二阶常系数线性微分方程怎么解
二阶常系数线性微分方程一般形式y'' +p y' + qy = f(x)①
(下面用到r1、r2、y1、y2、C1、C2)
一、二阶常系数齐次线性方程
其一般形式y'' + py' + qy = 0 ②
即①式中的f(x) = 0，求该式通解，直接运用定理得知②的通解：y = C1y1(x) + C2y2(x)
接着只需求解出y1(x)和y2(x)的解就ok了。
可以将②式写成 (也可理解将y的n次导看成r的n次方)（r^2 + p*r + q）e^rx = 0 => （r^2 + p*r + q） = 0】③，接着就是求解方程③(称为特征方程)的根r1、r2，
该特征方程求根可以分成三种情况去讨论：
1.p^2 - 4q > 0 ，③式有两个不相等的根r1、r2，即y = C1*e^r1x + C2*e^r2x
2.p^2 - 4q = 0 ，③式有两个相等的根r,即y = C1*e^rx + C2*xe^rx
3.p^2 - 4q < 0 ，③式有一对共轭复根(无实数根),即y=e^αx (C1*cosβx + C2*sinβx)
其中α = -(b/2a) ,β = (√-△) / 2a .】 (注: a,b为特征方程项系数 ,△为p^2 - 4q)
二、二阶常系数非齐次线性方程
其一般形式y'' +p y' + qy = f(x) 即f(x) ≠0
该方程的通解为y = Y(x) + y* (Y(x) 为②式,即齐次方程的通解;y*为 ①式的特解)
第一步，求②式(齐次方程)通解，(参照上面一的方法)
第二步，求①式特解。根据①式根据f(x)类型分成两种求解方式 :1.f(x) = P(x) * e^(λx)
特解: y* = x^k * Pm(x) * e^λx】④(Pm(x) 为与P(x)同次的多项式，k是根据λ 不是③式的根(特征根)、单根、重复根依次取值为0,1,2)
2.f(x) = e^λx * [ Pl(x)cosωx + Qn(x)sinωx]
特解: y* = x^k * eλx [Pl(x)cosω+Ql(x)sinωx]】 ⑤
( l=max(l,n),k是根据λ+iω不是③式的根(特征根)、单根依次取值为0,1 ; i是虚数)
最后将特解带入原方程式①中，即可解得Pm(x)的具体方程式 。y = Y(x) + y* 就求出来了。
微分方程的分类
线性微分方程常常用来近似非线性微分方程，不过只在特定的条件下才能近似。例如单摆的运动方程为非线性的微分方程，但在小角度时可以近似为线性的微分方程。举例 以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。非齐次一阶常系数线性微分方程：\\frac{du}{dx} = cu+x^2....
判断微分方程的根有哪些常用方法?
常见方法 以下是一些常用的判断微分方程根的方法：特征方程法：对于常系数线性微分方程，可以根据特征方程的解来判断根的类型。图解法：对于简单的微分方程，可以通过画出其图像来判断根的类型。数值方法：对于复杂的微分方程，可以通过数值方法来计算根。例如，对于二阶常系数线性微分方程 y'' + ay' + ...
一阶常系数齐次线性微分方程一定n阶可导吗?
能满足 f' = f, 即 df\/f = dx, lnf = x+lnC, 得 f = Ce^x， 则 f 满足 n 阶可导。
高数二阶常系数齐次线性微分方程
这是一元二次方程解法问题, 复数根。r^2+2r+5 = 0, (r+1)^2 + 4 = 0, (r+1)^2 = -4,r+1 = ±2i， r = -1±2i r^2+2 = 0, r^2 = -2, r = ±√2i
什么是二阶常系数齐次线性微分方程?
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：\\( y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 \\)，其中 \\( p(x) \\) 和 \\( q(x) \\) 是关于 \\( x \\) 的函数，它们是常数时，方程成为常系数齐次线性微分方程。其特征方程为 \\( r^2 + p(x)r + q(x) = 0 \\)。根据判别式 \\( \\Delta ...
二阶常系数线性微分方程怎么解
二阶常系数线性微分方程一般形式y'' +p y' + qy = f(x)① (下面用到r1、r2、y1、y2、C1、C2)一、二阶常系数齐次线性方程 其一般形式y'' + py' + qy = 0 ② 即①式中的f(x) = 0，求该式通解，直接运用定理得知②的通解：y = C1y1(x) + C2y2(x)接着只需求解出y1(x)...
