一阶偏导连续的充要条件

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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二阶偏导连续的充分必要条件是什么?
2、二阶偏导连续，就是可微的概念：所有方向可导就是可微；可微一定可导；可导不一定可微。3、可导、可微是中文微积分的概念；英文中没有可导、可微的区分，都是differentiation。4、二阶混导，无论先对x先求导，还是对y先求偏导，结果是一样的；5、下面的两例解答，用两种方法求出的二阶混导，也...

多元函数具有一阶连续偏导数的条件
对于一元函数而言，可微必可导，可导必可微，这是充要条件。要证明一个函数可微，必须利用定义，即全增量减去（对x的偏导数乘以x的增量）减去（对y的偏导数乘以Y的增量）之差是距离的高阶无穷小，才能说明可微。

一元函数中,连续,可导,可微之间的关系
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的充要条件是此函数在此点必须连续，并且左导数等于右倒数。（我们老师曾经介绍过一个weierstrass什么维尔斯特拉斯的推导出来的函数处处连续却处处不可导，有兴趣可以查一下）可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点...

设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f对y的一阶偏导不等于0,证明,对...
设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f对y的一阶偏导不等于0,证明，对任意常数c，f(x,y)=c为一条直线的充分必要条件是（fy)^2×fxx-2fxfyfxy+fyy(fx)^2=0。解析如下：偏导数 在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，...

请问二元函数可微分的充要条件,不是充分条件,也不是必要条件?
充分不必要：x、y方向偏导连续 充要：[f（x+dx，y+dy）-f（x，y）]是[(x^2+y^2)^1\/2]的高阶无穷小

梯度连续,偏导存在的条件是什么?
因此，如果题设这么说了，必然是该函数是一阶偏导连续的！2、本题非常的不严密，因为若要Fxy=Fyx，其充分不必要的条件就是二阶偏导连续，但是，本题最多只能知道∂f\/∂x=(x+ay)\/(x+y)²和∂f\/∂y=y\/(x+y)²，f是否是二元，都不能确定，因此，通过...

函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续的三个条件是__
回答：连续只有一个条件:极限值等于函数值。当然你说的或许是可微:可微的充分条件是:1:f在该店有定义;2:具有偏导数;3:偏导数连续。当然可微还有一个充要条件,就是:全增量可以表示为两个偏增量的线性组合加上ρ的高阶无穷小。

一阶微分方程的解的充分性问题
1.f(x,y)总在某矩形区域内连续，2.f(x,y)对y满足Lipschitz条件 在上述两个条件下，微分方程的解存在唯一。在你提的问题中，如果我们先假定f(x,y)总在某矩形区域内连续，那么：李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的(充分 )条件 事实上，f（x，y）对y的偏导连续，就意味着f（x，...

可微的充分条件不是一阶偏导数连续吗,这里的答案是什么意思,有点看不...
题目并没有证明到偏导连续，只是证明到了偏导存在，证明偏导连续除了需要用定义求定点处偏导数以外，还需要求出函数偏导数(用求导法则)然后使x, y趋近于定点(类似于求偏导函数在定点处的极限)，函数值与极限值相等才证明了偏导连续，一阶偏导连续可以推出可微 ...

偏导证明题。。
因为其二阶偏导存在且连续，因此对上式连续求关于x的导数，则：fx+fy·(dy\/dx)=0 fxx+fxy·(dy\/dx)+fyx·(dy\/dx)+fyy·(dy\/dx)²+fy(d²y\/dx²)=0 对于隐函数求偏导，显然：dy\/dx = - {∂[f(x,y)-C]\/∂x}\/{∂[f(x,y)-C]\/∂...

闽飞13436354561问： 什么叫一阶偏导数的连续性?怎么判断?在用高斯公式时,不知道怎么判断一阶偏导数的连续性,一阶偏导数的连续性是不是说对x对y对z的偏导数都必须连... - ？
乌兰县舒秘回答：[答案] 一阶偏导数的连续性是说对x对y对z的偏导数都必须连续 它的意思按照导数连续的定义,就是在空间的每一点x的左导数=右导数,对y和z也是一样的要求 在高斯公式中如果一阶微分不连续的话P Q R的积分就不能写成面积分的形式,因为可能存在无...

