高中数学，圆锥曲线。。。。。以过抛物线焦点的两条弦AB,CD为直径作圆，证明这两个圆的公共弦过原点。

高中数学，圆锥曲线。。。。。以过抛物线焦点的两条弦AB,CD为直径作圆，证明这两个圆的公共弦过原点~

解:记A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)， 则以AB、CD为直径的圆分别为 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 (x-x3)(x-x4)+(y-y3)(y-y4)=0 两式相减，即得两圆公共弦方程 (

（参数法）证明：可设点A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb).由A,F(p/2,0),B三点共线，可知4ab=-1.又由抛物线定义知，M=FA=2pa^2+(p/2)=(p/2)(4a^2+1)=(p/2)[4a^2-4ab]=2ap(a-b)=p(b-a)/(2b),同理N=FB=2pb^2+(p/2)=2pb^2-2abp=p(a-b)/(2a).===>1/M+1/N=[2b/p(b-a)]+[2a/p(a-b)]=(2/p)][b/(b-a)+a/(a-b)]=2/p.===>1/M+1/N=2/p.

解：记A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，
则以AB、CD为直径的圆分别为
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
(x-x3)(x-x4)+(y-y3)(y-y4)=0 两式相减，
即得两圆公共弦方程 (x3+x4-x1-x2)x+(y3+y4-y1-y2)y+(x1x2+y1y2-x3x4-y3y4)=0
而AB过焦点，故由直线方程y=k(x-p/2)和抛物线方程y^2=2px联立得
k^2(x-p/2)^2=2px 得x1x2=(1/4)p^2 x1+x2=p+2p/k^2
所以y1y2=k(x1-p/2)k(x2-p/2)=k^2(x1x2-p/2(x1+x2)+p^2/4)=-p^2
同理，y3y4=-p^2，x3x4=(1/4)p^2
∴x1x2+y1y2-x3x4-y3y4=0
∴上述公共弦方程为(x3+x4-x1-x2)x+(y3+y4-y1-y2)y=0，
x3+x4-x1-x2与y3+y4-y1-y2都是常数，上面的方程是正比例函数的方程
所以公共弦过原点
希望楼主看得明白~~~~~~~~

[[[注:用"参数法".]]]
证明:
不妨设抛物线方程为: y²=2px. (p＞0), 焦点F(p/2, 0)
可设A(2pa², 2pa), B(2pb², 2pb), C(2pc²,2pc), D(2pd², 2pd).
由A, F B共线,可知:4ab=-1.
又以AB为直径的圆的方程为:
(x-2pa²)(x-2pb²)+(y-2pa)(y-2pb)=0.
整理,可得圆的方程:
x²+y²-2p(a²+b²)x-2p(a+b)y-(3p²/4)=0
同理,以CD为直径的圆的方程为:
x²+y²-2p(c²+d²)x-2p(c+d)y-(3p²/4)=0
上面两圆的方程相减,消去x²,y²项,即得公共弦所在的直线方程:
(a²+b²-c²-d²)x+(a+b-c-d)y=0
显然,该直线过原点.
证毕.

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猇亭区19799756514： 高中数学,圆锥曲线.以过抛物线焦点的两条弦AB,CD为直径作圆,证明这两个圆的公共弦过原点. - ？
邬封瑞甘：[答案] 记A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),则以AB、CD为直径的圆分别为 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 (x-x3)(x-x4)+(y-y3)(y-y4)=0 两式相减,即得两圆公共弦方程

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邬封瑞甘： 解:记A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4), 则以AB、CD为直径的圆分别为 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 (x-x3)(x-x4)+(y-y3)(y-y4)=0 两式相减,即得两圆公共弦方程 (x3+x4-x1-x2)x+(y3+y4-y1-y2)y+(x1x2+y1y2-x3x4-y3y4)=0 而...

猇亭区19799756514： 求;数学圆锥曲线中抛物线焦点弦长公式急! - ？
邬封瑞甘： 过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦点弦长:|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P ④若OA垂直OB则AB过定点M(2P,0) ⑤焦半径:|FP|=x...

猇亭区19799756514： 高中数学圆锥曲线 - ？
邬封瑞甘： 由题意已知抛物线焦点在x轴的正半轴上.因为OA中点为(1,1/2)且OA斜率是1/2 所以OA中垂线斜率为-2 所以OA中垂线方程为 y-1/2=-2(x-1)即 y=-2x+5/2 由 y=0 y=-2x+5/2 解得中垂线与x轴交点为(5/4,0) 所以抛物线焦点为(5/4,0) 所以所求准线方程为 x=-5/4

猇亭区19799756514： 高二数学圆锥曲线？
邬封瑞甘： 解:1.由余弦定理可得:CD^2=AC^2+BD^2-2AC*BDcosO=m^2+n^2-2mncosO 2.设M(x,y) 焦点(1,0) 设直线的斜率为k 则y=k(x-1) 联立抛物线方程可得:k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0 或ky^2-4y-4k=0 x1+x2=(2k^2+4)/k^2 y1+y2=4/k x=(x1+x2)/2=(k^2+...

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