二阶常系数齐次线性微分方程的解有哪些?
较常用的几个：1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 通解 1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)3、一对共轭复根...
n阶常系数线性微分方程:
解：（1）∵y″-6y′=0的特征方程是r²-6r=0，则r1=6，r2=0 ∴原方程的通解是y=C1e^(6x)+C2 (C1,C2是积分常数)。（2）∵齐次方程y″+y=0的特征方程是r²+r=0，则r1=-1，r2=0 ∴此齐次方程的通解是y=C1e^(-x)+C2 (C1,C2是积分常数)∵设原方程的解为y=Ax&...
如何判断一个微分方程是线性,还是非线性微分方程?!
如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。
常系数微分方程是什么意思?
二、常系数微分方程知识点 1、一阶微分方程的初等解法 侧重点是一些简单的微分方程的求解，注意其中一个“变量代换”的思想。2、解的存在唯一性定理 解的唯一存在区间求解（定理），区域（李普希思条件必要性）第k次近似解。3、高阶微分方程 齐次和常数变异法，常数变易法（高阶线性方程）。三、参考...
陈虽乳酸： 特征方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齐次通解 y=C1e^(x/2)+C2e^(-x) 设特解为y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齐次通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x
渝北区17363497032： 常系数二阶齐次线性微分方程怎么求解 - ？
陈虽乳酸： r²+pr+q=0 1)△>0 y=c1e^r1x+c2e^r2x 2)△=0 y=(c1+c2x)e^rx 3)△<0 y=e^αx(c1cosβx+c2sinβx)
渝北区17363497032： 如何简单求解二阶常系数线性非齐次微分方程? - ？
陈虽乳酸： 这个没有简单的,目前可解的微分方程很有限,尤其二阶还是非其次的.只有一些指数形式的,在复数域内可解,但没有固定的方法
渝北区17363497032： 二阶线性微分方程的常见解法是什么 - ？
陈虽乳酸：[答案] 方法一:可以先求对应齐次方程的通解,可以求特征值求出其通解. 然后再常数变异. 方法二:根据二阶线性微分方程的解的结构,可以由待定系数法求出其线性无关的特解,然后写出他们的线性组合即为通解.
渝北区17363497032： 怎么解这个二阶线性微分方程:y'' - 2y'=1+x+x2 - ？
陈虽乳酸： ^对应特征方程r^2-2r=0,r1=0,r2=2,所以齐次通解为y1=c1+c2e^2x 用待定系数法求一个特解,设特解为y*=ax^3+bx^2+cx(a,b,c为待定系数),代入方程解得a=-1/6,b=-1/2,c=-1 所以通解为y=y1+y*=c1+c2e^2x-(1/6)x^3-(1/2)x^2-x
渝北区17363497032： 求二阶常系数非齐次线性微分方程y'' - 4y'+3y=2e∧(2x) 的通解 求大神解答!万分感谢! - ？
陈虽乳酸： -4y',所以(λ-1)(λ-3)=0,C2为任意常数)设y':y=C1e^x+C2e^(3x) -2e^(2x),C2为任意常数) -------------------- (代入原方程验证,(C1;+3y=2e^(2x)则[2ae^(2x)+2ae^(2x)+4(ax+b)e^(2x)]-4ae^(2x)+2(ax+b)e^(2x)]+3[(ax+b)e^(2x)]=2e^(2x) 整理:λ²...
渝北区17363497032： 二阶线性常系数齐次微分方程的解法.y'' - y' +y= a (a≠0) 的解法如何,和a=0是一样的吗, - ？
陈虽乳酸：[答案] 当然不是了,首先解齐议程对应的特征方程 r^2-r+1=0 r=(1±√3i)/2 所以齐次通解是y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x) 特解可能观察得得y=a 因此非齐次通解为 y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x)+a
渝北区17363497032： 二阶微分方程的3种通解 ？
陈虽乳酸： 第一种:两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x).第二种:两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x).第三种:一对共轭复根:r1=α+iβ,r2=α-iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx).拓展:二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程.若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的.特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解.
