求助达芬奇证明勾股定理的方法

达芬奇勾股定理证法~

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。
观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。
证明：第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE
第三张纸片中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'
因为S1=S2
所以OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'
又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
所以OF·OE=C'D'·D'E'
则OF^2+OE^2=E'F'^2
因为E'F'=EF
所以OF^2+OE^2=EF^2
勾股定理得证。

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。
观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。
证明：第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE
第三张纸片中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'
因为S1=S2
所以OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'
又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
所以OF·OE=C'D'·D'E'
则OF^2+OE^2=E'F'^2
因为E'F'=EF
所以OF^2+OE^2=EF^2
勾股定理得证。

达芬奇的勾股定理证明法是用两张一样的纸片拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，利用求两个空洞面积的表达式相等证明出勾股定理。如下图：

如图所示就是两张一样的纸片拼出的不一样空洞的示意图，

前提包括：连接BE、CF交于点G，有四边形ABGF、四边形GCDE均为正方形，

连接B'F'、C'E'，有四边形B'C'E'F'为正方形，

设正方形ABGF的边长=A'B'=D'E'=a，

BC=EF=正方形B'C'E'F'的边长=c，

多边形A'B'C'D'E'F'的面积=2×△A'B'F'的面积+正方形B'C'E'F'的面积，

=2(ab÷2)+c²=ab+c²，

又因为两个空洞面积相等，即a²+b²+ab=ab+c²，

所以化简可得a²+b²=c²，由此证得勾股定理。

扩展资料：

欧几里得证法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

参考资料来源：百度百科--勾股定理

达芬奇的勾股定理证明法是用两张一样的纸片拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，利用求两个空洞面积的表达式相等证明出勾股定理。

如图所示就是两张一样的纸片拼出的不一样空洞的示意图。

前提包括：连接BE、CF交于点G，有四边形ABGF、四边形GCDE均为正方形；

连接B'F'、C'E'，有四边形B'C'E'F'为正方形；

设正方形ABGF的边长=A'B'=D'E'=a；

正方形GCDE的边长=A'F'=C'D'=b；

BC=EF=正方形B'C'E'F'的边长=c；

则多边形ABCDEF的面积=正方形ABGF的面积+正方形GCDE的面积+2×△BCG的面积

=a²+b²+2(ab÷2)=a²+b²+ab；

多边形A'B'C'D'E'F'的面积=2×△A'B'F'的面积+正方形B'C'E'F'的面积

=2(ab÷2)+c²=ab+c²；

又因为两个空洞面积相等，即a²+b²+ab=ab+c²；

所以化简可得a²+b²=c²，由此证得勾股定理。

扩展资料：

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

参考资料：百度百科-勾股定理

达芬奇的勾股定理证明法是用两张一样的纸片拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，利用求两个空洞面积的表达式相等证明出勾股定理。

如图所示就是两张一样的纸片拼出的不一样空洞的示意图，

前提包括：连接BE、CF交于点G，有四边形ABGF、四边形GCDE均为正方形，

连接B'F'、C'E'，有四边形B'C'E'F'为正方形，

设正方形ABGF的边长=A'B'=D'E'=a，

正方形GCDE的边长=A'F'=C'D'=b，

BC=EF=正方形B'C'E'F'的边长=c，

则多边形ABCDEF的面积=正方形ABGF的面积+正方形GCDE的面积+2×△BCG的面积

=a²+b²+2(ab÷2)=a²+b²+ab，

多边形A'B'C'D'E'F'的面积=2×△A'B'F'的面积+正方形B'C'E'F'的面积

=2(ab÷2)+c²=ab+c²，

又因为两个空洞面积相等，即a²+b²+ab=ab+c²，

所以化简可得a²+b²=c²，由此证得勾股定理。

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贡觉县18239309983： 达芬奇是如何证明勾股定理的? - ？
嵇娟圣之： http://res.nh.edu.sh.cn/upload/kj/%B9%B4%B9%C9%B6%A8%C0%ED.ppt#309,21,幻灯片 21

贡觉县18239309983： 达芬奇勾股证明方法 - ？
嵇娟圣之：[答案] 著名画家达芬奇对勾股定理曾经进行了研究,他验证勾股定理的方法可以从下面的试验中得到体现:1.在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a,b的正方形,并连接BC,FE(如图(1))2.沿ABCDEFA剪下,得到两个大小相同的纸板1,2,...

贡觉县18239309983： 勾股定理的达芬奇证法? - ？
嵇娟圣之：[答案] 三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点. ...

贡觉县18239309983： 写出达芬奇验证勾股定理的解题方法 - ？
嵇娟圣之： 左边图形面积=AB^2+CD^2+2BO*CO CO=CD BO=AB 右边图形面积=2C`D`*D`E`+B`C`^2 C`D`=CD D`E`=AB B`C`=BC 左右图形面积相等整理得 AB^2+CD^2+2AB*CD=2CD*AB+BC^2 去处相同项 AB^2+CD^2=BC^2 即沟股定理

贡觉县18239309983： 急,跪求意大利画家达芬奇的勾股定理证明法,图如下 - ？
嵇娟圣之： 观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形.然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠...

贡觉县18239309983： |勾股定理| 含有图片、、意大利文艺复兴时代的著名画家达芬奇对勾股定理也曾经进行了研究.他验证勾股定理的方法可以从下面试验中得到体现、？
嵇娟圣之：①:找一张12乘12的纸,如图中第一个图形画出边长为a和b的两个正方形,再做如图连线c,得到面积分别为a平方和b平方的两个正方形,以及两个直角边分别为a、b斜边长c的直角三角形; ②,用剪刀将六边形内部挖空,如上中图; ③,将纸沿右上图中虚线剪开; ④,将右半边纸翻面(上下翻)后与左边重新拼对; ⑤,将重新拼对的六边形按右下图所示连线,得到一个面积为c平方的正方形和两个直角边分别为a、b斜边长c的直角三角形; ⑥,推导:图①和图⑤中六边形面积相等,分别减去两个同形三角形,得到的分别是a平方加b平方,和c平方,于是可推得a平方+b平方=c平方,这个公式正是勾股定理.

贡觉县18239309983： 勾股定理证明法(不少于4种)？
嵇娟圣之： 最初的证明是分割型的.设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边.考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B.将A分成六部分,将B分成五部分.由于八个小直角三角形是全等的,故从等量中减去等量,便可推出:斜边上的正方形等于两个直角...

贡觉县18239309983： 意大利画家达芬奇对勾股定理进行的了验证,请加以说明 - ？
嵇娟圣之： 三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同...

贡觉县18239309983： 青朱出入图 - 谁会用青朱出入图和达芬奇证法证明勾股定理?写出证明过程.最好有图 ？
嵇娟圣之： 证明是这样做的:如图一(a),我们先画一个直角三角形,然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形,为了清楚起见,以红色表示.又在另一条直角边下面...

贡觉县18239309983： 勾股定理的证明、、？
嵇娟圣之：勾股定理的证明方法_[点击查看原图]延长CB到H,使CH=AB, 以C为顶点,CH为一边,作∠GCH=∠CAB,且使CG=AC,以AC,CG为两边,过G做GD∥AC, 过A做AD∥CG,再过D点作DE⊥AB于E, 过G做GF⊥DE与F.(辅助线的添加好...