柯西不等式求最大值和最小值

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柯西不等式求最大值和最小值如下：

柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是数学中的一种基本不等式，它可以用来求解向量空间中两个向量的内积最大值和最小值。

设向量$a$和$b$为$n$元实数组成的向量，则它们的内积为：

$$a\cdotb=\sum_{i=1}^na_ib_i$$

柯西不等式的表达式为：

$$(a\cdotb)^2\leq(a\cdota)(b\cdotb)$$

该不等式成立的条件是向量$a$和$b$不全为零向量并且向量$a$和$b$是线性相关的。

由柯西不等式可以推出两种情况下的最大值和最小值:

1、当向量$a$和$b$的方向相同时，它们的内积最大，最大值为$(a\cdota)(b\cdotb)$。

2、当向量$a$和$b$的方向相反时，它们的内积最小，最小值为$-(a\cdota)(b\cdotb)$。

柯西不等式在数学和物理中都有广泛的应用，如线性代数、实变函数等领域。在求解内积最大值和最小值的问题时可以使用柯西不等式简化求解过程。

柯西简介：

柯西（CauchyAugustin-Louis，1789－1857），法国数学家，1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。

他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和关于定积分理论的报告（1827年）最为著名。

不过他并不是所有的创作都质量很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子（高斯）相反。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。

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通海县13659264123： 数学高手请进,用柯西不等式求最值 - ？
乘宣康艾： 柯西不等式(a2+b2+…)(x2+y2+…)>=(ax+by+…)2 上式中2是平方,字体不好改,见谅 [(7-x2)+(x2+1)](1+1)>={根号(7-x²) + 根号(x²+1)}2 故 根号(7-x²) + 根号(x²+1)<=4,由柯西不等式有最大值4三角换元: 根号(7-x²)...

通海县13659264123： 利用柯西不等式求最大值 - ？
乘宣康艾： y=cosx+3√(1-cos2x) [cos2x=1-2(sinx)^2]=cosx+3√(2(sinx)^2)=(1/√2)*√2cosx+3√(2(sinx)^2) y^2≤[(1/√2)^2+3^2][(√2cosx)^2+2(sinx)^2]=(1/2+9)[2(cosx)^2+2(sinx)^2]=19/2*2=19-√19≤y≤√19 y最大值√19

通海县13659264123： 柯西不等式求3x - 4y最小值,最大值 (x+1)^2+(y - 1)^2=9 - ？
乘宣康艾： 思路如下:(1)求3x-4y最小值,最大值,已知是 (x+1)^2+(y-1)^2为定值9,所以把已知凑出(x+1)与(y-1)3x-4y=3(x+1)-4(y-1)-7 而[3(x+1)-4(y-1)]^2≤[(x+1)^2+(y-1)^2][3^2+(-4)^2]=9*25 所以-15≤3(x+1)-4(y-1)≤15 所以-22≤3x-4y≤8 当且仅当(x+1):3=(y-1):(-4)且3x-4y=8(-22)时即---时原式取得最大(小)值 (2)应该是求值域吧,用导数可行,用双换元法可行,用△法可行 用柯西不等式关键是凑出定值来 (题目再给清楚些)

通海县13659264123： 柯西不等式求最值 高考 - ？
乘宣康艾： 答: 1、柯西不等式具有完善的对称性,因此,剖开其他不说,理解和记忆并不是非常复杂的事; 2、柯西不等式是非常重要的不等式,尤其其二维形态和三维形态,可以在最值类型的试题中显现极大的解题威力; 3、高考不会就某一个不等式,公式去单独考,往往是考你综合应用这些数学知识的综合能力,从这个方面来讲,柯西不等式,排序不等式都是考核项! 4、理解其原理才是王道,死机公式P用没有!

通海县13659264123： 柯西不等式.已知2X+5Y=20,求XY的最大值 - ？
乘宣康艾：[答案] 其实上,这中题目是有定理的(总共有3个): 1.ax+by=c(a,b≠0).如果a,b有公约数d,而c也有公约数d,这个方程有整数解... 中,可以得到一些 x=5-5t,y=2+2t 当t=1时, x=0,y=4(这是一组新的解) 上面的解为:x=5,y=2 因此,xy的最大值为20

通海县13659264123： 第十题,柯西不等式求最大值 - ？
乘宣康艾： 柯西不等式:(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≥(a1b1+a2b2+……+anbn)^2(a-2b+3c)^2≤(a^2+b^2+c^2)[1^2+(-2)^2+3^2]=14*14 -14≤a-2b+3c≤14,故最大值为14

通海县13659264123： 利用柯西不等式求最大值利用柯西不等式(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.求Y=cosX+3(1 - cos2X)^(1/2)的最大值 - ？
乘宣康艾：[答案] y=cosx+3√(1-cos2x) [cos2x=1-2(sinx)^2] =cosx+3√(2(sinx)^2) =(1/√2)*√2cosx+3√(2(sinx)^2) y^2≤[(1/√2)^2+3^2][(√2cosx)^2+2(sinx)^2] =(1/2+9)[2(cosx)^2+2(sinx)^2] =19/2*2 =19 -√19≤y≤√19 y最大值√19

通海县13659264123： 已知a2+b2=3,x2+y2=4,求ax+by的最大值和最小值最大值用柯西不等式很好求,问题是最小值 - ？
乘宣康艾：[答案] a=√3cosα b=√3sinα x=2cosβ y=2sinβ ax+by =2√3cosαcosβ+2√3sinαsinβ =2√3cos(α-β) ∴ax+by的最大值是2√3、最小值是-2√3

通海县13659264123： 柯西不等式求3x - 4y最小值,最大值 (x+1)^2+(y - 1)^2=9柯西不等式(1)求3x - 4y最小值,最大值 (x+1)^2+(y - 1)^2=9(2)求函数y=2x+根号(5x^2+7) - ？
乘宣康艾：[答案] 思路如下: (1)求3x-4y最小值,最大值,已知是 (x+1)^2+(y-1)^2为定值9,所以把已知凑出(x+1)与(y-1) 3x-4y=3(x+1)-4(y-1)-7 而[3(x+1)-4(y-1)]^2≤[(x+1)^2+(y-1)^2][3^2+(-4)^2]=9*25 所以-15≤3(x+1)-4(y-1)≤15 所以-22≤3x-4y≤8 当且仅当(x...

通海县13659264123： 柯西不等式在椭圆中的应用问题一椭圆为(x^2)/4+(y^2)/9=1,求x+y的最大值与最小值,应用柯西不等式[(x^2)/4+(y^2)/9](4+9)>=(x+y),求出最大... - ？
乘宣康艾：[答案] 应用柯西不等式[(x^2)/4+(y^2)/9](4+9)>=(x+y),求出最大值为√13,最小值为-√13.这里不需要如何证明(x/2)/2=(y/3)/3成立,只要当:(x/2)/2=(y/3)/3-----(1)时与(x^2)/4+(y^2)/9=1-----(2)由(1)(2)联立方程组...