fx是奇函数，f(1-x)=f(1+x),当x∈0,1,fx=2^x-1,f2011+f2012

定义在（-1，1）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 4 x +1 ．~

（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）= - 2 -x 4 -x +1 =- 2 x 4 x +1 由f（0）=f（-0）=-f（0），得f（0）=0．∴在区间[-1，1]上，有f（x）= 2 x 4 x +1 x∈(0，1) - 2 x 4 x +1 x∈(-1，0) 0 x∈{-1，0，1} （2）证明当x∈（0，1）时，f（x）= 2 x 4 x +1 ，设0＜x 1 ＜x 2 ＜1，则f（x 1 ）-f（x 2 ）= 2 x 1 4 x 1 +1 - 2 x 2 4 x 2 +1 = ( 2 x 2 - 2 x 1 )( 2 x 1 + x 2 -1) ( 4 x 1 +1)( 4 x 2 +1) ∵0＜x 1 ＜x 2 ＜1，∴ 2 x 2 - 2 x 1 ＞0， 2 x 2 + x 1 -1＞0，∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0，即f（x 1 ）＞f（x 2 ），故f（x）在（0，1）上单调递减．（3）由（2）得，函数f（x）在区间在（-1，1）上的取值范围是（ 2 5 ， 1 2 ）∪（- 1 2 ， 2 5 ）∪{0}．∴当实数λ∈（ 2 5 ， 1 2 ）∪（- 1 2 ， 2 5 ）∪{0}时，关于x的方程f（x）=λ在（-1，1）上有解

(1)f(x+2)=-1/f(x+1)=f(x)
f(x+3)=-1/f(x+2)=-1/f(x)
f(x+4)=-1/f(x+3)=f(x)
....
f(x+2k)=f(x)
f(x+2k+1)=-1/f(x+2k)=-1/f(x)
f(-x+2k+1)=-1/f(-x)=1/f(x)
x∈(0，1/2)，-x∈(-1/2，0)
-x+2k+1∈(2k+1/2,2k+1)
现令x=-x+2k+1 即x∈(2k+1/2,2k+1)
当x∈(2k+1/2,2k+1)时，f(x)=1/f(x)=8^(-x)
(3) 假设不等式log8f(x)>x^2-(k+3)x-k+2有解
即 x>x^2-(k+3)x-k+2
设g(x)=x^2-(k+4)x-k+2
即g(2k+1)=(2k+1)^2-(k+4)(2k+1)-k+2<0
得 2k^2-6k-1<0
存在k=1、2、3自然数，不等式有解

解：由于f(1-x)=f(1+x),令1-x=-y 则 x=1+y,代入等式得到 f(y)+f(2+y)=0 即f(y)=f(y+4)。
函数以4为周期，所以f(2011)=f(4*502+3)=f(3),f(2012)=f(4*503+0)=f(0).
又f(1)+f(3)=0,即 f(3)=-f(1),
f(x)是奇函数 所以f(0)=0 当x=1时 代入表达式,f(x)=2^x-1 得到 f(1)=1.
所以f(2011)+f(2012)=-f(1)+f(0)=-1。
有问题追问 满意请及时采纳。

f(x)是奇函数
f(-x)=-f(x)
f(1-x)=f(-(x-1))=-f(x-1)
f(1-x)=f(1+x)
f(x+1)=-f(x-1)
f(x)=-f(x-2)=f(x-4)
f(x)是周期为4的周期函数
f(2011)+f(2012)
=f(-1)+f(0)
=-f(1)+f(0)
=-(2-1)+1-1
=-1

由前面的，1-x与1+x相加，再除2，得1，周期为1，

不清不楚！

---

金坛市15288379039： f(x)为奇函数,f(1+x)=f(1 - x)怎么变形为周期为4 - ？
钊闵盐酸： f(1-x)=-f(x-1)(奇函数),所以f(1+x)=-f(x-1),另x-1=X,则x+1=X+2,上式变成-f(X)=f(X+2),递推一下,-f(X+2)=f(X+4),结合上式得f(X)=f(X+4),周期为4的函数,手机打字不易,望采纳

金坛市15288379039： 已知f(x)是R上奇函数,且满足f(1 - x)=f(x), 则f(1)+f(2)+f(3)= - ？
钊闵盐酸： f(1-x)=f(x), 那么f(1+x)=f(x), 因此f(1)+f(2)+f(3)=3f(1)=3f(0)=0

