用这些偏门又危险的做法 ...
高数 等价无穷小替换问题
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或...
求极限时使用等价无穷小的条件
二、结构相同或相似的式子可以进行等价无穷小替换。在应用等价无穷小替换时，必须保证替换前后的式子结构相同或相似。例如，对于乘积形式的极限，可以分别对其因子进行等价无穷小替换。三、注意等价无穷小的精度。等价无穷小替换虽然可以简化计算，但并非绝对精确。在某些情况下，需要考虑等价无穷小的精度问题，...
等价无穷小的替换原则是什么?
等价无穷小替换三个原则是：乘除可换、加减忌换和按部就班，其详细内容如下：1、乘除可换：乘除可换是因为乘法和除法满足结合律。在数学中，结合律是指在一个包含几个运算的算式中，运算的顺序不影响运算的结果。对于乘法和除法运算而言，无论改变其运算的顺序，其结果都不会发生改变。2、加减忌换：...
徐常柏康： 在应用等价无穷小代换定理求极限时要特别小心,一般情况下强调对分子或分母的乘积因子可以应用等价无穷小代换,从而简化极限运算.其他情况不要用.
香港特别行政区15347389547： 无穷小的等价代换是不是一定要0/0型才能用?请说说无穷小等价代换? ？
徐常柏康： 无穷小的等价代换并不是一定要0/0型才能用,在0*∞型的“0”部分也可以代的,因为归根结底,0*∞可以转化为0/0型. 所以你不要记住什么型才可以代,而是 【只要记住...
香港特别行政区15347389547： 简单的等价无穷小替换? - ？
徐常柏康： 等价无穷小代换一定要注意和几阶的无穷小比较. 比如:lim{x->0} [x-ln(1+x)]/x^2 = 1/2 中, ln(1+x) ~ x - (1/2) x^2.如果只取一项会得出错误的结果. 同样,ln(1+x²)和ln (1+ x³)可能要取多项,取决于要比较的无穷小的阶数.
香港特别行政区15347389547： 无穷小的替代为什么在加减中不能用 - ？
徐常柏康： 比如e^x-1-x 当x --> 0 , e^x-1 -->x ,若替代则e^x-1-x=0; 实际上, e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……,e^x-1-x=x^2/2!+x^3/3!+……, 这牵扯到高阶无穷小量的问题,学了talor公式就知道了
香港特别行政区15347389547： 高数微积分 等价无穷小代换时要注意些什么,好像记得有的时候不能用 是加减还是什么乘除 记不太清了 - ？
徐常柏康： 是加减,就是说两个式子相加你可以把它写合在一起为一个式子再取极限,但是一个式子你不能随便拆开成两个式子相加减再去极限
香港特别行政区15347389547： 无穷的等价替换的规律以及注意点【最好举几个典型的例子】 - ？
徐常柏康： 无穷小等价替换吗?要注意只有乘积和商才能替换,和、差时不能替换.如(tanx-sinx)/x^3,分子就不能替换,要变形为乘积后才能替换.tanx-sinx=tanx(1-cosx),这是可以替换了.
香港特别行政区15347389547： 无穷小的等价代换的条件是自变量趋于0还是函数值趋于0 - ？
徐常柏康： 要用无穷小替换的话函数值肯定要趋于0,自变量因函数而异,不一定要趋于零. 比如x趋于0时,sinx和x是等价无穷小.同样地,x趋于1时,sin(x-1)和(x-1)也是等价无穷小.
香港特别行政区15347389547： 利用等价无穷小代换时应注意什么 - ？
徐常柏康： 首先,替换条件是自变量趋于0时才可以的.所以才叫等价无穷小 其次,如果结果减为0了,需要再展开更深一步,比如说分子sin(1/x)可以展成1/x,tan(1/x)也可以展开成1/x,但是二者相减为0了,需要多展开一步,sin(1/x)需要展开成1/x-1/(6*x^3) 同时tan(1/x)可展开成1/x+1/(3*x^3) 有时间看看泰勒级数那部分就明白了~
香港特别行政区15347389547： 在等价无穷小替换时,分子分母都要为无穷小 才能替换? - ？
徐常柏康： 这个主要是要看精确度.如果分子分母的精确度一样就可以直接用等价无穷小代替.通俗来说即分子分母次数相同.但是这样也要分情况来说.乘除可以直接替换,遇到分子分母中有加减的,注意要保证精确度的情况下才能替换.
香港特别行政区15347389547： 等价无穷小在加减中替换的条件???? - ？
徐常柏康： 加减项中如果每一项都是无穷小,各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0,则是可以替换的.用泰勒公式求极限就是基于这种思想. 举一个例子让你明白: 求当x→0时,(tanx-sinx)/(x^3)的极限. 用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2. 我们知道,当x→0时,tanx~x,sinx~x,若用它们代换,结果等于0,显然错了,这是因为x-x=0的缘故; 而当x→0时,tanx~x+(x^3)/3,sinx~x-(x^3)/6,它们也都是等价无穷小(实际上都是3阶麦克劳林公式),若用它们代换:tanx-sinx~(x^3)/2≠0,就立即可以得到正确的结果.
