数学中有哪些基本不等式?
基本不等式有:
1、三角不等式
三角不等式即在三角形中两边之和大于第三边,是平面几何不等式里最为基础的结论。广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。
2、平均值不等式
Hn≤Gn≤An≤Qn被称为平均值不等式,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数,简记为“调几算方”。
3、二元均值不等式
二元均值不等式表示两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。公式为:a^2+b^2≥2ab;推广有:一般地,若a1,a2,a3,···,an,是正实数,则有均值不等式:
4、杨氏不等式
杨氏不等式又称Young不等式 ,Young不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例,其一般形式为:假设a,b是非负实数,p>1,1/p+1/q=1,那么:
等号成立当且仅当a^p=b^q。
5、柯西不等式
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式(柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式),其一般形式为:
6、赫尔德不等式
赫尔德不等式是数学分析的一条不等式,取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder)。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。设p>1,1/p+1/q=1,令a1,···,an和b1,···,bn是非负实数,则有:
扩展资料
基本不等式应用:
1、应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.
2、在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。
3、条件最值的求解通常有两种方法:
(1)一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;
(2)二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值。
参考资料来源:百度百科—不等式
什么是基本不等式?有哪些?
基本不等式是数学中常用的不等式关系,包括四个基本的不等式公式:算术平均-几何平均不等式、均值不等式、柯西-施瓦茨不等式和三角不等式。1.算术平均-几何平均不等式(AM-GM Inequality)算术平均-几何平均不等式是指对于非负实数的任意一组数,其算术平均值不小于它们的几何平均值。数学表达式如下:对于非...
初中基本不等式有哪些?
基本不等式有:1、三角不等式 三角不等式即在三角形中两边之和大于第三边,是平面几何不等式里最为基础的结论。广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。2、平均值不等式 Hn≤Gn≤An≤Qn被称为平均值不等式,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数...
高中数学中,有哪些常用的不等式?
平均不等式、柯西不等式、闵可夫斯基不等式、贝努利不等式、赫尔德不等式、契比雪夫不等式、排序不等式、含有绝对值的不等式、琴生不等式、艾尔多斯-莫迪尔不等式。不等式简介如下:用符号“>”“<”表示大小关系的式子,叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。通常不等式中的数是实数,字...
数学不等式有哪些?
1、三角不等式 三角不等式,即在三角形中两边之和大于第三边,有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子(这里不作介绍)。三角不等式虽然简单,但却是平面几何不等式里最为基础的结论。2、均值不等式 均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤...
基本不等式有哪些类型?
拉格朗日乘子法:基本不等式是利用拉格朗日乘子法证明的。该方法是一种常用的优化问题求解方法,通过引入拉格朗日乘子来转化为等式问题,并通过对等式进行求解来得到不等式的最优解。特殊情况下的应用:基本不等式在各种特殊情况下有不同的应用。例如,在概率论中,它被用于推导几何分布和泊松分布的性质;在...
高一数学基本不等式如何学习?
高一数学基本不等式是高中数学的重要内容之一,也是解决实际问题中常用的工具。学习高一数学基本不等式需要掌握以下几个方面:1.理解基本概念:首先要明确什么是基本不等式,它包括了哪些内容,如三角不等式、柯西不等式等。了解基本不等式的性质和特点,可以通过阅读教材、参考书籍或者观看相关视频来加深理解。...
基本不等式的实际作用有哪些?
基本不等式是一种数学定理,它是指对于任意两个正实数a和b,都有a+b≥2√ab(当且仅当a=b时取等号)。这个定理在数学中有着广泛的应用,例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有着重要的作用。其中,最经典的应用之一是在解决实际问题中的最值问题。
高考数学不等式的学习技巧有哪些?
5.学会解绝对值不等式:绝对值不等式是高考中常考的题型,要掌握解绝对值不等式的方法和技巧,包括分段讨论、去绝对值符号等。6.多做练习题:通过大量的练习题来巩固所学的知识和方法,提高解题能力和速度。7.注意思维逻辑:在解题过程中要注意思维的逻辑性,避免出现错误的思路和计算。8.多思考问题的...
一元一次不等式是几年级学的
一元一次不等式在数学中有着广泛的应用,它可以用来解决各种实际问题,如最大值、最小值、范围等问题。一元一次不等式也是后续数学学习的基础,如二次不等式、高次不等式等都需要一元一次不等式的基础知识。学习一元一次不等式对于学生来说是非常重要的。一元一次不等式的基本性质:1、不等式的两边同时...
大学生学习中常见的心理问题有哪些?
