偏导数基本公式
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
","gnid":"927890e86171bc27a","img_data":[{"flag":2,"img":[{"desc":"","height":"549","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01a453a8c9c6122d99.jpg","width":"941"}]}],"original":0,"pat":"art_src_0,otherc,fts0,sts0","powerby":"pika","pub_time":1695293494000,"pure":"","rawurl":"http://zm.news.so.com/64bd8e98e83082513305002748ec4158","redirect":0,"rptid":"ec94807e0f0a764b","rss_ext":[],"s":"t","src":"学长爱升本","tag":[{"clk":"keducation_1:高等数学","k":"高等数学","u":""},{"clk":"keducation_1:天津","k":"天津","u":""}],"title":"2024年天津专升本文化课考试高等数学新大纲（2023年9月修订）导数的基本公式运算法则
导数的基本公式运算法则如下：导数公式：1.y=c(c为常数)y'=0 2.y=x^n y'=nx"(n-1)3.y=a^x y'=a xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae\/x y=lnx y'=1\/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1\/cos~2x 8.y=cotx y'=-1\/sin^2x 运算法则...
导数基本公式
导数基本公式 ① C'=0(C 为常数函数)；② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)；③ (sinx)' = cosx；④(cosx)' = - sinx；⑤ (tanx)'=1\/(cosx)^2 ⑥ (cotx)'=-1\/(sinx)^2 ⑦ (e^x)' = e^x；⑧ (a^x)' = a^xlna （ln 为自然对数）⑨ (Inx)' = 1\/x（ln为自然对数...
导数的计算公式是什么?
导数的四则运算法则：1、(u+v)'=u'+v'2、(u-v)'=u'-v'3、(uv)'=u'v+uv'4、(u\/v)'=(u'v-uv')\/v^2 如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新...
导数的基本公式14个推导过程
导数的基本公式的14个推导过程如下：1、常数函数的导数：f'（x）=0，其中f（x）=c（c为常数）。解释：常数函数的导数为0，因为常数不随x的变化而变化。2、幂函数的导数：f'（x）=ax^（a-1），其中f（x）=x^a。解释：幂函数的导数可以通过指数法则和求导法则进行推导。首先，指数法则告诉我们...
导数的基本公式16个
导数的基本公式16个如下：1、y＝cy＇＝0 2、y＝α＾μy＇＝μα＾（μ-1）3、y＝a＾xy＇＝a＾xlna y＝e＾xy＇＝e＾x 4、y＝loga，xy＇＝loga，e\/x y＝lnxy＇＝1\/x 5、y＝sinxy＇＝cosx 6、y＝cosxy＇＝-sinx 7、y＝tanxy＇＝（secx）＾2＝1\/（cosx）＾2 8、y＝cotxy...
高中导数公式
导数公式有：1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))\/h]。即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，一共有如下求导公式。2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为...
16个基本初等函数的导数公式
16个基本初等函数的导数公式如下：1、常数函数y=C的导数是0，即y'=0。2、幂函数y=x^n的导数是y'=nx^（n-1）。3、指数函数y=a^x的导数是y'=a^x lna。4、对数函数y=logax的导数是y'=1\/x loga e。5、三角函数y=sinx的导数是y'=cosx。6、反三角函数y=arcsinx的导数是y'=1\/√（...
基本函数求导公式
基本函数求导公式:基本导数公式有:(lnx)’=1\/x、(sinx)’=cosx、(cosx)'=-sinxo 公式:y=c(c为常数)y'=0、y=xny'=nx^(n-l)。导数的基本公式：y=c(c为常数)y'=0、y=x^ny'=nx^(n-1)。导数Derivative也叫导函数值，又名微商。对于可导的函数f(x)，xf'(x)也是一个函数，称作f(...
基本求导公式表
求导注意事项 对于函数求导一般要遵循先化简，再求导的原则，求导时不但要重视求导法则的运用，还要特别注意求导法则对求导的制约作用，在化简时，首先注意变换的等价性，避免不必要的运算错误。需要记住几个常见的高阶导数公式，将其他函数都转化成我们这几种常见的函数，代入公式就可以了，也有通过求一阶...
