拓扑学在物理研究中有哪些具体应用？
（我目前学得还不是太深）
电磁学里,对于复杂电路电阻的计算,会用到一些浅显的拓扑学知识
在利用基尔霍夫方程组解复杂电路的时候,由网络拓扑学可知,对于P条支路,N个节点,M个回路,有:
p=m+n-1
很浅显的应用
广义相对论。比如单参微分同胚群，里面的每一个元素都是一个同胚映射，这个映射就是从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的映射。当然这个拓扑空间还得带有微分结构，是拓扑空间中的特例微分流形。
Killing场的定义就是该矢量场给出的单参微分同胚群是等度规群。具体说来，就是给定定义空间流行中的一点，该单参微分同胚群的参数到值域空间的映射就是一条曲线，这样给定空间的全部点都对应一条曲线，以这些曲线为这些点上矢量的积分曲线则给出一个矢量场，如果这个单参群恰好为等度规群，则这个矢量场为Killing场。Killing场在广相中有应用，比如利用对称性求解测地线方程。
我的毕设课题是“拓扑绝缘体的偏振光电流研究”。我开始还特意去了解了一下拓扑学，但现在我发现其实题主所说的“拓扑绝缘体”和数学领域的"拓扑学“”并没有太大联系。简单来说，拓扑绝缘体就是表面导电，但体内绝缘的一种特殊的绝缘体。就好比镀金的陶瓷碗，镀金层能导电，但是陶瓷碗本身不导电。但是它的性质又不完全等同于镀金陶瓷碗，因为镀金陶瓷碗表面的导电性会随着表面金属层的磨损而消失，但是拓扑绝缘体“表面导电，体内绝缘”的性质是它的内禀性质，不会随着磨损表面而消失。拓扑绝缘体“表面导电，体内绝缘”的性质主要是由于表面的狄拉克锥引起的。
最简单的拓扑不变量是亏格吧，也就是一个曲面上“洞”的个数，比如加拿大国家零食甜甜圈亏格数就是一。早在1974年，描述夸克的量子色动力学（QCD）建立不久，由于在低能的时候QCD是强耦合，导致人们找不到一个参数去做微扰。这一年是个物理大年，荷兰天才少年t'Hooft提议用色的数量当作微扰参数(现在叫1/N expansion)。最简单的模型是U(N) theory加上quartic coupling, 其中所有的场都是在adjoint rep里面(matrix valued field). 用费曼法则可以简单写下propagator和 vertex，然后就能写下所有n point function。由于场都是矩阵，所以我们做contraction的顺序会导致不同的振幅。这些不同的顺序画出来的费曼图的区别是有没有线相交。t'Hooft说我们到圆环上画就可以让他们不相交了。就这样弄下去，tHooft发现可以用1/N当作参数做展开，求和正好对应于对不同的亏格数求和。巧了，正好有一个当年被QCD打败的理论也是对亏格数求和的，那就是弦论。弦的散射用worldsheet画出来就是用亏格数分类的。所以早在七十年代，某种场论和弦论的对应关系就被发现了。只是碍于时代的限制，人们并不知道如何从一个large N场论找到对应的弦论（或反过来）。直到九十年代初，又是tHooft，提出了全息原理，启发了后来的AdS/CFT大法。The Big Picture简单说就是：量子态的分类方法。有时用代数不变量（比如Casmir），有时用拓扑不变量。用后者分类时，拓扑不平凡的态就称为拓扑解。至于什么时拓扑不平凡，上面的大神都说了。从场的角度来说就是场位形的拓扑类（同伦类），不同类的场位形之间不能通过连续变化得到彼此。至于凝聚态里的具体例子，我就不清楚了。
拓扑的直观意思就是一个物体如果经过连续的形变能变成另一个物体，那两个在拓扑意义上就是等价的。比如一个甜甜圈和一个带把儿的茶杯拓扑上是一样的，都有一个孔。在物理上对应能隙带（energy gap）。一个物理系统如果能连续的变化到另一个物理系统（变化过程中gap不关掉），那两个系统拓扑意义上上等价。这些年大热的所谓拓扑绝缘体，量子自旋霍尔效应，马约拉纳费米子等在实验上都不是严格的拓扑体系，只有量子霍尔效应才是真正的拓扑体系。
拓扑学在数学领域的应用有什么?
