一阶偏导数连续的公式

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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偏导数基本公式
偏导数基本公式介绍如下：偏导数的运算公式大全：第一个：无穷等比数列所有项之和，q=2x。第二个，定积分公式，定积分等于原函数积分上下限值之差。这个应该可以用数学归纳法证明：a）duv\/dx = u'v + uv'得证 b)假设(uv)^(k) = sum(C(n,k)u^(k)v^(n-k))则uv的第k+1次导数 (uv)...

格林公式的四种等价条件是什么?
格林公式四个等价条件介绍如下：1）区域D必须是单连通的,也就是说区域D是连续的,通俗讲,区域D中没有“洞”。2）组成区域D的曲线必须是连续的，曲线是闭曲线，围成区域D。3）曲线L（可以是分段组成）具有正向规定，曲线的方向是正向。4）被积函数在D中具有连续一阶连续偏导数，P(x,y)，Q(x,y...

...设f(x,y)在单位圆上有连续一阶偏导数,且在边界值上取值为零”这...
结论是，给定函数f（x, y）在单位圆x^2 + y^2 = 1上具有连续的一阶偏导数，并且边界上的函数值为零，即f(cos(t), sin(t)) = 0。这表明函数在圆周上的积分值为零，即∫0到2π f(cos(t), sin(t)) dt = 0。接下来的讨论涉及到函数h(x, y) = f(x, y) - g(x, y)，...

关于偏导数连续的问题
0,0)点的偏导数，即z'x=lin[f(x,0)-f(0,0)]\/x （x趋于0）=lim(0-0)\/x=0，而不在(0,0)点时函数对x的偏导数可用导数公式直接求得，z'x=[y(x^2+y^2)^(1\/2)-2yx^2]\/(x^2+y^2)，可以看出它在(0,0)点处无意义，所以偏导数在(0,0)处不连续。对y的偏导数同理。

f(x,y)的x的偏导数,为y\/{(x+y)^2},请问f的关于x的偏导数函式是否连续...
…， ……（类似，留给你）设z=f(2x+3y, x\/y),f具有二阶连续偏导数，求z关于x二阶偏导数 设 u=x+y，v=x-y，则z=f（u，v）， ∴ ?z ?x ＝ ?f ?u ? ?u ?x + ?f ?v ? ?v ?x ＝f′1+f′2， ?z ?y ＝ ?f ?u ? ?u ...

...设f(x,y)在单位圆上有连续一阶偏导数,且在边界值上取值为零”这...
单位圆边界就是x＾2＋y＾2＝1，即x＝cost，y＝sint，0≤t≤2π。f（x，y）在单位圆边界值上取值为零，即f（cost，sint）＝0，也可以写成f(cosx,sinx)=0，所以∫<0→2π>f(cosx,sinx)dx=0050。设h（x，y）＝f（x，y）－g（x，y）．则h（x，y）在D上有连续偏导数，且在&#...

偏导数的连续问题 证明xy╱√(x∧2+y∧2)的偏导数在(0,0)不连续
简单分析一下，详情如图所示

多元函数微分法及其应用 *第九节 二元函数的泰勒公式
泰勒公式的主要用途在于通过函数在某点的信息近似表示其附近取值，以及进行误差分析。多元泰勒公式在微分方程数值解和最优化问题中具有广泛应用。在二元函数的情形下，如果函数在某点具有连续的各阶偏导数，我们可以通过泰勒公式将函数近似为该点的二元多项式，且误差为高阶无穷小。具体来说，设二元函数\\(f(...

高数求曲面积分时候的高斯公式,要求P、Q、R有连续的一阶偏导!怎么看...
如果可以用求导公式求出P、Q、R的一阶偏导，再看求出来的3个偏导在曲面包围的区域上是不是有意义，如果有意义，一般就是连续的，比如，有个偏导=1\/(x^2+y^2+z^2)，而区域中包含原点，就不是连续的。

偏导数的定义公式?急求!
因此，通过求解函数的一阶偏导数，我们可以确定函数的极值点和单调区间，进一步求出函数的最大值和最小值。二、求解多元函数的曲线和曲面 利用偏导公式，我们可以求解多元函数的曲线和曲面。在一元函数中，导数表示函数在某一点的切线斜率，而在二元函数中，偏导数表示函数在某个点处的切线斜率。类似地，...

