什么是正交矩阵？

~

正交矩阵的定义：如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

正交矩阵和实对称矩阵的区别：

1、实对称矩阵的定义是：如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。

2、正交变换e在规范正交基下的矩阵是正交矩阵，满足U*U’=U’*U=I

对称变换e在规范正交基下的矩阵是对称矩阵，满足A’=A

3、 转换矩阵是正交矩阵不代表被转换矩阵一定是实对称矩阵 反过来 实对称矩阵的相似对角化也不一定非要正交矩阵。

扩展资料：

正交矩阵的性质：

1、方阵A正交的充要条件是A的行(列) 向量组是单位正交向量组。

2、 方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基。

3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量。

4、 A的列向量组也是正交单位向量组。

实对称矩阵的性质：

1.实对称矩阵特征值为实数。

2..实对称矩阵一定有N个线性无关的特征向量。

3..实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交。

参考资料来源：百度百科-正交矩阵

参考资料来源：百度百科-实对称矩阵

正交矩阵（Orthogonal Matrix）是一个非常重要的数学概念，特别在线性代数和线性变换的领域中扮演关键角色。以下是正交矩阵的定义和一些重要性质：
定义：一个方阵（即行数等于列数）如果满足以下条件，就称为正交矩阵：

1.其中的每一列都是单位向量（长度为1的向量）。

2.矩阵的每一列都与其他列正交（垂直），也就是说，任意两列的点积（内积）为0。

3.正交矩阵是一个可逆矩阵，其逆矩阵等于其转置。

形式化地表示，对于一个正交矩阵Q，满足以下条件：

4.$Q^TQ = I$，其中$Q^T$是Q的转置，I是单位矩阵。

正交矩阵的重要性质包括：

5.保持向量长度和角度不变：如果你将一个向量乘以正交矩阵，那么向量的长度和与其他向量之间的夹角将保持不变。这是因为正交矩阵的列是单位向量，因此不会改变向量的长度，而正交性质确保了角度的不变性。

6.行列式的值为±1：正交矩阵的行列式的绝对值等于1。这是因为行列式的值等于变换前后空间的体积比例，而正交矩阵的作用是保持空间的体积不变。

7.正交矩阵的逆矩阵是其转置：如果Q是正交矩阵，那么$Q^{-1} = Q^T$。
8.正交矩阵的行和列都是正交基：正交矩阵的列是正交的，因此它们可以用作向量空间的正交基。同样，矩阵的行也是正交基。

正交矩阵在许多领域中都有广泛的应用，包括线性代数、线性变换、信号处理、图像处理、机器学习等。它们在旋转、坐标变换和正交投影等操作中非常有用，因为它们保持向量的长度和角度，因此可以保持重要的几何性质。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。
如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示"矩阵A的转置矩阵"）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵，实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

---

安图县18037296098： 正交矩阵(转置等于逆的矩阵) - 搜狗百科？
滕浅通窍：[答案] A是一个n阶方阵,A'是A的转置 如果有 A'A=E (单位阵),即A'=A逆 我们就说A是正交矩阵

安图县18037296098： 什么是正交矩阵 - ？
滕浅通窍： 如果 A^(-1)=A^T (或AA^T=A^TA=E ),则A叫做正交矩阵.

安图县18037296098： 两个矩阵正交是什么 怎么个表示.还有标准正交组有是么回事? 求各位大侠解答 - ？
滕浅通窍： 两个矩阵正交就是表示这两个矩阵分别是正交矩阵. 正交矩阵表示行向量或列向量线性无关且任意两行或列向量的乘积为零,自身与自身乘积为常数(任意常数),则这个矩阵正交.如果一组向量,相互乘积为零,而自身乘积为1,即为标准正交组.

安图县18037296098： 何谓正交矩阵?它有哪些性质? - ？
滕浅通窍： 定义 1 n阶实矩阵 A称为正交矩阵,如果:A*A′=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.) 若A为正交阵,则下列诸条件是等价的: 1) A 是正交矩阵 2) A*A′=E(E为单位矩阵) 3) A′是正交矩阵 4) A的各行是单位向量且两两正交 5) ...

安图县18037296098： 求助 关于正交矩阵的定义 - ？
滕浅通窍： 正交矩阵的定义是AA'=E 当然也就隐含着规定了它的行向量和列向量的模均为1.

安图县18037296098： 正交矩阵 - ？
滕浅通窍： 定义 1 如果:AA'=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.)或A′A=E,则n阶实矩阵 A称为正交矩阵, 若A为正交阵,则满足以下条件: 1) A 是正交矩阵 2) AA′=E(E为单位矩阵)3) A′是正交矩阵

安图县18037296098： 正交矩阵是实对称矩阵吗 - ？
滕浅通窍： 不一定.实对称矩阵有可能是正交矩阵,但是不是所有的实对称阵都是正交矩阵. 这里的P是是拍逗对称矩阵,且刚好P的逆等于P的转置,所以P也是正交矩阵.这只是一种特殊情况.正交矩阵定义:如果AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A...

安图县18037296098： 正交矩阵有什么性质? - ？
滕浅通窍： 如果:AA'=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置”.)则n阶实矩阵A称为正交矩阵 性质: 1. 方阵A正交的充要条件是A的行(列) 向量组是单位正交向量组; 2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基; 3. A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量; 4. A的列向量组也是正交单位向量组.

安图县18037296098： 什么是单位正交矩阵?？
滕浅通窍：你想知道什么,是举个例子呢?还是类似定义的解释呢? 定义:如果:AA'=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.)或A′A=E,则n阶实矩阵 A称为正交矩阵, 若A为单位正交阵,则满足以下条件: 1) A 是正交矩阵 2) AA′=E(E为单位矩...