2.物理学：在物理学中，拓扑学被用来研究物质的基本性质和结构。例如，拓扑学在量子场论、凝聚态物理、统计力学等领域都有重要的应用。3.计算机科学：在计算机科学中，拓扑学被用来研究网络的结构和性能。例如，拓扑学可以帮助我们理解和优化互联网、社交网络等复杂网络的结构。4.生物学：在生物学中，...
在物理学领域,拓扑结构有何意义?
此外，拓扑结构还在凝聚态物理、粒子物理等领域有着广泛的应用。例如，拓扑绝缘体是一种具有特殊电性质的材料，其内部的电子运动形成了一种复杂的拓扑结构。通过研究这种结构，我们可以开发出新型的电子器件。总的来说，拓扑结构在物理学中的意义主要体现在它能够帮助我们理解和预测物质的性质和行为。通过研究...
拓扑学在工业界有哪些具体的实际应用?
4. 物理学：拓扑学在物理学中的应用主要体现在量子力学和凝聚态物理中。例如，拓扑相变是一个重要的物理现象，与许多重要的物理过程（如超导和磁性）有关。5. 化学：拓扑学在化学中的应用主要体现在分子设计和化学反应的分析中。例如，通过分析分子的拓扑结构，可以预测其反应性和稳定性。6. 生物学：...
拓扑为什么叫拓扑?
拓扑学在数学的许多分支中都有应用，如代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑等。此外，拓扑学还在物理学、计算机科学、生物学等领域发挥着重要作用。例如，在物理学中，拓扑学被用来研究量子力学中的相位和拓扑绝缘体；在计算机科学中，拓扑学被用来研究数据结构和网络通信；在生物学中，拓扑学被用来研究DNA分子的...
流形拓扑学的研究有何重要性?
其次，流形拓扑学的研究对于物理学的发展也有着重要的影响。在物理学中，很多现象都可以被理解为在某种空间中的变化，而这些空间往往可以被看作是流形。例如，在广义相对论中，时间和空间被统一在一个四维流形中，通过研究这个流形的性质，我们可以更好地理解宇宙的结构和演化。此外，流形拓扑学的研究对于...
图论和拓扑学的关系有哪些?
再次，从应用领域来看，图论和拓扑学都有着广泛的应用。在图论中，图被广泛应用于网络分析、电路设计、社交网络等领域。在拓扑学中，空间的性质被广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。例如，在物理学中，电子的运动轨迹可以用拓扑学来描述；在生物学中，蛋白质的三维结构可以用拓扑学来研究。总的来说...
纸条扭三扭、四扭、五扭贴成圈为什么?
在拓扑学中，圆环、球体、杯子等都被称为拓扑空间，而拓扑空间的关系可以用一些基本的拓扑工具来描述，比如拓扑同源、同伦、同调等。除了在数学中的应用，拓扑学还被应用于物理学、计算机科学、生物学等领域。例如，在物理学中，拓扑物态是研究的一个热门课题，其研究对象是具有拓扑特征的物质，研究目的是...
空间的属性有哪些
空间的属性主要有以下几点：1. 维度 空间具有不同的维度属性，常见的有三维空间，包括长度、宽度和高度。在物理学中，我们还常常讨论更高维度的空间，如弦理论中的多维时空。2. 拓扑结构 拓扑学是研究空间形状和结构的一门学科。因此，空间的属性还包括其拓扑结构，例如欧几里得几何描述了空间中点和线的...
