为什么正交矩阵的行,列向量都是单位向量且两两正交?
将A表示成列向量的形式
A=(a1,a2,...,an)
则 A 为正交矩阵
A^TA= E
( ) = E
= 0,若 i≠j; = 1,若 i=j
A的列向量组是标准正交向量组 .
注:A的列向量都是单位向量 不能推出 A 正交.
若 i≠j,
= 0 若 i=j, = 1, 即 a1,...,an 是单位向量
单位向量是满足 √
= 1 的向量 i=j时, √ = √1 = 1, 所以 ai 的长度为1.
A是正交矩阵
A^TA=E (定义)
A的行(列)向量两两正交且是单位向量 (定理)
将A按列分块为 A=(a1,...,an)
由 A^TA=E 得 ai^Taj = 1 (i=j) , 0 (i≠j)
所以列向量 ai 是单位向量, 且两两正交.
同理由 AA^T=E 可得A的行向量也是两两正交的单位向量.
首先这是定义，定义是不需要证明的
如果以AA转置=E来证明:这就是简单的概念就得到结论
E的非对角元素其实就是A的不同行向量之间的内积，等于0说明A不同行之间垂直
E的对角元素是A各行向量对自己的内积，其实就是他模的平方，所以说明行向量是单位向量
所以的证
由于正交矩阵的性质得来，证明也很简单，如图所示：
正交矩阵的行列式是什么?
如下：1、实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。2、任何正交矩阵的行列式是+1或−1，这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由...
正交矩阵有什么性质?
正交矩阵的性质包括以下几点：1. 行列数和转置矩阵相等。正交矩阵的行数和列数相等，并且其转置矩阵与原矩阵相等。这是因为正交矩阵是一种特殊的方阵，其元素按照特定的规律排列，导致这样的性质。这一点有助于计算转置矩阵的行列式和特征向量。更重要的是，该性质揭示了矩阵元素的排列方式对其特殊性质的...
什么是正交矩阵的判断依据?
判断一个矩阵是正交矩阵的方法如下：1、列向量和行向量均为单位向量：正交矩阵的每个列向量和行向量的范数（长度）都为1。2、列向量两两正交：正交矩阵的每两个不同的列向量内积为0，即彼此垂直。3、行向量两两正交：正交矩阵的每两个不同的行向量内积为0，即彼此垂直。4、列向量和行向量的乘积为...
什么样的矩阵是正交矩阵呢?
若得到的是单位阵，则矩阵A是正交矩阵，若得到的不是单位阵，则矩阵A不是正交矩阵。若A为正交阵，则满足以下条件：1、A^T是正交矩阵。2、A^T的各行是单位向量且两两正交；各列是单位向量且两两正交。3、(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R 4、|A|=1或-1 5、A^T等于A逆 ...
正交矩阵是什么
详细解释如下：正交矩阵的定义 正交矩阵是一种在数学、物理和工程领域中广泛应用的特殊矩阵。它满足矩阵与其转置矩阵的乘积等于单位矩阵的条件。换句话说，正交矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵。这种矩阵具有一些独特的性质，使其成为许多领域中重要工具的一部分。其中，其行和列都彼此正交是一个关键特点。此外...
正交矩阵的行列式的值是多少?
两边取行列式得：|AA^T| = |E| = 1。而 |AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = |A|^2。所以 |A|^2= 1。所以 |A| = 1 or -1。正交矩阵的特点如下：1、实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R...
正交矩阵不同列对应元素乘积之和不一定等于零?
必须等于零。“正交矩阵（Orthogonal Matrix）是指其转置等于其逆的矩阵。 是正交矩阵。 ，也就是说矩阵的行（或列）向量之间点积等于0（向量正交），行（或列）向量与自身的点积等于1（单位向量），所以正交矩阵又有另一种定义：由行之间两两正交、列之间两两正交的单位向量组成的方阵。 所以正交矩阵...
正交矩阵有什么性质?
正交矩阵具有独特的性质，这些性质使其在数学和数值分析中扮演重要角色。首先，一个实数方阵被定义为正交矩阵，当且仅当它的列向量（或行向量）构成一个欧几里得空间R的正交规范基，即它们之间的点积为0。这相当于说，正交矩阵的行向量和列向量都是互相正交的。值得注意的是，尽管有诱人误解，非正交规范...
什么是正交矩阵?
