平面方程的三种表示法

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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平面方程的几种形式
1、点法式方程：这种形式的平面方程是由一个点和一个法向量确定的，有一个已知点P（x0，y0，z0）在平面上，知道平面的法向量为n=（A，B，C），那么点法式方程可以表示为：n乘（r-r0）=0，其中r和r0分别是平面上任意一点和已知点P的位置向量。2、一般式方程：平面的一般式方程是最基本的表达...

空间平面方程的形式有哪几种?
1、点法式方程：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是平面的法向量的三个分量，D是平面上的一点到原点的距离。2、斜截式方程：y=kx+b，其中k是平面的法向量在y轴上的投影，b是平面上的一点在y轴上的坐标。3、一般式方程：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是不全为0的常数。4、点到平面距离公式...

平面的方程怎么表示?
1、空间中过z轴的平面方程表示如下：Ax+By = 0。2、空间中的平面方程一般式是 Ax+By+Cz+D = 0 ，当平面过 z 轴时，C = D = 0 ，因此空间中过z轴的平面方程为 Ax+By = 0 。

平面方程怎么解?
法向量： 该平面的法向量是 ⟨2,−3,1⟩。这表示平面垂直于向量 ⟨2,−3,1⟩ 的方向。与坐标轴的交点： 如果我们令 z=0，则平面方程变为 2x−3y=6。通过解这个方程，我们可以找到平面与 xy 平面的交点。这是一个简单的例子，更复杂的平面方程...

怎么求平面的方程?
1、平面方程为 9x-z-38 = 0 。2、解题方法如下：平行于 y 轴的平面方程可设为 Ax+Cz+D=0，将 M1、M2 的坐标代入，可得 4A-2C+D = 0，---(1)5A+7C+D = 0，---(2)解得 A = -9C ，D = 38C ，取 A = 9，C = -1，D = -38，可得所求平面方程为 9x-z-38 = 0 。

如何求出平面方程?
结果为：2x-y-z=0 解题过程如下：解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 ∵过点M1，M2 ∴有A+B+C+D=0和B-C+D=0 所求平面垂直于已知平面，即两平面的法向量相互垂直 ∴A+B+C=0 解得D=0，B=-A\/2，C=-A\/2 取A=2 则B=C=-1，D=0 ∴平面方程为2x-y-z=0 ...

平面的法向量是何概念?它与该平面垂直吗?平面方程有几种?
1、垂直于平面的直线所表示的向量为平面的法向量.空间内有无数个直线垂直于已知平面,因此一个平面存在无数个法向量,这些法向量之间相互平行.2、平面的法向量与该平面垂直 3、平面的方程有一般方程Ax+By+Cz+D=0 三点式方程(行列式表示）和截距式方程x\/a+y\/b+z\/c=1,还有参数方程 ...

求法平面方程的方法有哪些?
法平面方程，也称为平面的法线方程或者正交平面方程，是描述一个平面在空间中位置和方向关系的一个方程式。它通常表示为 Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是一个常数项。以下是求解法平面方程的几种常见方法：已知平面上的一点和一个法向量：如果我们知道平面上的一个...

立体几何线面方程
对于线面的求解，有多种方法：- 三点式：通过三个点满足的方程组得出a、b、c、d的关系。- 点线式：通过线上的两个点转换成三点式。- 双线式（不异面）：在两条线上的三个点构成三点式。- 线斜式：利用斜率和特定平面的方程。- 两点式：通过待定系数法求解法向量。直线与直线的关系包括相交...

高数--切平面方程和法平面方程
2. 法平面方程可以表示为：\\( 0(x - 1) + 1(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \\)。3. 法平面是指通过空间曲线上的某一点，并且垂直于该点的切线的平面。这个平面也被称为垂直于虚拟法线的平面。例如，对于球体来说，通过球心并且垂直于球面的每一条射线都称为法线，与之相切的每一个平面即...