闽飞13436354561问： 一元函数＂存在极限＂,＂连续＂,＂可导＂,＂可微＂,＂可积＂之间...一元函数＂存在极限＂,＂连续＂,＂可导＂,＂可微＂,＂可积＂之间有什么联... - ？
乌兰县舒秘回答：[答案] 一元: 可导必连续,连续必存在极限,(单向) 可微与可导互推 多元: 一阶偏导连续推出 可微,(单向) 可微推出(1)偏导存在 (单向) (2)函数连续 (单向) 函数连续推出二重极限存在(单向) // 函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f...

闽飞13436354561问： 高数中讨论一个二元函数在某一点是否可微的方法有哪些?一阶偏导数连续是指极限值存在且相等吗? - ？
乌兰县舒秘回答：[答案] 一阶偏导数连续是指在某一点的极限存在且与函数值相等,但注意,是指偏导数的极限与偏导数的函数值相等,不是求导前的那个函数. 一阶偏导数连续能推出可微,这是可微的一个充分条件.除了这个条件,要想证明可微,就只能用可微的定义了.

闽飞13436354561问： 复变函数可导的条件?复变函数在0点处满足C - R方程,一定可导吗?求F'(0). - ？
乌兰县舒秘回答： 可导的充要条件是,一阶偏导数存在且连续且满足柯西黎曼条件 柯西黎曼条件:du/dx + idv/dx =du/idy + idv/idy 即 du/dx=dv/dy dv/dx=-du/dy 即 2x-1=2x--2y , 2y=2y 所以y=1/2 我们很容易知道,这个明显是连续的. 而解析的充要条件是在一个区域内可导 分析得知知有一条直线上可导明显不存在区域可导的概念, 所以在全平面处处不解析.

闽飞13436354561问： 什么叫一阶偏导数的连续性?怎么判断?<br/>在用高斯公式时,不? ？
乌兰县舒秘回答： 一阶偏导数的连续性是说对x对y对z的偏导数都必须连续 它的意思按照导数连续的定义,就是在空间的每一点x的左导数=右导数,对y和z也是一样的要求 在高斯公式中如果一阶微分不连续的话P Q R的积分就不能写成面积分的形式,因为可能存在无穷大的函数值(即函数的第二类间断点),这样的积分没有意义

闽飞13436354561问： 一元函数中,连续,可导,可微之间的关系? - ？
乌兰县舒秘回答： 一元函数与多元函数连续,可导,可微之间的关系:1、一元函数涉及的是两维曲线,多元函数涉及到的是至少是三维的曲面. 一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑; 多元函数的可导可微,必须从各个角度,各个方向,各个侧面,进行前后...

闽飞13436354561问： 如何证明某函数在某点的一阶偏导数连续?急, - ？
乌兰县舒秘回答：[答案] 先用定义求出该点的偏导数值c,再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y),最后求fx(,x,y)当(x,y)趋于该点时的极限,如果limfx(x,y)=c,即偏导数连续,否则不连续.

闽飞13436354561问： 什么样的函数具有一阶连续偏导数 - ？
乌兰县舒秘回答： 初等函数在其定义域内有一阶连续偏导数.

闽飞13436354561问： 偏导数存在 连续 - ？
乌兰县舒秘回答： 偏导数要存在,则函数的左极限等于右极限,左导数等于右导数.也就是说由偏导数存在能够推出函数连续. 但是函数连续无法推出偏导数存在,比如三角波信号,三角形顶点左极限等于右极限,但是左导数和右导数一个为正,一个为负. ....嗯...这个是必要非充分吧,A

闽飞13436354561问： 某点连续是偏导数该点连续的什么条件 - ？
乌兰县舒秘回答： 在某点连续了偏导数不一定存在 更不用说连续 而偏导数连续 在这一点一定连续 所以是必要不充分条件

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