高数 等价无穷小替换问题
1、“等价无穷小的替换一般发生在计算两个无穷小的比值的极限（或者说是两个无穷小极限值之比）时”。
[评析] 完全正确！
2、“等价无穷小在是乘除时可以替换，加减时不可替换”。
[评析] 不完全对！
如果只是无穷小之间的加加减减时，结果一定还是无穷小，完全可以替代。
如果加减时，还涉及到其他运算，则不能一概而论。
只要是等价无穷小，都可以替换。
3、“在计算等价无穷小之比的极限时，理论上要替换，是要替换掉分子上的无穷小（整个式子），或者分母上的无穷小（整个式子），这时其实是将整个分子或分母当作一个无穷小”。
[评析]：完全正确！
4、“而如果分子或分母上的无穷小不是由一个因式（如单单一个SIN X,或tan X）构成的，而是由多个因式通过相乘除或相加减构成的，如 ln（1+x）* x 和ln（1+x）+ x 。那么可以找一个与ln（1+x）* x 或 ln（1+x）+ x 的等价无穷小量来替换他。
因为ln（1+x）*X 这个无穷小是由两个因式 想乘而成的，所以替换掉其中一个ln（1+x）为 x，之后形成的x^2 就是ln（1+x）* x的 等价无穷小，所以可以替换。而ln（1+x）+ x ，因为其是由两个因式相加而形成的无穷小量，所以如果替换掉ln（1+x）为X，而形成的2X不是ln（1+x）+ x的等价无穷小，所以也就不能替换”。
[评析]：楼主被网上误导了！
x 与 ln(1+x） 是同价无穷小
x^2 与 x*ln(1+x) 仍然是同价无穷小 。
2x 与〔x + ln(1+x)〕也是同价无穷小。
楼主后面受网上误导不浅。赶紧纠正。
要无穷小且等价才能在乘除运算中替换。
limsinx/x = 1， sinx 是无穷小，且与 x 是等价无穷小，故可代换。
limsinx/(2x) = 1/2 ， sinx 是无穷小，但与 2x 不是等价无穷小，故不可代换。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理
lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)
其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：
f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！
问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为
ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，
所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么
ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，
此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：
ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)
那么
ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)
这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。
亲，多做题，自然就能找到规律。
市永双歧： 1、“等价无穷小的替换一般发生在计算两个无穷小的比值的极限(或者说是两个无穷小极限值之比)时”. [评析] 完全正确! 2、“等价无穷小在是乘除时可以替换,加减时不可替换”. [评析] 不完全对! 如果只是无穷小之间的加加减减时,...
九寨沟县13962618506： 能帮忙总结下高数常见的等价无穷小的替换吗?书上找不到啊... - ？
市永双歧：[答案] 在x->0时 sinx~tanx~ln(1+x)~e^x-1~arcsinx~arctanx 1-cosx~1/2x^2 a^x-1~xlna (1+x)^(1/n)-1~(1/n)x 另外,等价无穷小可以传递
九寨沟县13962618506： 高数.求极限时候等价无穷小替换的问题 - ？
市永双歧： 很显然不能,在加减中直接代入等价无穷小会丢失高阶无穷小导致结果错误 正确的做法是使用sinx = x - x^3/6 + o(x^4) x^2 - sin^2(x) = x^2 - (x^2 - x^4 / 3 + o(x^5) ) = x^4/3 + o(x^5) 所以极限是1/3
九寨沟县13962618506： 高数等价无穷小因子替换(题) - ？
市永双歧： 分母是怎么消掉的?---------------------这并非消去了分母,而是在求极限时,1+(sinx)^2中(sinx)^2是无穷小,而1不是无穷小,略去它不影响极限值,故将(sinx)^2略去了.或者说用1替换了1+(sinx)^2.
九寨沟县13962618506： 高数极限用等价无穷小替换做!!!怎么做?? - ？
市永双歧： 因为本题的极限是分母趋向于0,而结果是存在的,所以, 分子的极限也必须趋向于0,得到 a + b = 1. . 本题的解答方法是运用等价无穷小代换; 具体解答如下,若有疑问,欢迎追问,有问必答,有疑必释. . 若点击放大,图片更加清晰. . . 【敬请】 敬请有推选认证《专业解答》权限的达人, 千万不要将本人对该题的解答认证为《专业解答》. . 一旦被认证为《专业解答》,所有网友都无法进行评论、公议、纠错. 本人非常需要倾听对我解答的各种反馈,请不要认证为《专业回答》. . 请体谅,敬请切勿认证.谢谢体谅!谢谢理解!谢谢!谢谢!
九寨沟县13962618506： 求教一道关于等价无穷小代换的极限高数题~ - ？
市永双歧： sin(1/x)换成1/x是在1/x趋近于0时才能用 你这题是x趋近于0就是1/x趋近于无穷大,不能用 1/x趋近于无穷大的时候sin(1/x)是有界函数,x又趋近于0,一个无穷小量乘以有界量的极限是0
九寨沟县13962618506： 高等数学 无穷小等价代换问题 - ？
市永双歧： ....sin^2x~2x 那俩都不对 是把sin后边的看成一个整体用的
九寨沟县13962618506： 关于等价无穷小代换的问题,进行一次等价无穷小是只能替换一个吗,例如lim(x - >0)x^2sin(1/x)/sinx 这个式子在解答时,先用等价无穷小替换sinx,然后求lim(... - ？
市永双歧：[答案] 只有x趋于0,x和sinx才是等价无穷小 x趋于0,1/x趋于无穷 所以此时1/x和sin(1/x)不是等价无穷小 而是一个是无穷大,一个是有界
九寨沟县13962618506： 高数中的等价无穷小在什么情况下可以使用 - ？
市永双歧：[答案] 在计算极限的时候,可以将复杂的式子用它的等价无穷小代替 比如,当x→0时, lim ln(1+x)/x =1,即是ln(1+x) 和 x 在x→0为等价无穷小 则 x→0时, lim ln(1+x^2)/(x^2+1)=lim x^2/(x^2+1) =0 但是等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时...
九寨沟县13962618506： 一道关于等价无穷小替换的高数题 - ？
市永双歧： 分母替换是正确的,sinx/3可继续替换为x/3.分子这样做: sinx-tanx=tanx(cosx-1)~x*(-x^2/2)=-x^3/2(x->0)所以最终答案为lim{x->0}(-x^3/2)/(x^3/9)=-9/2.
