什么是收敛高数？收敛函数和有界函数的区别？

高数：收敛，有界，有极限 之间的联系与区别到底是什么？~

收敛是指会聚于一点，向某一值靠近。如数列收敛，函数收敛的定义。
数列收敛
令{a n}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|a n-A|<b恒成立，就称数列{a n}收敛于A（极限为A），即数列{a n}为收敛数列。
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。
如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
函数极限
设函数f(x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<∣x0-x∣<δ时，对应的函数值f(x）都满足不等式：

那么常数A就叫做函数f(x）当x－﹥x0时的极限。
函数有界，但不一定收敛。比如函数y=sinx此类的三角函数是发散的。
函数收敛，但不一定有界，比如函数y=1/n，n为自然数，y=1/n是无界的。
函数极限存在，根据单调有界准则，函数必定收敛。
函数极限存在，根据极限的有界性，函数必定有界。
函数有界，但不一定存在极限；根据单调有界准则，函数极限应存在上界和下界才能成立。此外函数有界有存在单侧有界的情况。
扩展资料:
函数极限存在准则
1、夹逼定理
当x0在δ的去心邻域时，有g（x）－﹥x0=A，h（x）－﹥x0=A成立，且∣a m-a n∣<ξ，那么，f(x)极限存在，且等于A。
2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。
一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。
3、柯西准则
数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有极限值为A成立。
参考资料来源：百度百科-函数极限
参考资料来源：百度百科-函数的有界性
参考资料来源：百度百科-收敛

收敛函数：若函数在定义域的每一点都收敛,则通常称函数是收敛的.函数在某点收敛,是指当自变量趋向这一点时,其函数值的极限就等于函数在该点的值.
有界函数：对于定义域中的任意一个值,相应的函数值都在一个区间内变化（也就是函数值的绝对值总小于某一个固定值）,那函数就是有界的.
收敛函数一定有界（上下界分别就是函数的最大和最小值）
但是有界函数不一定收敛,如f(x)在x=0处f(0)=2,在其他x处f(x)=1,那么f(x)在x=0处就不是收敛的,那么f(x)就不是收敛函数,但是f(x)是有界的,因为1≤f(x)≤2

收敛函数：若函数在定义域的每一点都收敛，则通常称函数是收敛的。函数在某点收敛，是指当自变量趋向这一点时，其函数值的极限就等于函数在该点的值。有界函数：对于定义域中的任意一个值，相应的函数值都在一个区间内变化（也就是函数值的绝对值总小于某一个固定值），那函数就是有界的。收敛函数一定有界（上下界分别就是函数的最大和最小值）但是有界函数不一定收敛，如f(x)在x=0处f(0)=2，在其他x处f(x)=1，那么f(x)在x=0处就不是收敛的，那么f(x)就不是收敛函数，但是f(x)是有界的，因为1≤f(x)≤2

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章丘市19586186761： 什么是收敛函数和有界函数?两者有何区别 - ？
一京佳蓉：[答案] 收敛函数:若函数在定义域的每一点都收敛,则通常称函数是收敛的.函数在某点收敛,是指当自变量趋向这一点时,其函数值的极限就等于函数在该点的值.有界函数:对于定义域中的任意一个值,相应的函数值都在一个区间内变化...

章丘市19586186761： 收敛函数的定义是? - ？
一京佳蓉：[答案] 收敛函数就是趋于无穷的(包括无穷小或者无穷大),该函数总是逼近于某一个值,这就叫函数的收敛性,也就是说存在极限的函数就是收敛函数. 从字面可以含义,就可理解为,函数的值总被某个值约束着,就是收敛

章丘市19586186761： 有界函数是否是收敛函数?举例说明 - ？
一京佳蓉：[答案] 有界函数均收敛~有界函数即是不发散,不发散也就是收敛~

章丘市19586186761： 什么是有界函数,什么是收敛函数 - ？
一京佳蓉： 我的以下这些说法正确吗? 1.收敛数列一定有界. 2.收敛数列不一定单调 你这两个提法都是正确的. 单调有界函数并收敛 单调的有界函数并不一定收敛,如分段函数f(x)=1 0<1 f(x)=2 1<2 在(0,2)上有任意x1小于等于x2,f(x1)小于等于f(x2)但“极限”是1或2,也就是说两个“极限”,即极限不存在 而且也许是我孤陋寡闻,我发现对于一般函数,只听说有函数的极限是某某,或者顶多说极限为无穷,没听说讨论敛散性,只有反常积分,和函数项级数那里看到了“收敛”这个词. 敛散性是在无穷区间上讨论的问题,所以单调函数在由穷区间内没听说讨论敛散性的

章丘市19586186761： 函数收敛是什么意思 ？
一京佳蓉： 函数收敛是由对函数在某点收敛定义引申出来的函数在某点收敛,是指当自变量趋向这一点时,其函数值的极限就等于函数在该点的值若函数在定义域的每一点都收敛,则通常称函数是收敛的有界和收敛不一样,有界就是说函数的值的绝对值总是小于某个数有界和收敛的关系如下:收敛肯定是有界的,但是有界却不一定收敛,比如f(x)恒等与1,但是f(0)=2,则函数在0这点就不是收敛的

章丘市19586186761： 高等数学中的“收敛”是什么意思? - ？
一京佳蓉： 收敛是一个经济学、数学名词,是研究函数的一个重要工具,是指会聚于一点,向某一值靠近.收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛. 定义方式与数列收敛类似.柯西收敛准则:关于函数f(x)在点x0处的收敛定义.对于任意实...

章丘市19586186761： 高数中有界和收敛的关系和区别? - ？
一京佳蓉：[答案] 首先,楼上说的“收敛一定有界,有界当然不一定收敛.”是它们的关系之一……之二是“单调有界数列必然收敛”.注:楼上说得很好,单调有界序列收敛一般的度量空间中不成立,比如有理数列,不过这是指这样的有理数列不一定...

章丘市19586186761： 高数中收敛什么意思 - ？
一京佳蓉： 收敛即有极限,数列有界是数列收敛的必要不充分条件

章丘市19586186761： 什么是收敛函数 - ？
一京佳蓉： 就X不断变大时(也包括向反方向变小到负无穷),有极限,也就是近似等于一个常数....举个例子 1/X,在X很大时,1/X可以看作等于0 1/X+1可以看作=1,这种X等于无穷的情况,而函数等于常数就是叫收敛...

章丘市19586186761： 函数有界是什么意思?收敛是什么意思?有界和收敛有什么关系? - ？
一京佳蓉： 前两个书上有定义.后一个:有界不一定收敛,收敛一定有界,例如An=(-1)^n有界但不收敛,因为取值有1和-1,虽有界但是是发散的.