已知三角形ABC中,角B<角C,BD、CE是角平分线。求证:CE<BD

已知：如图，BE是三角形ABC的内角平分线，CE是三角形ABC的外角平分线.求证:角E=1/2角B~

好像应该是2∠E = ∠A


设CE是∠ACD的角平分线
∴∠ECD = ∠EBC+ ∠E
∠ACD = 2∠ECD
∴∠A+∠ABC = 2∠EBC+2∠E
∴2∠E = ∠A

由角平分线的对应边成比例，所以
BC/CD=AB/AD，BC/BE=AC/AE
因为 BE=CD 所以 AB/AD=AC/AE
所以三角形ABC和三角形ACE相似
由相似三角形对应角相等，所以角ABD=角ACE
所以角ABC=角ACB
得证~三角形ABC为等腰三角形

解法一：利用三角函数
假设BD、CE相交于I，因为I是△ABC的内心，AI同样平分∠A

1) 根据正弦定理，在△IBC有：BI/CI=sin(C/2)/sin(B/2)
2) 根据角平分线定理，DI/BI=AD/AB=CD/BC=(AD+CD)/(AB+BC)=AC/(AB+BC)=b/(c+a)，EI/CI=AE/AC=BE/BC=(AE+BE)/(AC+BC)=AB/(AC+BC)=c/(b+a)
3) 根据1)、2)的结果有：BD/CE=(DI+BI)/(EI+CI)=[(a+b+c)*sin(C/2)/(c+a)]/[(a+b+c)*sin(B/2)/(b+a)]=[sin(C/2)/sin(B/2)]*[(b+a)/(c+a)]
4) 根据正弦定理，在△ABC中有：(b+a)/(c+a)=(sinB+sinA)/(sinC+sinA)，于是BD/CE=[sin(C/2)/sin(B/2)]*[(sinB+sinA)/(sinC+sinA)]
5) 以下我们证明sin(C/2)/sin(B/2) > (sinC+sinA)/(sinB+sinA)，从而证明BD/CE>1，即得BD>CE
5.1) 证明sin(C/2)/sin(B/2) > sinC/sinB。因为∠B<∠C，所以cos(B/2)>cos(C/2)>0，于是sin(C/2)/sin(B/2) > [sin(C/2)/sin(B/2)]*[cos(C/2)/cos(B/2)]=[2sin(C/2)cos(C/2)]/[2sin(B/2)cos(B/2)]=sinC/sinB
5.2) 证明sinC/sinB > (sinC+sinA)/(sinB+sinA)。因为∠B<∠C，所以sinB<sinC。这是简单的分式不等式：若x、y、z都是正数并且y>z，则y/z>(y+x)/(z+x)

解法二：利用斯特瓦尔特定理求角平分线长度
斯特瓦尔特定理请参考：http://zhidao.baidu.com/question/97455651.html
根据斯特瓦尔特定理：
BD^2=ac(a+b+c)(a+c-b)/(a+c)^2
CE^2=ab(a+b+c)(a+b-c)/(a+b)^2
要证明BD>CE，即需要证明c(a+c-b)/(a+c)^2 > b(a+b-c)/(a+b)^2
证明以下两个不等式就行：
1) c/(a+c) > b/(a+b)。利用c>b即得
2) (a+c-b)/(a+c)=1-b/(a+c)>1-c/(a+b)=(a+b-c)/(a+b)
1)乘以2)即证

考虑用角平分线长公式硬解

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南部县13470801831： 在三角形ABC中已知 角b=30° 角c=120° bc=10 ab - ？
连恒聚乙： 解:三角形ABC的∠A=100°-30°-120°=30°,它是等腰三角形AB边上的高为10/2=5AB=2根号(10²-5²)=10根号3

南部县13470801831： 已知在三角形ABC中,角B=角C=2角A,则角C等于多少 - ？
连恒聚乙： 已知在三角形ABC中,角B=角C=2角A,则角C等于72度

南部县13470801831： 如图,已知三角形ABC中,角B=角C=30°,请设计三种不同的方法,？
连恒聚乙： 第一,分别作三边的中垂线;第二:从顶点作底边中线,相当三线合一,再分别从另外两顶点作中线的高线!第三:作出中位线,再从中位线两端点作连接两顶点的连线!这样都可以得到两全等三角型和两直角三角型!

南部县13470801831： 已知,在三角形ABC中,角B比角A大20度,角B比角C小20度.求三角形ABC的三个内角的度数. - ？
连恒聚乙： 设角A是X,B是X+20,C是X+40, X+(X+20)+(X+40)=3X+60=180, X=40°,B60°,C80°

南部县13470801831： 已知在三角形ABC中,角B=2倍角C,AD为角BAC的平分线. - ？
连恒聚乙： 在AC上截取AE=AB.连接ED 得ABD和AED全等 AE=AB 可得角AED=角B=2倍角C=角C加角EDC 所以角C=角EDC 所以EC=ED=BD,所以AC=AE+EC =AB+BD

南部县13470801831： 已知锐角三角形ABC中,角B=2角A,则b/a等于? - ？
连恒聚乙： ∵角A角B的二倍 ∴B/A等于1/2 特别简单,只要仔细审题

南部县13470801831： 已知三角形abc中,角B等于角C,又三角形abc全等三角形def,若角A加角F等于100度,求角D的度数 - ？
连恒聚乙： 因为两个三角形全等,角A+角F=角A+角C=100,角A+角B+角C=180,所以角B=80 又因为角B=角C,所以角A=180-80*2=20,角D=角A,所以角D=20度

南部县13470801831： 已知在一个三角形ABC中,角A=角B,四分之一角C=角A,求三角形中各角的度数 - ？
连恒聚乙： 角A+角B+角C=180度.1/4角C=角A 角C=4角A=4角B180÷(4+1+1)=30度180-30-30=120度.三角形角A是30度,角是30度,角C是120度.希望能帮到你!

南部县13470801831： 在三角形ABC中,已知角B=角C=2角A,求角B的度数 - ？
连恒聚乙： 三角形内角之和为180度,角B+角C+角A=角B+角B+角B/2=180度,角B=72度

南部县13470801831： 己知三角形ABC中,角B=角C,D是BC上一点,DE丄AB,垂足是E,DF丄BC,DF交边AC于点F,角AFD=160度,求角EDF的度数 - ？
连恒聚乙： 因为角AFD=160度,角DFC=180-160=20度(AFC是直线,角度180度)则角C=180-角CDF-角DFC=180-90-20=70(DFC是三角形...