高三立体几何题目

高三立体几何题目~

我帮你从其他地方找了一下，发现这个是原题目。

(1)
利用 AD，AB 还有他们的夹角，可以计算出 BD =1
所以 三角形 ADB 是直角三角形。 角 ADB=角CBD=角A'DB=90 度
所以 BC垂直于BD
过D作 DE 垂直于 A'B于E
因为 面A'BC垂直面A'BD 可以知道 DE垂直于面A'BC
所以DE垂直于BC，所以BC垂直于面A'BD
所以 BC垂直于 A'D
所以 A'D垂直于 面BCD
(2)
作 MN垂直 CD与 N，作NP垂直BD于P。连接 MP
利用 （1）的各种垂直关系，可以知道 MPN 就是 二面角
三角形 A'DC 和 三角形 DBC 中 可以求出 MN 和 NP 的用 拉姆达 表示的 长度
再结合 二面角 是 60度。 可以在直角三角形 MNP 中 得到 MN 和 NP 的比值
可以列方程求解 拉姆达了

1.
因为ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，由等腰三角形性质可得：AD⊥BC
B1在ABC面上的投影为D，说明B1D⊥面ABC，所以有B1D⊥BC，B1D⊥AD，这样，AD同时垂直于面BB1C中的两条相交直线B1D和BC，所以有AD⊥面BB1C，于是，AB1与面B1BC所成的角即为∠AB1D *
由B1D⊥面ABC可得知∠B1BD即为侧棱BB1与地面ABC所成的角θ
因为B1D⊥BC，所以可得出Rt三角形BB1D中，∠BB1D=90°-∠B1BD=90°-θ *
由B1D垂直面ABC可得出：∠B1DB=∠B1DA=90°，而在等腰直角三角形ABC中，肯定有AD=BD，于是在△B1BD与△B1DA中，由边角边可判断它们全等，所以有∠BB1D=∠AB1D
所以∠AB1D=90°-θ=π/2 -θ
而θ在[π/6,π/4]内变化，可得出∠AB1D的变化范围是[π/4,π/3]
即B1A与平面B1BC所成角的取值范围是[π/4,π/3]

2.
此问较繁琐，有些细碎的证明及边的计算我就一笔带过了！
此问的关键用反证法否定：
假设存在A1B1上的一点M，使CM垂直于DA1
在A1B1上随便标出M的位置，并过M点作MN‖A1D，交B1D于N，连接CN，CM，则必有CM⊥MN，Rt△CMN中的三边满足勾股定理：MC^=NC^-MN^ ①

等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D为BC边中点，可轻易求出BD=2√2，BD=CD=√2，
由于此时θ=π/3，即∠B1BD=60°，可以轻易得出三角形B1BC是等边三角形，求出，B1C=2√2，B1D=√6，
由之前所求的B1D垂直于底面A1B1C1，可轻易得出∠A1B1D=90°，A1B1=AB=2，则由Rt三角形A1B1D勾股定理可得：A1D^=A1B1^+B1D^
求出A1D=√10
由此，△A1B1D中，三边的比例关系可以得出：A1B1:B1D:A1D=2:√6:√10
而由MN平行A1D，可得出△B1A1D与△B1MN相似，从而得出这两个三角形的三边分别对应成比例，于是，△B1MN中三边的比例关系也可以得出，为：B1M:B1N:MN=2:√6:√10
设B1M=2k,则分别有B1N=√6k,MN=√10k
由于M假设存在于线段A1B1上，故有B1M∈[0,A1B1]即[0,2]，故可得出2k∈[0,2],k∈[0,1] *
ND=B1D-B1N=√6-√6k,于是在Rt三角形NDC中使用勾股定理：NC^=ND^+DC^，可得出NC^=6k^-12k+8
将MN与NC^用k表示的表达式代入①式：
MC^=-4k^-12k+8

取B1C1中点E，连接A1E，EC，A1C，很容易判断∠A1EC=90°，也容易得到A1E=√2，CE=B1D=√6，在三角形A1EC中运用勾股定理可得出
A1C=2√2
故三角形A1B1C是等腰三角形，其两腰A1C=B1C=2√2，很容易求出底边A1B1上的高为√7，且cos∠MB1C=√2/4 ②
由于M位于A1B1上，所以它CM的取值范围必是[√7,2√2]之间，结合上面求得的MC^的表达式，有(-4k^-12k+8)∈[7,8]，结合前方k∈[0,1]的前提，可解出k∈[0,(√10-3)/2] ③

而在△B1MC中，三边B1M=2k,B1C=2√2，CM^也已知，故可通过余弦定理表示cos∠MB1C:
cos∠MB1C=(B1M^+B1C^-CM^)/(2*B1M*B1C)=(2k+3)/2√2 ,结合②式，最后得到K=-1，显然，这个k值时不存在的，故，先前的假设“存在M在A1B1上，使得CM垂直于DA1”不成立，不存在M∈A1B1，使得CM垂直DA1

3.此问较易

过B作BP⊥AB1于P点，现证明此时的P点满足PD+PB最小的题设条件
由“点到直线的最短距离为点到直线的垂线段长度”这个结论，可以得出此时的PB值是B到B1A的最短距离；
过B1作B1H⊥BA于H，由第1问中证明两个三角形全等时的结论，可得到BB1=B1A，于是在等腰三角形B1BA中，B1H为AB边的中线和高，AH=1，
因为BP⊥AB1，于是可得出△HAB1相似于△PBA，可以得到一个比例关系的变形：AP*AB1=AH*AB,代入各自的值，可得出
AP=√2/2

连接PD
可得出AD^=（√2）^=2,AP*AB1=(√2/2)*2√2=2,AD^=AP*AB1,AD/AP=AB1/AD
于是，可得到△ADP相似于△AB1D，于是∠APD=∠ADB1
而在第1问中，已证明AD垂直于B1D，于是∠ADB1=90°，∠APD=90°，所以DP⊥AB1于P
于是，DP是D点到AB1的最短距离

综上所述，PB与PD皆为B，D点到AB1的最短距离，故，此时的P点满足其到B，D的距离之和PB+PD最短的题设，此时P点的位置可由B或D点向B1A引垂线得到，它距离A点的距离PA=√2/2,距离B1点的距离PB1=（AB1-PA）=3√2/2
也就是说，P点的位置对应在AB1上选取时，应满足PA:PB1=1:3

α与β为两个相交平面，交线为CD，
EA⊥α,则EA⊥CD；（垂直于一个平面的一条直线会与平面上的每一条直线垂直）
同理EB⊥CD，则CD⊥平面EBA；
所以CD⊥AB。

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