若连续函数f(x)满足关系式f(x)=f(t/3)dt+1
这是个微分方程问题
首先对0到2x上的定积分令u=(t/2)
则定积分化为2∫f(u)du 积分限为0到x
这样方程变为:f(x)=ln2+2∫f(u)du 积分限为0到x
对上面的方程两求x的导数得:
f'(x)=2f(x) 设y=f(x)
即:dy/dx=2y
解得:lny=2x+C
y=e^(2x)*e^C
即:f(x)=e^(2x)*C' (*)
由原方程知当x=0时f(0)=ln2
代入(*)式得C'=ln2
所以f(x)=e^(2x)*ln2
∫[0，x](t+1)f'(x-t)dt=x^2+e^x-f(x)，设F'(t) = f(t)
x=0时，左边=0，右边=1-f(0)，故f(0) = 1
左边 = -∫[0，x](t+1)d[f(x-t)]
= ∫[0，x]f(x-t)dt - (t+1)f(x-t)|(0，x)
= ∫[0，x]f(x-t)dt + f(x) - (x+1)
即∫[0，x]f(x-t)dt + f(x) - (x+1) = x^2 + e^x - f(x)
∫[0，x]f(x-t)dt = x^2 + e^x - 2f(x) + (x+1)
左边对x求导得
[∫[0，x+Δx]f(x+Δx-t)dt - ∫[0，x]f(x-t)dt]/Δx
= ∫[0，x][f(x+Δx-t)-f(x-t)]dt/Δx + ∫[x，x+Δx]f(x+Δx-t)dt/Δx
= ∫[0，x]f'(x-t)dt + [F(t)/Δx]|(x，x+Δx)
= -f(x-t)|(0，x) + f(x)
= 2f(x) - 1
右边对x求导得
2x + e^x - 2f'(x) + 1
2f(x) - 1 = 2x + e^x - 2f'(x) + 1
整理得
f'(x) + f(x) = x + (e^x)/2 + 1
解这个微分方程得
f(x) = x + (e^x)/4 + Ce^(-x)
扩展资料：
可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
简单计算一下即可，答案如图所示
令y=t/2,原方程即为f(x)=∫f(y)d2y+ln2,积分区间是(0,x)
对上式做微分,得：df=2f(x)
这个显然很熟悉萨!即 d ln(f) =2,于是f=a * exp(2x）,其中a是常数,待定.带入原式,得a=ln2,即f(x)=ln2 * exp(2x)
若有界可积函数f(x)满足关系式f()=「f(Q)dt+3x_3,求f(x)
连续 函数f(x)满足f(x)=f[0到x]e^-f(t)dt,求f(x)
e^[f(x)]=x+C f(x)=ln(x+C)，其中C是任意常数 又因为已知f(0)=0，所以lnC=0，C=1 所以f(x)=ln(x+1)
连续函数f(x)满足:对于任何x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)⋅f(y)成立,且...
首先要准备几个预备定理，先证明函数方程f（x+y）=f（x）+f（y）所确定的连续解为f（x）=xf(1)，这个是容易的，先证明有理数处满足上述结果，再由连续性可得在无理数处也满足结论，值得指出的是，在证明过程中很容易发现，函数方程f（x+y）=f（x）+f（y）所确定的解或者处处连续，或者处...
设连续函数f(x)满足f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt,求f(x)
代入①，c'(x)=e^(2x),c(x)=(1\/2)e^(2x)+c,∴f(x)=(1\/2)e^x+ce^(-x),代入已知式，(1\/2)e^x+ce^(-x)=e^x-∫<0,x>[(1\/2)e^t+ce^(-t)]dt =e^x-[(1\/2)e^x-ce^(-x)-1\/2+c],比较得c=1\/2.∴f(x)=[e^x+e^(-x)]\/2.
设连续函数f(x)满足f(x)=e^x+∫(0,x)f(t)dt,求f(x)
对已知式求导得f'(x)=e^x+f(x),设y=f(x),得 y'-y=e^x,① 由y'-y=0得y=ce^x 设y=c(x)*e^(x),则y'=[c'(x)+c(x)]e^x 代入①，c'(x)=1 c(x)=x+c,∴f(x)=(x+c)e^x 代入已知式，(x+c)e^x=e^x+∫<0,x>[(t+c)e^t]dt =e^x+（x+c-1）e^...
设连续函数f(x)满足f(x)+2∫[0→x]f(t)d t=x^2,则f(x)=___. 请老师...
f'(x) + 2f(x) = 2x let yg= Ae^(-2x)yp =Cx +D yp' + 2yp = 2x C + 2Cx +2D =2x 2Cx + (C+2D) =2x => C=1 and D=-1\/2 y = yg+yp =Ae^(-2x) + x -1\/2 y(0) =0 A- 1\/2 =0 A=1\/2 ie f(x) =(1\/2)e^(-2x) + x -1\/2 ...
连续函数f(x)满足f(x)=x-2∫(0→1)f(x)dx,求f(x)=
解如图。
设连续函数f(x)满足f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt,求f(x)
c(x)=(1\/2)e^(2x)+c,∴f(x)=(1\/2)e^x+ce^(-x),代入已知式，(1\/2)e^x+ce^(-x)=e^x-∫<0,x>[(1\/2)e^t+ce^(-t)]dt =e^x-[(1\/2)e^x-ce^(-x)-1\/2+c],比较得c=1\/2.∴f(x)=[e^x+e^(-x)]\/2.你可以带到式子里去验证，答案给的那个函数显然不...