沙永13925212153问： 偏导连续怎么用数学公式表示? - ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答：[答案] 比如二元函数 f(x,y)在E上有一阶连续偏导数, 就记作 f(x,y)∈C^1(E) 有2阶连续偏导数, 就记作 f(x,y)∈C^2(E) ……

沙永13925212153问： 什么叫一阶偏导数的连续性?怎么判断?在用高斯公式时,不知道怎么判断一阶偏导数的连续性,一阶偏导数的连续性是不是说对x对y对z的偏导数都必须连... - ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答：[答案] 一阶偏导数的连续性是说对x对y对z的偏导数都必须连续 它的意思按照导数连续的定义,就是在空间的每一点x的左导数=右导数,对y和z也是一样的要求 在高斯公式中如果一阶微分不连续的话P Q R的积分就不能写成面积分的形式,因为可能存在无...

沙永13925212153问： 如何证明某函数在某点的一阶偏导数连续?急, - ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答：[答案] 先用定义求出该点的偏导数值c,再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y),最后求fx(,x,y)当(x,y)趋于该点时的极限,如果limfx(x,y)=c,即偏导数连续,否则不连续.

沙永13925212153问： 什么叫一阶偏导数的连续性?怎么判断?<br/>在用高斯公式时,不? ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答： 一阶偏导数的连续性是说对x对y对z的偏导数都必须连续 它的意思按照导数连续的定义,就是在空间的每一点x的左导数=右导数,对y和z也是一样的要求 在高斯公式中如果一阶微分不连续的话P Q R的积分就不能写成面积分的形式,因为可能存在无穷大的函数值(即函数的第二类间断点),这样的积分没有意义

沙永13925212153问： 求下列函数的一阶偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)1)w=f(x^2 - y^2,e^(xy))2)w=f(x/y,y/z)3)w=f(x,xy,xyz) - ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答：[答案] f(x^2-y^2,e^(xy)) 求导,对x的偏导 =f'1*2x+f'2*y*e^(xy) 对y的偏导 =-f'1*2y+f'2*x*e^(xy) f(x/y,y/z) 对x的偏导 =f'1/y 对y的偏导 =f'1*(-x/y^2)+f'2/z 对z的偏导 =f'2*(-y/z^2) f(x,xy,xyz) 对x的偏导 =f'1+yf'2+yzf'3 对y的偏导 =xf'2+xzf'3 对z的偏导 =xyf'3

沙永13925212153问： 一阶偏导数公式 - ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答： 一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定.对某个变量求偏导数.就把别的变量都看作常数即可.比如f(x,y)=x^2+2xy+y^2 对x求偏导就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在...

沙永13925212153问： 设z=f(xy^2 , e^xy),求z的一阶偏导数. - ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答： zx=f1'*y²+f2'*(ye^(xy))=y²f1'+ye^(xy)f2' zy=f1'*2xy+f2'*(xe^(xy))=2xyf1'+xe^(xy)f2'

沙永13925212153问： 求一阶偏导数 u=f(x^2 - y^2,e^(xy))其中f 具有一阶连续偏导数 - ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答： 令a=x^2-y^2 b=e^(xy) f具有一阶连续偏导数f1'和f2' ∂u/∂x=(∂u/∂a)*(∂a/∂x)+(∂u/∂b)*(∂b/∂x)=2xf1'+ye^(xy)f2' ∂u/∂y=(∂u/∂a)*(∂a/∂y)+(∂u/∂b)*(∂b/∂y)=-2yf1'+xe^(xy)f2'答案中的f1'=∂u/∂a f2'=∂u/∂b

沙永13925212153问： u=f(x,xy,xyz)的一阶偏导数怎么求? - ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答： u=f(x,xy,xyz)=f du=f'dx+f'(ydx+xdy)+f'[yzdx+x(zdy+ydz)]=(1+y+yz)f'dx+(x+xz)f'dy+yf'dz 即:对x的偏导=1+y+yz; 对y的偏导=x+xz 对z的偏导=yf'.

沙永13925212153问： 设f(x,y)具有一阶偏导数 - ？
墨江哈尼族自治县孟鲁回答： x=rcosθ,y=rsinθ 0=x∂f/∂x+y∂f/∂y =rcosθ(∂f/∂r)(∂r/∂x)+rsinθ(∂f/∂r)(∂r/∂y) =rcosθ(∂f/∂r)(1/cosθ)+rsinθ(∂f/∂r)(1/sinθ) =2r∂f/∂r ∂f/∂r=0,故:f(x,y)在极坐标下与向量r无关

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