如何理解定积分的上，下限？
定积分统一表示上限减下限。
从定积分的一般形式∫(a->b)f'(x)dx=f(b)-f(a)来看，其中写在积分符号右上角的上标b，就是定积分的上限，而写在积分符号右下角的下标a，就是定积分下限。定积分如果存在，就一定是一个具体的值。没有上下限标注的积分称为不定积分，它指的是一个函数系，一般并不是一个具体的值，也不只是一个具体的函数。
性质
定积分必须在一个区间[a,b]内进行才有意义，这个区间的左端点a，或者说是区间的最小值，就被定义为定积分的下限，而区间的左端点b，或者说是最大值，就被定义为定积分的下限。
不过定积分的上下限其实也不是具定不变的。我们习惯从左向右思考问题，取这个定积分的概念，其实从右向右也未尝不可。不过这样得到的定积分与从左向右的结果是互为相反的。上下限是可以转换的，转换之后，原来的上限就变成了下限，而原来的下限又变成了上限。
定积分是变量限定在一定的范围内的积分,有范围的.微积分包括微分和积分,积分和微分互为逆运算,积分又包括定积分和不定积分,不定积分是没范围的众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导函数，而求积分是求已知导函数的原函数。所以，微分与积分互为逆运算。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。定积分包含于微积分微积分包括：微分,积分积分又包括：定积分,不定积分不定积分是只有积分号,没有积分上下限的那[tele.gzaier.cn/article/842073.html]
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你好是自变量的范围如dsinx前面的积分上下限是x的范围而不是sinx的范围但如果你兄宽把羡世亮sinx看做一个整体t那么相应前面积分上下限也要对应改变这就是“换元必换限”举例∫(0到π/2)cosxdx=∫(0到π/2)dsinx=∫(0到1)dt=1正因如此，返庆只要不换元积分上下限就不用改变如dx和d（x＋2）和d（3x）积分上下限都是x的范围[tele.szzcjx.cn/article/956210.html]
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如何理解定积分?
理解到这就够了，定积分的几何意义是面积的代数值的和，把曲线分成在x轴上方的部分和在x轴下方的部分，就是曲线在x轴上方的部分的积分是面积，在x轴下方的部分的积分是面积的负值，也就是相反数，然后各部分加在一起就是整个积分了，被积函数的自变量就是积分变量，显然被积函数的自变量是x还是t都...
什么是积分上下限?
定理：若函数f(x)在区间［a,b]上可积，则积分变上限函数在［a,b]上连续。如果函数f(x)在区间a，b上连续，则积分变上限函数在a,b上具有导数，并且导数为对数学思想的不断积累并逐渐内化为自己的观念是学习数学的重要目标。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，它可将积分学问题转化为...
如何理解定积分
它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿－莱布尼茨公式）。定积分简介 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
定积分的上下限数值不一样,分别代表什么?数值一样又代表什么?如何理解...
定积分的计算就是把一个函数通过积分公式积分,再把定积分的上下限代入积分后的式子中,用代入上限的值减去代入下限的值.当上限和下限的值一样时,代入上限的式子和代入下限的式子完全相同,相减就为0了.
如何理解定积分的含义?
需要将max{3x-xx}代入积分式中，并将积分区间代入计算。具体地，max{3x-xx}在x∈[0，1]时取值为0，在x∈[1，3]时取值为2x-x^2。因此，积分式可以表示为：∫_0^3max{3x-xx}dx = ∫_0^1 0 dx + ∫_1^3 （2x-x^2） dx 对于上式中的每个积分，可以通过求导来验证其结果。
积分上限函数如何理解?
如果上限是常数，那么定积分后是定值。现在，让上限变动，那么将得到一系列定积分值。这系列定积分值满足一函数，这个函数由上限函数决定。
怎样理解定积分的几何意义?
答案如下图所示：当极限的表达式里含有定积分时,，常将这种极限称为定积分的极限。对于这类定积分的极限，以往求极限的各种方法原则上都是可用的。所不同的是，这类极限问题往往需要充分应用积分的各种特性和运算法则等，有时也可将问题转化为某函数的积分和或者达布和的极限，从而转化为新的定积分问题...
什么是定积分?
但如果你要求图形的面积，就要用到它的绝对值。定积分理解注意事项：理解这个含义，需要注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。
定积分定义
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定...
