三阶常系数微分方程的通解怎么求？

三阶常系数微分方程的通解怎么求~

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此题解法如下：
∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0
==>dx-dy+(ydx+xdy)=0
==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0
==>x-y+xy=C (C是常数)
∴ 此方程的通解是x-y+xy=C。
扩展资料：
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
含有未知函数的导数，如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程 。
参考资料：百度百科 微分方程

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①

①对应的特征方程为：

λ3-2λ2+λ-2=0，②

将②化简得：

（λ2+1）（λ-2）=0，

求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，

于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，

从而方程①的通解为：

y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。

扩展资料：

二阶常系数齐次线性微分方程解法：

特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。

(1+y)dx-(1-x)dy=0

==>dx-dy+(ydx+xdy)=0

==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0

==>x-y+xy=C  (C是常数)

此方程的通解是x-y+xy=C。

参考资料来源：百度百科-通解 （微分方程术语）

特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。

具体求法如下：

设特征方程

 两根为r1、r2。 

① 若实根r1不等于r2

② 若实根r1=r2

③ 若有一对共轭复根a±bi

扩展资料：

一类重特征根对方程解的简便解法：

对于常系数齐次线性微分方程组

当矩阵A的特征根

的重数是

对应的mi个初等因子是

时，它对应方程中ni个线性无关解，其结构形如

此时多项式

的次数小于等于

由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在

与

 

之间找到了一个便于应用的多项式

次数的上界，使计算起来更加方便和有效。

参考资料来源：百度百科 - 特征根法

参考资料来源：百度百科 - 微分方程

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①
①对应的特征方程为：
λ3-2λ2+λ-2=0，②
将②化简得：
（λ2+1）（λ-2）=0，
求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，
于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，
从而方程①的通解为：
y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量．

与二阶完全一样,求特征方程的根。只不过可能出现三重根，就有1,x,x^2

一般n阶可以通过变换降成n个一阶的ode方程组= =~

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郎溪县13378672816： 三阶常系数微分方程的通解怎么求? - ？
吉和头孢： 特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法. 具体求法如下: 设特征方程两根为r1、r2.① 若实根r1不等于r2② 若实根r1=r2 ③ 若有一对共轭复根a±bi扩展资料: 一类重特征根对方程解的简便解法: 对于常系数齐次线性微分方程组当矩阵A的特征根的重数是对应的mi个初等因子是 时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如此时多项式的次数小于等于 由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在与 之间找到了一个便于应用的多项式次数的上界,使计算起来更加方便和有效. 参考资料来源:百度百科 - 特征根法 参考资料来源:百度百科 - 微分方程

郎溪县13378672816： 3阶常系数线性齐次微分方程y‴ - 2y″+y′ - 2y=0的通解y=C1e2x+C2cosx+C3sinxC1e2x+C2cosx+C3sinx. - ？
吉和头孢：[答案]常系数线性微分方程:y″′-2y″+y′-2y=0,① ①对应的特征方程为: λ3-2λ2+λ-2=0,② 将②化简得: (λ2+1)(λ-2)=0, 求得方程②的特征根分别为:λ1=2,λ2=±i, 于是方程①的基本解组为:e2x,cosx,sinx, 从而方程①的通解为: y(x)=C1e2x+C2...

郎溪县13378672816： 三阶微分微分方程y″′+y′=0的通解为:______. - ？
吉和头孢：[答案] 令p=y′,则微分方程y″′+y′=0可化为: p″+p=0,① 其特征方程为:λ2+1=0, 特征根为:λ=±i, 故①的通解为: p=k1cosx+k2sinx. 由y′=p=k1cosx+k2sinx, 积分可得, y=k1sinx-k2cosx+k3. 故原三阶微分方程的通解为: y=C1+C2cosx+C3sinx. 故答...

郎溪县13378672816： 常系数微分方程怎么解???? - ？
吉和头孢： 常系数微分方程的常用解法有:分离变量法、常数变易法、降阶法、特征根法、换元法、拉普拉斯变换法、级数法等,可以根据需要具体去查阅某几种方法的具体情况.

郎溪县13378672816： 三阶常系数齐次线性微分方程的解法与二阶的一样吗 - ？
吉和头孢： 当然不是了,首先解齐议程对应的特征方程 r^2-r+1=0 r=(1±√3i)/2 所以齐次通解是y=e^(1/2x)(c1cos√3x+c2sin√3x) 特解可能观察得得y=a 因此非齐次通解为 y=e^(1/2x)(c1cos√3x+c2sin√3x)+a

郎溪县13378672816： 求常系数微分方程的解,(1)y'''+y'=e^2t,y(0)=y'(0)=y''(0)=0 (2)y'' - y=0,y(0)=0,y(2π)=1 - ？
吉和头孢：[答案] (1)特征方程:λ³+λ=0,则λ1=0,λ2=i,λ3=-i齐次方程通解为:C1+C2cost+C3sint由于2不是特征根,构造特解为:y*=Ce^(2t),代入原微分方程8Ce^(2t)+2Ce^(2t)=e^(2t),解得:C=1/10因此微分方程通解为:y=C1+C2co...

郎溪县13378672816： 求微分方程通解,要详细步骤 - ？
吉和头孢： 一阶非齐次线性常微分方程,通解有公式可用啊 或者用常数变易法: 先解dy/dx+y/x=0,分离变量dy/y=-dx/x,两边积分lny=-lnx+lnC,所以y=C/x 设原方程的解是y=C(x)/x,代入方程得C'(x)=x^2,所以C(x)=1/3*x^3+C 所以,原方程的通解是y=(1/3*x^3+C)/x=1/3*x^2+C/x

郎溪县13378672816： 求以 y=C1e^x+C2cos2x+C3sin2x为通解的三阶常系数齐次线性微分方程. - ？
吉和头孢： 解:∵ y=C1e^x+C2cos2x+C3sin2x==>y'=C1e^x-2C2sin2x+2C3cos2xy''=C1e^x-4C2cos2x-4C3sin2x=5C1e^x-4(C1e^x+C2cos2x+C3sin2x)=5C1e^x-4y..........(1)y'''=5C1e^x-4y'..........(2)∴由(1)式,得y''+4y=5C1e^x由(2)式,得y'''+4y'=5C1e^x则 y'''+4y'=y''+4y==>y'''-y''+4y'-4y=0故所求三阶常系数齐次微分方程是y'''-y''+4y'-4y=0.