导数公式有哪些
函数导数公式 这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:1.y=c(c为常数)y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae\/x y=lnx y'=1\/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1\/cos^2x 8.y=cotx ...
丰都县绿汀回答： 偏导数基本公式:f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y.在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量...
博潘13428784650问： 一阶偏导数公式 - ？
丰都县绿汀回答： 一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定.对某个变量求偏导数.就把别的变量都看作常数即可.比如f(x,y)=x^2+2xy+y^2 对x求偏导就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在...
博潘13428784650问： 偏导连续怎么用数学公式表示? - ？
丰都县绿汀回答：[答案] 比如二元函数 f(x,y)在E上有一阶连续偏导数, 就记作 f(x,y)∈C^1(E) 有2阶连续偏导数, 就记作 f(x,y)∈C^2(E) ……
博潘13428784650问： 三阶偏导数公式是什么?如此题:z=xln(xy),求a^3z/axay^2 (a表示偏导数符号). - ？
丰都县绿汀回答：[答案] az/ax=ln(xy)+x*1/xy*y=ln(xy)+1 a^2z/axay=1/(xy)*x=1/y a^3z/axay^2=-1/y^2
博潘13428784650问： 高数 偏导数公式 F(X)*F(Y)怎么关于Y求导 - ？
丰都县绿汀回答： 如果原式是z=F(X)*F(Y),那对z求Y方向的偏导=F(X)*F'(Y)
博潘13428784650问： y z=arctan — 求函数的偏导数 请写明过程和用到的公式!x更正:z=arctan(y/x) - ？
丰都县绿汀回答：[答案] 公式 (arctan x)' = 1/(1+x^2) (ax)' = a (1/x)' = -1/x^2 偏y: z'y=1/(1+(y/x)^2) * 1/x = x/(x^2+y^2) 偏x: z'x=1/(1+(y/x)^2)*(-y/x^2)= -y/(x^2+y^2)
博潘13428784650问： 偏导数的计算我是从事化验工作的.在评定不确定度时要用到偏导数的知识.可我没有一点儿这方面的知识.现在有一个公式如下:y=[(m2 - m0)/(m1 - m0)]*100.这个... - ？
丰都县绿汀回答：[答案] 对y求偏导数就是把除了y以外的数和字母都看成常数对y求导
博潘13428784650问： 偏微分基本公式 ？
丰都县绿汀回答： 偏微分基本公式为fx(x,y)或fy(x,y).(∂u/∂x)dx才表示这是由于x的无限小增量dx所单独引起的u的无限小的增量;(∂u/∂y)dy才表示这是由于y的无限小增量dy所单独引起的u的无限小的增量;(∂u/∂z)dz才表示这是由于z的无限小增量dz所单独引起的u的无限小的增量;所以,偏导数是一个整体记号,如∂/∂x,表示对x求偏导,∂/∂y,表示对y求偏导.这种说法本身没有错.数学上将它们称为“算子”,或“算符”,operator.
博潘13428784650问： 请教:偏导数如何求 - ？
丰都县绿汀回答： 所谓偏导,是在其他所有独立变量保持不变的条件下对给定独立变量求导数.故偏导的过程可以将其他独立变量看作常数.如例题,假设四个量都是独立变量,则求eE/eQ时把其他三个变量看作常数,即 eE/eQ=dE/dQ|(其他变量不变)=d[(Q*m+q)/△t ]/dQ=d[Q*m/△t]/dQ=m/△t eE/eQ=Q/△t eQ/eq=1/△t , eE/e△t=-(Q*m+q)/(△t)^2如果所有变量不都是独立变量则要麻烦一些. 例如,m,q 是 Q和△t 的函数,则 eE/eQ=1/△t*(m+Q*em/eQ+eq/eQ) 一般非数学和理科专业只用第一种就足够了
博潘13428784650问： 求偏导数u=x^y^z - ？
丰都县绿汀回答：[答案] 建议你用对数恒等式解决,注意到对X求偏导数时其他变量视为常数,转化为一元函数求导.利用一元求导的公式,我们有 u关于x的偏导数 (y^z)*x的(y的z次方减1)次方 u关于y的偏导数 (x^y^z)*In(x)*z*y的(z减1)次方 u关于z的偏导数 (...