大学生是风华正茂的年轻人,其生理、心理均趋向成熟。但由于受人际关系不良、经济困难、失恋、学业受挫等影响,常造成心理障碍。根据一项以全国12.6万大学生为对象的调查显示,约20.23%的人有不同程度的心理障碍。某大学学工部两次对入学新生进行全面的心理测查,结果表明,25%的学生存在程度不同的心理...
都钩齐斯:[答案] 我的是张宇高数辅导讲义,经典不等式有1三角不等式2几何平均 算数平均 与均方根的不等式3杨氏不等式4柯西不等式5施瓦茨不等式6赫尔德不等式
循化撒拉族自治县19214313997: 数学中有哪些经典必记的不等式 - ?
都钩齐斯: 比如算术平均数大于等于几何平均数 即(x1+x2+…+xn)/n ≥ n次√(x1*x2*x3…*xn) 绝对值不等式︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱ 伯努利不等式 设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx 等等需要记住的
循化撒拉族自治县19214313997: 初等数学基本不等式 - ?
都钩齐斯: 1)均值不等式Hn<=Gn<=An<=Qn,当且仅当a1=a2=……=an时等号成立 调和平均数Hn=n/(1/a1+1/a2+……+1/an 几何平均数Gn=(a1a2……an)^(1/n) 算术平均数An=(a1+a2+……+an)/n 平方平均数Qn=[(a1^2+a2^2+……+an^2)/n]^(1/2) 2)柯西不等...
循化撒拉族自治县19214313997: 高一数学必修五基本不等式 - ?
都钩齐斯: X>-1,x+1>0 f(x)=x^2-3x+1/x+1=x-[4x-1/x+1] =x-4+5/(x+1)=(x+1)+5/(x+1)-5>=2√[5(x+1)/(x+1)]-5 =2√5-5 f(x)=x^2-3x+1/x+1的值域 f(x)>=2√5-5 网络百科教团为你解答, 如有不懂可以追问,如果懂了可以采纳,谢谢
循化撒拉族自治县19214313997: 数学中的不等式除了柯西、排序、切比雪夫等等还有啥,越多越好 - ?
都钩齐斯:[答案] 柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式你都说了,顺便说一下:切比雪夫不等式实质也就是排序不等式,他就是排序不等式的推论.其次还有Jensen不等式,他是凸函数的一个重要不等式,利用Jensen不等式我们可以推出所谓的You...
循化撒拉族自治县19214313997: 数学——基本不等式 - ?
都钩齐斯: 4x+y+12≥2√(4xy)+12 2√(4xy)+12≤xy 4√(xy)+12≤xy xy-4√(xy)-12≥0 设 t=√(xy) 则,上式化为 t^2-4t-12≥0 (t-6)(t+2)≥0 所以 t≥6 所以 xy≥36 (xy)min=36
循化撒拉族自治县19214313997: 高中数学不等式总结 - ?
都钩齐斯: ※不等式性质及证明※ 1.不等式的性质 比较两实数大小的方法——求差比较法;;. 定理1:若 ,则 ;若 ,则 .即 . 说明:把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向,称为不等式的对称性. 定理2:若 ,且 ,则 . 说明:此...
循化撒拉族自治县19214313997: 初等数学基本不等式请问初等函数基本不等式有哪几个 - ?
都钩齐斯: 基本上就是 (a+b)/2≥√ab ≥1/(1/a+1/b)等等 即代数平均值大于等于几何平均值 再大于等于调和平均数 还有a²+b²≥2ab等等
循化撒拉族自治县19214313997: 请问,常用不等式都有哪些?比如: - X+Y - ≤ - X - + - Y - ,几何 ?
都钩齐斯: a,b,c,a1,a2,...,an>0 (a+b)/2≥√ab a^2+b^2≥2ab (a+b+c)/3≥(abc)^(1/3) a^3+b^3+c^3≥3abc (a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n) 2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2] n/(1/a1+1/a2+…+1/an)≤(a1a2…an)^(1/n)≤(a1+a2+…+an)≤√[(a1^2+a2^2+…an^2)/n] |x1|-|x2|≤|x1+x2|≤|x1|+|x2| |x1|-|x2|-…-|xn|≤|x1+x2+…xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|
循化撒拉族自治县19214313997: 数学基本不等式?
都钩齐斯: 引用:A^2+B^2>=(A+B)^2/2 (展开,显然成立)所以原式左边》(a+1/a+b+1/b)^2/2=(1+1/ab)^2/2因为1=a+b>=2/ab所以ab<=1/4, 即1/ab>=4代入上式,即得证 证明:由柯西不等式:(1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(a+1/a+b+1/b)^2=(1+1/a+1/b)^2 再用柯西不等式:(a+b)(1/a+1/b)>=(1+1)^2=4 所以1/a+1/b>=4 于是2[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(1+4)^2=25 上式即(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2