设连续函数f(x)满足,f(x)=1+x^2∫(0→1)f(x)dx,求f(x)=
f(x)=1+x²∫(0→1)f(x)dx 令∫(0→1)f(x)dx=C (定积分的结果是常数)f(x)=Cx²+1 ∫(0→1)f(x)dx=∫(0→1)[Cx²+1]dx=⅓Cx³+x|(0,1)=⅓C+1 即C=⅓C+1→C=1.5 f(x)=1+1.5x²
设有连续函数f(x)满足∫f(tx)dt(从0到1)=f(x)+xsinx,求f(x)。
令tx=u 则∫f(tx)dt(从0到1)=∫f(u)d(u\/x)(从0到x)=(1\/x)∫f(u)du(从0到x)带入原方程∫f(u)du(从0到x)=xf(x)+x^2sinx 两边微分 f(x)=f(x)+xdf(x)\/dx+2xsinx+x^2cosx df(x)\/dx=-2sinx-xcosx 求积分f(x)=cosx-xsinx+C ...
函数连续的充要条件
判断函数f(x)在x0点处连续,当且仅当f(x)满足以下三个充要条件：1、f(x)在x0及其左右近旁有定义。2、f(x)在x0的极限存在。3、f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温...
微巩复方：[答案] ∵f(x)= ∫2x0f( t 2)dt+ln2=2 ∫x0f(u)du+ln2, ∴两边对x求导得:f'(x)=2f(x) 两边积分得:f(x)=x2+C 又f(0)=ln2 ∴C=ln2 ∴f(x)=x2+ln2
雨城区18937444632： 若连续函数f(x)满足关系式f(x)=.∫f(t/2)dt+ln2,则f(x)=?积分区域0~2x则f(x)等于 - ？
微巩复方：[答案] 对该式两边求导,得到一个微分方程,解微分方程的到函数的解.其中在求导时注意换元是要变限.
雨城区18937444632： 证明:若函数f(x)在满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x呃……最好不要用到积分的知识点……是中值定理那一节的课后题 - ？
微巩复方：[答案] 证明:用常微分方程来证 ∵f'(x)=f(x),即df(x)/dx=f(x) ∴df(x)/f(x)=dx ∴两边积分,得:ln[f(x)]=x+C ∴两边同取底数为e的自然对数,得:f(x)=e^x+C(C为任意常数) 把f(0)=1代入上式,解得:C=0 ∴f(x)=e^x
雨城区18937444632： 高中函数求表达式若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1/x)=3x,求f(x)的表达式 越想尽越好 - ？
微巩复方：[答案] 因为 f(x)+2f(1/x)=3x (1) 所以 f(1/x)+2f(1/(1/x))=3(1/x) 即 f(1/x)+2f(x)=3(1/x) 因为 2f(1/x)+4f(x)=6(1/x) (2) (2)-(1)得 3f(x)=6(1/x)-3x 所以 f(x)=2(1/x)-x 即 f(x)=2/x-x
雨城区18937444632： 对高等数学精通的朋友进证明:若函数f(x)在实数域内满足关系式f(x)等于f(x)的导数,且f(0)=1,则f(x)=e的x次方求主要思路,不写全过程也行! - ？
微巩复方：[答案] 设g(x)=ln f(x) 则g(x)的导数 = f(x)的导数/f(x) = 1, 所以g(x)=x+常数c, 因为f(0)=1,所以g(0)=0,常数c = 0; 所以g(x) = x ,所以f(x)=e的x次方
雨城区18937444632： 若连续函数满足关系式f(x)=∫f(t/2)dt+ln2.积分区域0~2x则f(x)=?要过程和答 - ？
微巩复方： 令y=t/2,原方程即为f(x)=∫f(y)d2y+ln2,积分区间是(0,x) 对上式做微分,得:df=2f(x) 即 d ln(f) =2,于是f=a * exp(2x),其中a是常数,待定.带入原式,得a=ln2,即f(x)=ln2 * exp(2x)
雨城区18937444632： 证明:若函数f(x)在满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x如题 - ？
微巩复方：[答案] 证明 ∵f'(x)=f(x) ∴f(x)=C1*e^(x+C2).C1,C2是常数 ∵f(0)=1 ∴f(0)=C1*e^C2=1 C1=1/e^C2 ∴f(x)=1/e^C2*e^(x+C2) =e^(-C2)*e^(x+C2) =e^(x-C2+C2) =e^x 命题成立
雨城区18937444632： 若函数f(x)在内满足关系式f(x)的导数等于f(x),且f(0)=1,证明:f(x)=e∧x - ？
微巩复方： 由f'(x) = f(x),或f'(x)/f(x) = 1,积分,得ln|f(x)| = x+lnC,改写成f(x) = C*e^x,又 f(0)=1,代入得C=1,得证.
雨城区18937444632： 设当x>0时,函数f(x)连续且满足f(x)=x+∫(1,x)1/xf(t)dt,求f(x) - ？
微巩复方：[答案] xf(x)=x^2+∫(1,x)f(t)dt求导得到:xf '(x)+f(x)=2x+f(x)∴ f '(x)=2∴ f(x)=2x+C又由于:f(1)=1解得,C=-1∴ f(x)=2x-1
雨城区18937444632： 证明:若函数f(x)在满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x - ？
微巩复方： 证明∵f'(x)=f(x) ∴f(x)=C1*e^(x+C2).......C1,C2是常数 ∵f(0)=1 ∴f(0)=C1*e^C2=1 C1=1/e^C2 ∴f(x)=1/e^C2*e^(x+C2)=e^(-C2)*e^(x+C2)=e^(x-C2+C2)=e^x 命题成立 如果您认可我的回答,请点击“采纳为满意答案”,谢谢!