正交矩阵的定义：如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵和实对称矩阵的区别：1、实对称矩阵的定义是：如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。2、正交变换e在规范正交基下的矩阵是正交矩阵，...
正交矩阵中列向量正交,为什么行向量一定正交?
经过施密特标准正交化后 B=[b1...bn] b1..bn是标准正交的列向量组 所以 BTB=[b1T].. * [b1..bn]= E...(1) E是单位阵 T表示转置 [bnT]B=[c1] b1..bn是B的行向量组 ..[cn]将(1)两边取转置 B*BT=E [c1].. * [c1T...cnT]=E [cn]根据分块矩阵乘法 [c1...
籍刷曲坦：[答案] A是正交矩阵 A^TA=E (定义) A的行(列)向量两两正交且是单位向量 (定理) 将A按列分块为 A=(a1,...,an) 由 A^TA=E 得 ai^Taj = 1 (i=j) ,0 (i≠j) 所以列向量 ai 是单位向量,且两两正交. 同理由 AA^T=E 可得A的行向量也是两两正交的单位向量.
围场满族蒙古族自治县15854172618： 为什么正交矩阵的各行是单位向量 - ？
籍刷曲坦：[答案] 因为 A是正交矩阵 所以 A^TA = AA^T = E 考虑 AA^T = E 的第i行第i列元素 即得 αi αi^T = 1 所以 A 的行向量 αi 是单位向量
围场满族蒙古族自治县15854172618： 为什么方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量?不好意思,我写漏了,还有两两正交的条件 - ？
籍刷曲坦：[答案] 将A表示成列向量的形式 A=(a1,a2,...,an) 则 A 为正交矩阵 A^TA= E ( ) = E = 0,若 i≠j; = 1,若 i=j A的列向量组是标准正交向量组 . 注:A的列向量都是单位向量 不能推出 A 正交.
围场满族蒙古族自治县15854172618： 正交矩阵的充要条件是:行,列向量都是两两正交的单位向量?为什么要是单位向量?不是单位向量,只要向量两两正交就可以吧 - ？
籍刷曲坦：[答案] 好像这是一开始定义正交矩阵时就这么规定的,我个人也认为单位向量是不必要的,但是现在统一都要单位
围场满族蒙古族自治县15854172618： 正交矩阵的列向量为什么一定是正交的单位向量组? - ？
籍刷曲坦： 你好A是正交矩阵 <=> A^TA=E (定义) <=> A的行(列)向量两两正交且是单位向量 (定理)将A按列分块为 A=(a1,...,an) 由 A^TA=E 得 ai^Taj = 1 (i=j) , 0 (i≠j) 所以列向量 ai 是单位向量, 且两两正交.同理由 AA^T=E 可得A的行向量也是两两正交的单位向量.
围场满族蒙古族自治县15854172618： 为什么说这里A为正交矩阵,列向量为单位向量,那么对应行向量呢?红笔划线处 - ？
籍刷曲坦： 正交矩阵的定义AA^T=E,行向量和列向量的乘积应为1,所以列向量也为单位向量
围场满族蒙古族自治县15854172618： 为什么方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量??? - ？
籍刷曲坦： 将A表示成列向量的形式 A=(a1,a2,...,an) 则 A 为正交矩阵 <=> A^TA= E <=> ( <ai,aj>) = E <=> <ai,aj> = 0, 若 i≠j; = 1, 若 i=j <=> A的列向量组是标准正交向量组 .注: A的列向量都是单位向量 不能推出 A 正交.
围场满族蒙古族自治县15854172618： 为什么矩阵正交化后要单位化 - ？
籍刷曲坦： 单位化的目的是为了得出正交阵(正交阵的列向量组是正交的单位向量).
围场满族蒙古族自治县15854172618： 正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组. - ？
籍刷曲坦：[答案] 对. 这是正交矩阵的一个充要条件
围场满族蒙古族自治县15854172618： 正交矩阵的每个列向量必须是单位向量吗?如果只是每个列向量互相内积为0,而每个列向量不是单位向量是不是正交矩阵?这里我说的矩阵不只是针对方... - ？
籍刷曲坦：[答案] 正交矩阵的概念就是针对方阵的.如果一个n*n的实矩阵A满足:A*A'=I,那么这个矩阵就是正交矩阵.其中A'表示矩阵A的转置,I表示单位矩阵. 从这个定义就可以推出来: 正交矩阵每个列向量都是单位向量 正交矩阵中任意两个列向量的内积等于0