拓扑是什么意思?
而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。比较著名的拓扑学问题有：一笔画问题、地图的四色问题、莫比乌斯面、克莱因瓶等。拓扑学已经应用于物理学、化学、生物学、语言...
诺贝尔物理学奖的“拓扑相变和拓扑相物质”是个啥
以上的理解都只是人们熟知的常规世界。获得诺贝尔物理学奖主要是研究平面中的物理现象，在分布非常稀少的物质中，可以包含了数百万个原子，每个原子的行为都能用量子物理学来解释，而很多原子结合的时候又会显示出完全不同的特性。对于物质的新相变，未来有望应用于激动人心的的超导材料和电子学领域，甚至是...
温胜尤尼： (我目前学得还不是太深) 电磁学里,对于复杂电路电阻的计算,会用到一些浅显的拓扑学知识 在利用基尔霍夫方程组解复杂电路的时候,由网络拓扑学可知,对于P条支路,N个节点,M个回路,有:p=m+n-1 很浅显的应用
荷塘区17193066478： 拓扑学是什么时候应用到物理的 - ？
温胜尤尼： 答案:开始于19世纪末,大量运用在20世纪拓扑学(Topology)是在19世纪末兴起并在20世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支,其中拓扑变换在许多领域均有其用途.直至今日,从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱.并且在物理、化学、生物等科技领域得到广泛的应用
荷塘区17193066478： 拓扑学在现实生活中有怎样的实用价值? ？
温胜尤尼： 拓扑学研究的是极度抽象的空间,因此它在现实生活中的应用注定是间接的.学习过高等数学的人可能不知道其中的许多定理都需要拓扑学来保证其合法性,而高等数学是物理、化学等学科的数学基础.我们的生活离不开物理和化学的研究成果,因此也就离不开拓扑学的合法性保证.
荷塘区17193066478： 拓扑学在哪些方面有应用? ？
温胜尤尼： 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用
荷塘区17193066478： 拓扑学和经典物理学有什么关系 - ？
温胜尤尼： 拓扑学则研究的则是经过一系列扭曲、拉伸、压缩等操作仍然不变的性质.比如说,一个篮球可以被我拉成一个橄榄球,尽管形状变了,可能体积、表面积都变了,但是有一些重要性质是没有变化的:有两个面(内表面和外表面),封闭等.这些都是拓扑学的性质,这些都属于拓扑学的范畴.因为大量自然现象具有连续性,所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性
荷塘区17193066478： 什么叫拓扑学? - ？
温胜尤尼： 拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支.它最初是几何学的一个分支,主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质,现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支. 拓扑学起初叫形势分析学,是莱布尼茨1679年提出的名词.十九世纪中期,黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学.从此开始了现代拓扑学的系统研究. 连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存在的.拓扑学对连续性数学是带有根本意义的,对于离散性数学也起着巨大的推动作用.拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识.拓扑学的概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用.
荷塘区17193066478： 拓扑学主要研究什么? - ？
温胜尤尼： 拓扑学是一种几何学,按照埃尔朗根纲领的说法,几何学是研究几何变换下的不变性的~ 例如,我们高中学的几何学是研究几何图形在刚体运动(旋转,平移,对称)下不变的性质和不变量~ 而对于拓扑学相应的变换是拓扑变换,简单的说,就...
荷塘区17193066478： 拓扑学 究竟是干什么的 - ？
温胜尤尼： 在经济学方面,J.冯·诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡的存在性.在现代数理经济学中,对于经济的数学模型,均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具.在系统理论、对策论、规划论...
荷塘区17193066478： 拓扑学是什么? - ？
温胜尤尼： 拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科.我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名...
荷塘区17193066478： 简介拓扑知识 - ？
温胜尤尼： 拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支.起初它是几何学的一支,研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形,形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形,但不许割断和粘合);现在已发展成为研究连续性现象的数学分支.由于连...