万哈17898111946问： 平面方程的求法. - ？
双滦区思泰回答： (甲)空间中平面方程式 (1)[回顾坐标平面上的直线]: (a)平面坐标系中,只要知道斜率m与点(x0,y0)就可以确定直线的位置,因此可以求出直线的方程式y−y0=m(x−x0) (点斜式).(b)考虑平面上的直线L:2x+3y+6=0,P(3,−4)为L上的...

万哈17898111946问： 平面方程的五种形式 ？
双滦区思泰回答： 平面方程的五种形式是Ax+By+Cz+D=0,x/a+y/b+z/c=1,A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,Ax+By+Cz+D=0,xcosα+ycosβ+zcosγ=p.“平面方程”是指空间中所有处于同一平面的点所对应的方程,在空间坐标系内,平面的方程均可用是xyz的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示.由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0是x,y,x的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示.

万哈17898111946问： 已知三个点坐标怎样求平面方程 ？
双滦区思泰回答： 已知三点求平面方程公式: 已知三点求平面方程公式一般式:Ax+By+Cz+D=0.已知三点坐标求平面方程的方法还有两种:截距式、点法式.1、把已知三点的坐标代入一般式Ax+By+Cz+D=0.得到一个三元一次方程组,求出A、B、C的,回代入Ax+By+Cz+D=0.就得出平面方程式.空间坐标系内,平面的方程均可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示.

万哈17898111946问： xoy平面方程怎么表示 ？
双滦区思泰回答： xoy平面的法向量是{0,0,1},因此,这个平面的方程可以写为:{x,y,z}.{0,0,1}=0,也就是z=0.而yoz平面的方程式就是x=0:{x,y,z}.{1,0,0}=0.xoz平面的方程式是y=0:{x,y,z}.{0,1,0}=0.“平面方程”是指空间中所有处于同一平面的点所对应的方程,其一般式形如Ax+By+Cz+D=0.

万哈17898111946问： 空间中过z轴的平面方程怎么表示 - ？
双滦区思泰回答： 1、空间中过z轴的平面方程表示如下:Ax+By=0.2、空间中的平面方程一般式是Ax+By+Cz+D=0,当平面过z轴时,C=D=0,因此空间中过z轴的平面方程为Ax+By=0.拓展资料:一、截距式设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0,取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程:x/a+y/b+z/c=1.二、点法式n为平面的法向量,n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点,则有n·MM'=0,MM'=(x-x0,y-y0,z-z0),从而得平面的点法式方程:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.参考资料: 搜狗百科-平面方程

万哈17898111946问： 平面方程有两个方式表达:Ax+By+Cz+D=0和a(x - xo)+b(y - yo)+c(z - zo)= - ？
双滦区思泰回答： 是啊,平行于 z 轴的平面方程中,z 的系数为 0 .

万哈17898111946问： 高等数学:空间中三点A(1, - 1)、B(1.,0,2)、C(2,1,3)确定一个平面,求此平面方程 - ？
双滦区思泰回答： 先令该平面方程为AX+BY+CZ+D=0,它的法向量也就是n(A,B,C).(我暂且把A当做A(1,2,-1)了..) 由A,B,C三点可以确定两个向量AB(0,2,-3)和AC(1,-1,4).由几何知识可以知道,法向量分别和AB和AC向量垂直.接下来有两种方...

万哈17898111946问： 平面方程和直线方程有什么区别? - ？
双滦区思泰回答： 在空间直角坐标系内,平面均可用三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0 表示,称为平面的一般式方程.若平面与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),则平面方程为 x/a+y/b+z/c=1,称为平面的截距式方程.若已知平面内一点和法线 n·MM...

万哈17898111946问： 平面的标准方程是什么阿 - ？
双滦区思泰回答： 平面的一般方程:Ax+By+Cx+D=0--------------------------------- D常数项,D≠0表示平面不通过原点;

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