勾股定理的解答题

勾股定理解题技巧~

勾股定理解题规律方法指导 ：

1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a^2+b^2＝c^2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

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　　【证法1】（课本的证明）

　　做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

　　从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

　　， 整理得 .

　　【证法2】（邹元治证明）

　　以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

　　∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

　　∴ ∠AHE = ∠BEF.

　　∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

　　∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

　　∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

　　∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

　　正方形. 它的面积等于c2.

　　∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

　　∴ ∠HGD = ∠EHA.

　　∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

　　∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

　　又∵ ∠GHE = 90º,

　　∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

　　∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .

　　∴ . ∴ .

　　【证法3】（赵爽证明）

　　以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

　　边作四个全等的直角三角形，则每个直角

　　三角形的面积等于 . 把这四个直角三

　　角形拼成如图所示形状.

　　∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

　　∴ ∠HDA = ∠EAB.

　　∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，

　　∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

　　∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

　　∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

　　∠HEF = 90º.

　　∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .

　　∴ .

　　∴ .

　　【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

　　以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

　　∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

　　∴ ∠ADE = ∠BEC.

　　∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

　　∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

　　∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

　　∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

　　它的面积等于 .

　　又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

　　∴ AD‖BC.

　　∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .

　　∴ .

　　∴ .

　　【证法5】（梅文鼎证明）

　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠EGF = ∠BED，

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，

　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠ABC = ∠EBD.

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

　　即 ∠CBD= 90º.

　　又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

　　BC = BD = a.

　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　,

　　∴ .

　　【证法6】（项明达证明）

　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP‖BC，交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

　　F作FN⊥PQ，垂足为N.

　　∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC，

　　∴ ∠MPC = 90º，

　　∵ BM⊥PQ，

　　∴ ∠BMP = 90º，

　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，

　　∴ ∠QBM = ∠ABC，

　　又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，

　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

　　从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

　　【证法7】（欧几里得证明）

　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，

　　交AB于点M，交DE于点

　　L.

　　∵ AF = AC，AB = AD，

　　∠FAB = ∠GAD，

　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

　　∵ ΔFAB的面积等于 ，

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半，

　　∴ 矩形ADLM的面积 = .

　　同理可证，矩形MLEB的面积 = .

　　∵ 正方形ADEB的面积

　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

　　∴ ，即 .

　　【证法8】（利用相似三角形性质证明）

　　如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

　　在ΔADC和ΔACB中，

　　∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

　　∠CAD = ∠BAC，

　　∴ ΔADC ∽ ΔACB.

　　AD∶AC = AC ∶AB，

　　即 .

　　同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .

　　∴ ，即 .

　　【证法9】（杨作玫证明）

　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

　　∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

　　∴ ∠DAH = ∠BAC.

　　又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

　　AD = AB = c，

　　∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

　　∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

　　由作法可知， PBCA 是一个矩形，

　　所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

　　CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

　　∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

　　RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

　　∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

　　∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

　　又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

　　∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，

　　∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

　　∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

　　∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

　　用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

　　①

　　∵ = ，

　　，

　　∴ = . ②

　　把②代入①，得

　　= = .

　　∴ .

　　【证法10】（李锐证明）

　　设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

　　∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90º，

　　∴ ∠TBH = ∠ABE.

　　又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

　　BT = BE = b，

　　∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

　　∴ HT = AE = a.

　　∴ GH = GT―HT = b―a.

　　又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

　　∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，

　　∴ ∠GHF = ∠DBC.

　　∵ DB = EB―ED = b―a，

　　∠HGF = ∠BDC = 90º，

　　∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .

　　过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE

　　= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌

　　RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .

　　由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

　　∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，

　　∴ ∠FQM = ∠CAR.

　　又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

　　∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 .

　　∵ ， ， ，

　　又∵ ， ， ，

　　∴
　　=
　　= ，

　　即 .

　　【证法11】（利用切割线定理证明）

　　在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

　　=
　　=
　　= ，

　　即 ，

　　∴ .

　　【证法12】（利用多列米定理证明）

　　在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

　　，

　　∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

　　AC = BD = b，

　　∴ ，即 ，

　　∴ .

　　【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

　　在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

　　∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

　　∴
　　= = r + r = 2r,

　　即 ，

　　∴ .

　　∴ ，

　　即 ，

　　∵ ，

　　∴ ，

　　又∵ = =
　　= = ，

　　∴ ，

　　∴ ，

　　∴ ， ∴ .

　　【证法14】（利用反证法证明）

　　如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

　　假设 ，即假设 ，则由

　　= =
　　可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

　　在ΔADC和ΔACB中，

　　∵ ∠A = ∠A，

　　∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

　　∠ADC≠∠ACB.

　　在ΔCDB和ΔACB中，

　　∵ ∠B = ∠B，

　　∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

　　∠CDB≠∠ACB.

　　又∵ ∠ACB = 90º，

　　∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

　　这与作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假设不能成立.

　　∴ .

　　【证法15】（辛卜松证明）

　　设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 = .

　　∴ ,

　　∴ .

　　【证法16】（陈杰证明）

　　设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

　　在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，

　　则 AD = c.

　　∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

　　∴ DM = EM―ED = ―a = b.

　　又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，

　　∠AED = 90º， AE = b，

　　∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

　　∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.

