第一章 欧式与非欧几何

~ 几何学的演变是一部探索真理与创新的史诗，起源于古希腊的毕达哥拉斯定理，这一发现虽由公元前500年的毕达哥拉斯提出，但早在公元前1800年的巴比伦粘土碑上，其身影已悄然浮现。泰勒斯在公元前600年引入演绎法，欧几里得的《几何原本》则以严密的公理体系，特别是对平行线的第五个定理，开启了几何学的千年论战。1830年，尼古拉·罗巴切夫斯基和约翰·波利亚的双曲几何异军突起，挑战了欧几里得的平行线原则，他们的贡献为非欧几何世界揭开了新的篇章。

意大利数学家尤金尼奥·贝尔特拉米在1868年的卓越贡献，为双曲几何赋予了直观理解，尽管罗巴切夫斯基与波利亚未能亲见这一突破，但非欧几里得几何，包括双曲和球面几何，已在数学的各个领域展现出无与伦比的力量。20世纪和21世纪，亨利·庞加莱和瑟斯顿的研究，以及费马和庞加莱猜想的破解，进一步印证了这些几何体系在现代数学中的核心地位。

球面几何，尽管基于地球这样的自然表面，其“直线”是大圆弧，尽管古老，但它并未被视为欧几里得的直接替代。罗巴切夫斯基的双曲几何则更为激进，引入了无限直线和独特的性质，波利亚的创新精神在此创造了全新的数学世界，然而，高斯对于波利亚的发现反应冷淡，认为与自己的研究成果相似，却未能给予应有的赞誉，这让波利亚的天才被历史忽视了一段时间。

雅诺斯·波利亚的挫败并未阻止他前行，他定义了角盈E，这是内角和与π的差异。英国数学家托马斯·哈里奥特发现了球面三角形的角盈与其面积的关联，揭示了内蕴几何的奥秘。测地线，作为曲面的“直线”，在非对径点上定义的长度可能因曲率而异，如在弯曲的南瓜表面上，测地线与我们熟悉的直线概念有所不同。

在双曲几何中，圆的周长与直径的关系不再是欧几里得的直觉，而是在测地线三角形中展现独特的内角和。曲面的内蕴几何保持不变，但外在几何随曲率变化，这种直观的实验，如剥水果皮，生动展示了测地线的“直性”特性。实心曲线与虚线的对比，揭示了非欧几何的精确性，实线总是沿最短路径，这正是测地线的本质。

欧几里得几何与非欧几何的对比鲜明，欧氏的平行公理不再成立，通过实验，我们可以观察到三角形内角和的差异。高斯尽管怀疑非欧几何可能揭示现实世界的几何真理，但他并未预见到双曲几何的关键发现。兰伯特的研究揭示了双曲几何中三角形内角和小于球面的特性，以及面积与角度的独特关系，这些发现对现代数学产生了深远影响。

几何学的舞台，从平面的探索，到弯曲空间的揭示，每一步都充满了挑战与启示，它不仅塑造了我们的思考方式，也推动了科学的进步。欧几里得与非欧几里得的碰撞，正是这永恒探索的瑰宝，引领我们向未知的数学宇宙进发。

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岳麓区15662157789： 什么是欧氏几何和非欧氏几何? - ？
圭逸复方：[答案] 欧氏几何 一、欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称,其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德.... 这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学. 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何.这是第一个被提出的...

岳麓区15662157789： 欧氏几何学与非欧几何学的区别是什么?请详细介绍一下非欧几何学. - ？
圭逸复方： 非欧氏几何产生于非欧式空间,而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间,可能它的坐标轴不再是直线,或者坐标轴之间并不正交(即不成90度) 举个简单的例子:欧式空间中的球面,对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面,...

岳麓区15662157789： 什么是非欧几何 - ？
圭逸复方： 欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何.后两种几何就称为非欧几何. 三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系,各公理之间满足和谐性、完备性和独立性.因此这三种几何都是正确的. 欧氏几何与非欧几何最显...

岳麓区15662157789： 非欧几何是研究什么的?是怎么产生的? - ？
圭逸复方：[答案] 非欧几何学是一门大的数学分支,一般来讲 ,他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义.所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学,狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的,至于通常意义的非欧几何,就是指罗氏几何和黎曼几何...

岳麓区15662157789： 欧式几何和非欧几何都是哪种几何的特例? - ？
圭逸复方：[答案] 应该欧式几何是平面几何 非欧几何是立体几何

岳麓区15662157789： 欧式几何与非欧式几何在公理上有何不同? - ？
圭逸复方：[答案] 关键的就是Euclid几何第五公设(平行线公设) Euclid几何具有第五公设(平行线公设),但这条Euclid认为不证自明的公设被广泛的怀疑. 于是非Euclid几何诞生了.这种几何或者不包括第五公设(平行线公设)或是有它的逆定理公设

岳麓区15662157789： 非欧几何的诞生 - ？
圭逸复方： 诞生欧几里得的《几何原本》提出了五条公设,长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见. 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到,而且...

岳麓区15662157789： 什么叫非欧几何??????？
圭逸复方： 非欧几里得几何是一门大的数学分支,一般来讲 ,它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义.所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学,狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的,至于通常意义的非欧几何,就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何,

岳麓区15662157789： 欧式几何有哪些公理? - ？
圭逸复方： 除欧氏几何,还有罗氏几何、黎曼几何.它们合称非欧几何.可以推断你的基础还薄弱,理解不了这些,给你简单讲几句.以后慢慢学你可能能理解.欧几里德几何(欧式几何)的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的“真命...

岳麓区15662157789： 我该怎么读《几何原本》? - ？
圭逸复方： 读几何原本不在于读命题,在于读他的方法,读他的体系,读他的逻辑.你说你读了两章却没有丝毫收获,那么你看看第二章中每一个命题是如何证明出来的,无非是画个图形,然后絮絮叨叨的说一大坨,最后说命题成立,但方法就在其中,...