高数幂级数求各位大佬们解答

高数，求幂级数收敛半径~

用比值法：
lim(n->∞)|u(n+1)(x)/un(x)|=lim(n->∞)|(-1)/((n+1)*4^(n+1))*n*4^n)*x^2|=lim(n->∞)|nx^2/(4(n+1))|=x^2/4
当x^2/41 即|x|>2时，所给级数发散，
∴所给级数的收敛半径为2

扩展资料：
收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| r时幂级数发散。
具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。
根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：
是正实数时，R= ； = 0时，R= ； = 时，R=0。
根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式。或者，复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。 [
收敛半径可以被如下定理刻画：
一个中心为 a的幂级数 的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。
例如：函数没有复根。它在零处的泰勒展开为：运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数 在 ±i存在奇点，其与原点0的距离是1。
数学名词。一个数自乘若干次的形式叫"幂"，如α自乘n次的幂，符号记作an。
乘幂也叫"乘方"，一个数自乘若干次的积数。
如4的3乘方又叫4*4*4
注意区别下4的三次方 三的四次方是不同的概念 （4的3次方就是4*4*4=64.3的4次方是3*3*3*3=81）
数学上指一个数自乘若干次形式～次（方次）。乘～（乘方）。
参考资料：百度百科-收敛半径

1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。
2、那些特殊初等函数的幂级数展开式是泰勒级数的特殊形式，没什么太大区别。用泰勒公式求极限有时可以达到事半功倍之效。例如：所以，在这里用泰勒公式很方便。
二项展开式：
是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数，与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。

如图所示：

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卫滨区13912967766： 【高数】求幂级数:f(x)=sinx^2*cosx^2 - ？
辛昂杏苏：[答案] f(x)=1/4 (sin2x)^2=1/8 -1/8 cos4x cos4x=Σ (-1)^k*(4x)^(2k)/(2k)!(K从0开始到无穷大) f(x)=1/8 -1/8 Σ (-1)^k*(4x)^(2k)/(2k)!(K从0开始到无穷大)

卫滨区13912967766： 高数 求1/(1+x)^2幂级数 - ？
辛昂杏苏：[答案] 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+..+(-1)^nx^n+... |x|

卫滨区13912967766： 一道关于幂级数的高数题将f(X)=2/X展开为X的幂级数…急…谢谢…以后有高数这方面的问题还需向你请教… - ？
辛昂杏苏：[答案] 这个不能展,X做分母,不能等于零的.展开为X的级数,需要对2/x求导后,令X等于零,从而求出幂级数系数,但这样会造成分母为零,没有意义.

卫滨区13912967766： 高数 求幂级数(n - 1)/n x^n和函数 - ？
辛昂杏苏：[答案] 原式=∑(n-1)/n x^n =∑(1-1/n)x^n =∑x^n-∑x^n/n 而∑x^n=x/(1-x), ∑x^n/n=ln(1-x), |x|

卫滨区13912967766： 高数幂级数的问题请教,谢谢.请问缺项的幂级数要用比值审敛法来做呢?比值审敛法不是正项级数的方法吗?而且用此方法加了绝对值求出来的收敛半径和原... - ？
辛昂杏苏：[答案] 比值审敛法确实是用于正项级数的方法. 用此方法加了绝对值求出来的收敛半径就=原来的幂级数的收敛半径. 缺项的幂级数如果要用比值审敛法来做,必须带着x来做,不能象通常那样只对an做.

卫滨区13912967766： 高数题求解,将函数f(x)=1/(1+3x)展开成x的幂级数 - ？
辛昂杏苏：[答案] 由1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...|x|

卫滨区13912967766： 高数 求函数1/(1+x²)展开成x的幂级数 - ？
辛昂杏苏：[答案] 函数1/(1+x²)展开成x的幂级数=Σ(n从0到∞)(-x²)的n次方 =Σ(n从0到∞)(-1)的n次方·x的2n次方

卫滨区13912967766： 高数求解 常用的幂级数表达式有哪些 - ？
辛昂杏苏： 用洛必达法则求lim(f(x)/g(x)),x趋向于a时,若f(x)和g(x)在a处的极限同为0或同为∞,则lim(f(x)/g(x))=lim(f'(x)/g'(x)),x趋向于a这个过程可以继续,即如果f'(x)和g'(x)也同趋向于0或∞,则继续求其二阶导数所以x趋向于1时lim(1+cosπx)/(x-1)^2=lim(-πsinπx)/(2x-2)=limit(-π^2cosπx/2)=π^2/2

卫滨区13912967766： 高数,将函数展开成x的幂级数,6(1)求过程 求详解 - ？
辛昂杏苏： 直接代e^x的幂级数,然后拆项,再合并同类项