微积分笔记五:定积分
统计学和经济学则利用定积分来计算概率密度函数和生产函数，为决策提供科学依据。生物学研究中，定积分协助分析生物体的生长曲线、种群扩散等动态过程。计算机科学中，信号处理和数据分析依赖于定积分来提取关键信息。定积分，这个看似抽象的概念，实则与我们生活中的诸多现实问题紧密相连。深入理解定积分，就...
楚若曲奥： 我觉得应该从定积分的历史来源考虑,定积分起源于现实问题:变速直线运动在一段时间内所行驶的路程,这里面的积分上下限就是时刻,小的时刻做下限,大的时刻做上限,这样计算出来的数值才能有意义,所以实际问题中一般是小的做下限,大的做上限.如果题目没特殊要求就这样,而调换上下限的只是改变符号,不会对计算造成多大困难.
广东省17523032996： 定积分里的上限和下限是什么意思请通俗一点 ？
楚若曲奥： 定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.
广东省17523032996： 定积分的上下限数值不一样,分别代表什么?数值一样又代表什么?如何理解上下限的问题.定积分的上下限一样如何计算,不一样如何计算? - ？
楚若曲奥：[答案] 定积分的计算就是把一个函数通过积分公式积分,再把定积分的上下限代入积分后的式子中,用代入上限的值减去代入下限的值. 当上限和下限的值一样时,代入上限的式子和代入下限的式子完全相同,相减就为0了.
广东省17523032996： 定积分 上下限为什么不是上限一定大于下限 - ？
楚若曲奥： 讲定义的时候上限是必须大于下限的.讲完定义后,为了以后的计算方便,又做了规定,上限可以小于下限,上下限可交换,交换后加个负号,这个就是个规定.有了这条规定,我们的计算就方便多了,否则以后在做题中只要上下限不是确定数字的话,总是需要讨论谁大谁小的问题,那就太烦燥了.可以理解为定义的推广.
广东省17523032996： 请通俗的讲讲定积分的性质 - ？
楚若曲奥： 定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具,在对定义加深理解的基础上,我们还应了解一些定积分的基本性质.(由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容,所以对证明过程不作要求.)一、定积分基本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的,则有性质1 函数代数和(差)的定积分等于它们的定积分的代数和(差).即.这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前,即 ( 为常数).性质3 不论 三点的相互位置如何,恒有 .这性质表明定积分对于积分区间具有可加性.
广东省17523032996： 定积分上下限 - ？
楚若曲奥： 那是因为在引入的时候用的是面积,当是从小的积分到大的时候,是面积,当小于零的时候,是负的面积.这里用了积分换元法.没有规定上面必须大于下面的.
广东省17523032996： 关于定积分上下限的问题. - ？
楚若曲奥： ∫(π/3->5π/6)cos(x+π/3)dx =∫(π/3->5π/6)cos(x+π/3)d(x+π/3) =∫(π/3->5π/6)dsin(x+π/3) =sin(x+π/3)+C|(π/3->5π/6) =sin(5π/6+π/3)+C -sin(π/3+π/3)-C =sin(7π/6)-sin(2π/3) =sin(π+π/6)-sin(π-π/3) =-sin(π/6)-sin(π/3) =-1/2(1+√3)先带上限 减去 带下限
广东省17523032996： 定积分和不定积分的区别 定积分的上下限可以写到不定积分的括号外边去吗! - ？
楚若曲奥： 定积分确切的说是一个数,或者说是关于积分上下限的二元函数,也可以成为二元运算,可以这样理解∫[a,b]f(x)dx=a*b,其中*即为积分运算(可以类比简单的加减运算,只不过这时定义的法则不一样,加减运算是把二维空间的点映射到一维空间上一个确定的点,定积分也一样,只不过二者的法则不一样); 不定积分也可以看成是一种运算,但最后的结果不是一个数,而是一类函数的集合. 对于可积函数(原函数是初等函数)存在一个非常美妙的公式 ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a) 其中F'(x)=f(x)或∫f(x)dx=F(x)+c. 虽然运算结果相同,但是严格意义上来说,定积分的上下限只能写到它原函数的外边,不能象兰州说的那样.
广东省17523032996： 关于定积分问题 - ？
楚若曲奥： 郭敦顒回答:一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一原函数在区间[a,b]上的增量.举例从感性认识上来理解这问题,对初学者易于接受些.定积分∫[a,b]F′(x)dx=∫[a,b] f(x)dx,f(x)是导函数,F(x)是导函数的原函数,F′(x)= f(x),如f(x)=2x....