金坛市15288379039： 已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(1 - x)=f(1+x),当x属于[0,1]时,f(x)=2^x - 1,则f(2011)+f(2012)的值为? - ？
钊闵盐酸： 已知f(1-x)=f(1+x),x加上1,等式依然成立 f(-x)=f(2+x)因为f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x)-f(x)=f(2+x),x+2时依然成立,则-f(x+2)=f(x+4) 所以f(x)=f(x+4) 即f(x)以4为周期 所以f(2011)+f(2012)=f(3)+f(4) f(3)+f(4)=-f(1)-f(2) (由f(-x)=f(2+x得到) 所以结果为-4

金坛市15288379039： 如何求奇函数f(1+x)=f(1 - x)的周期!!真的看了好多解答方法没看懂!! - ？
钊闵盐酸： 法1:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(1+x)=f(1-x),取x=t-1,则f(x+1)=f(t)=f(2-t)=-f(t-2)=-[-f(t-4)]=f(t-4),所以f(x)的周期为4; 法2::函数f(1+x)=f(1-x)所以f(x)关于x=1成轴对称,而f(x)关于原点成中心对称,所以f(x)是周期函数,且T=4(1-0)=4....

金坛市15288379039： 设fx是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2 - x,求f(1)的值 - ？
钊闵盐酸： 解:当x>0时,-x∵f(x)是奇函数 ∴-f(x)=f(-x) 即f(x)=-f(-x) [注:此时x>0] ∴当x>0时,f(x)=-f(-x)=-[2﹙-x﹚²-﹙-x﹚]=-2x²-x ∴f(1)=-2-1=-3要注意的是,你解答过程中,x的取值弄反了,解这种题最主要的就是x的取值要取对了,而且要记得f(-x)中-x是相当于整个x,所以要把整个-x代入表达式中,即f(x)=-f(-x)=-[2﹙-x﹚²-﹙-x﹚]=-2x²-x 高一函数刚开始接触不熟的同学这点必须记得,要把f(x)中括号里的看成一个整体未知数x代入表达式中,比如f(x)=4x,则f(2x-1)=4(2x-1)=8x-4 有不明白的欢迎追问哦!

金坛市15288379039： 已知函数f(x)为奇函数且f(1 - x)=f(1+x),当x属于[0,1],f(x)=2x,则x属于[0,8]满足 - 1的f(x)= - 1的x的集合为 - ？
钊闵盐酸： 已知函数f(x)为奇函数且f(1-x)=f(1+x),当x属于[0,1],f(x)=2x,则x属于[0,8]满足-1的f(x)=-1的x的集合为 解析:∵函数f(x)为奇函数且f(1-x)=f(1+x) f[1-(x-1)]=f(x),f(1+1-x)=f(2-x),∴f(x)=f(2-x) f(-x)=f(2-(-x))=f(2+x) 即f(2+x)=-f(x)==> f(2+x+2)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x),...

金坛市15288379039： 已知函数fx是定义在r上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x(1一x),求当x>0时,f - ？
钊闵盐酸： f(x)=x(1-x)=x-x² x<0 f(x)是定义在r上的奇函数 x>0时 -x<0 f(-x)=-x-(-x)²=-x(x+1) ∴ x>0时 f(x)=-f(-x)=x(x+1)

金坛市15288379039： 若f(x)为奇函数则是否满足f(x)=f(1/ - x) - ？
钊闵盐酸： 若f(x)为奇函数则是否满足f(x)=-f(-x) 你这个是不满足的

金坛市15288379039： 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(1 - x) - ？
钊闵盐酸： 数学之美团为你解答 根据题意:f(1+x)=f(1-x),所以函数关于x=1对称 又函数是奇函数,故f(x-1)=-f(1-x),所以:f(x+1)=-f(x-1),所以函数是周期函数 且最小正周期是2|1+1|=4. x∈(0,1]时,f(x)=x,因f(x)是奇函数,所以在x∈[-1,0),f(x)=x 根据f(x)是R上的奇函数,知道函数在原点有定义,又函数关于x=1对称 所以在区间[1,3],f(x)=-x+2,又函数是周期为4的函数 故在区间[3,5],因:f(x)=f(x-4)=x-4 所以所求函数为:f(x)=-x+2,x∈[1,3];f(x)=x-4,x∈[3,5]

金坛市15288379039： 已知f(x - 1)为奇函数,求证: - f(x - 1)=f( - x - 1). - ？
钊闵盐酸： 设:F(x)=f(x-1),则函数F(x)是奇函数,得:F(-x)=-F(x) 又:F(x)=f(x-1),则:F(-x)=f[(-x)-1]=f(-x-1) 得:F(-x)=-F(x) f(-x-1)=-f(x-1)