　　∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

　　∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，

　　∴ ∠ADC = 90º.

　　∴ 作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

　　∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，

　　∴ ∠BAF=∠DAE.

　　连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

　　∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，

　　∴ ΔABF ≌ ΔADE.

　　∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.

　　∴ 点B、F、G、H在一条直线上.

　　在RtΔABF和RtΔBCG中，

　　∵ AB = BC = c，BF = CG = a，

　　∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

　　∵ ， ， ，

　　，

　　∴
　　=
　　=
　　=
　　∴ .

∵在Rt△ABC中，a^2+b^2=c^2
∴……

数学符号不好打，全用文字来表示了。
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
解：因为DE垂直于CE，角DAE等于45度
所以三角形DAE是等腰直角三角形，所以根据勾股定理，得出AD等于根号下ae的平方加de的平方，即AD等于6m.
又因为ab等于ad，角abc等于60度，所以bc等于二分之一ab，即3m

AF=AD=BC=10
所以BF=6
设CE为x
EF=8-x
CF=10-6=4然后勾股定理

这不就是过程
AF=AD=BC=10
勾股定理得到
BF=6
CF=BC-BF=10-6=4
设CE=X
DE=EF
∴EF=8-x
勾股定理
4²+x²=（8-x）²解出来

首先对于三角形ABF
用勾股定理，求得BF=6cm，那么CF=4CM
然后设ce长xcm，EF=DE=CD-CF=8-X
(CM)
应用勾股定理
（8-x）^2=x^2+4^2，解得x=3
所以CE=3cm

解：依题意可得：BC=AD=AF=10，DE=EF．
在△ABF中，∠ABF=90°．
∴BF=6
，
∴FC=10-6=4，
设EC=x，则EF=DE=8-x．
∵∠C=90°，
∴EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=（8-x）2，
解之得：x=3，
∴EC=3（cm）．

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瑞昌市18463554918： 求20道勾股定理多解题! - ？
屠砖盖菲：[答案] 小明将一幅三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长,若已知CD=2,求AC的长.

瑞昌市18463554918： 勾股定理的解答1.在三角形ABC中,角C=90度,若a=9,b=12,则C=_______2.在三角形ABC中,角C=90度,若a=8,b=10,则b=_______3.在三角形ABC中... - ？
屠砖盖菲：[答案] 1.15; 2.若c=10,则b=6;若b=10,则c=2√41; 3.a=15,b=20; 4.12; 5.5√7,75√7/2.

瑞昌市18463554918： 勾股定理是怎么解题的? - ？
屠砖盖菲：[答案] ⑴勾股定理揭示了直角△三边的关系:a²+b²=c²,已知任意两边可以求得第三边. ⑵勾股定理逆定理:已知△三边满足:a²+b²=c²,则这个△就是直角△, 其中c边所对的角=90°,然后得到余下两个角互余.

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屠砖盖菲：[答案] 直角三角形的一直角边长为12,另外两边之长为自然数,则满足要求的直角三角形共有( ) A、4个 B、5个 C、6个 D、8个(a,b,c)叫做勾股数组,整数a,b,c满足a^2+b^2=c^2这个条件由a^2+b^2=c^2及a,b,c互质可知,a,b必...

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瑞昌市18463554918： 勾股定理的练习题,大量的 - ？
屠砖盖菲：[答案] 勾股定理测试题 一、选择题(每小题4分,共40分) 1、下列各组数中,能构成直角三角形的是( ) A:4,5,6 B:1,1, C:6,8,11 D:5,12,23 2、在Rt△ABC中,∠C=90°,a=12,b=16,则c的长为( ) A:26 B:18 C:20 D:21 3、在平面直角坐标系中,已知点P...

瑞昌市18463554918： 勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法.(1)请你根据图1填空;勾股定理成立的条件是______三角形,结论是______(三边关系)(2)以... - ？
屠砖盖菲：[答案] (1)勾股定理指的是在直角三角形中,两直角边的平方的和等于斜边的平方. 故答案是:直角;a2+b2=c2; (2)∵Rt△ABE≌Rt△ECD, ∴∠AEB=∠EDC, 又∵∠EDC+∠DEC=90°, ∴∠AEB+∠DEC=90°, ∴∠AED=90°. ∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt...

瑞昌市18463554918： 勾股定理请出些简单一点的题,再在后面写答案.越多越好! - ？
屠砖盖菲：[答案] 1.在锐角三角形ABC中,一直其两边a=1,b=3,那么第三边c的变化范围是 ( ) A.2〈c〈4 B.2〈c≤3 C.2〈c〈根号10 D.2根号2〈c〈根号10 ∵a=1,b=3 ∴b-a
瑞昌市18463554918： 一道关于勾股定理的题.有3个正方形,其中有1个正方形的面积是81,另一个正方形的面积是144,剩下的那个正方形的面积是多少?剩下的那个正方形斜靠在... - ？
屠砖盖菲：[答案] 设a^2=81 b^2=144 因为第三个正方形的边是直角三角形的斜边,所以根据c^2=a^2+b^ 可知,第三个正方形的面积为:144+81=225

瑞昌市18463554918： 数学勾股定理解题？
屠砖盖菲： AC=3,BC=4 根据勾股定理,求得AB=5 三角形的面积=1/2*AC*BC=1/2*CD*AB 所以CD=AC*BC/AB=3*4/5=2.4