设A为3阶方阵， λ1， λ2， λ3是A的三个不同特征值，对应特征向量分别为α1，α2，α3
假设xβ+yAβ+zA^2β=0
x（α1+α2+α3）+y（λ1α1+λ2α2+λ3α3）+z（λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3）=0。
因为α1，α2，α3分属不同特征值，所以线性无关，所以x+λ1y+λ1^2z=0。
此齐次方程组系数行列式为范德蒙行列式，且λ1， λ2， λ3互不相同，因而不为0，从而方程组只有零解，即有x=y=z=0。
故β，Aβ，A^2β线性无关。
第一性质
线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。
特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。
特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。
特征值的几何重次是相应特征空间的维数。
β=2*a1-2*a2+a3
A^n的特征值分别为1,1,3^n,特征向量不变
（A^n）β=（A^n）*（2*a1-2*a2+a3）=2*A^n*a1-2*A^n*a2+A^n*a3=2*a1-2*a2+3^n*a3
（二）
(A+E)^2=E 则 A^2+2A=O;则A(A+2E)=O；则0和-2是A的特征值；
B与A相似则,0和2也是B的特征值；
所以B^2+2B=B(B-2E)=O;
证明: 由已知, Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,Aα3=λ3α3,
所以 Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3
A^2β=A(Aβ)=λ1Aα1+λ2Aα2+λ3Aα3 = λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3
所以 (β,Aβ,A^2β)
=(α1+α2+α3,λ1α1+λ2α2+λ3α3,λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)
=(α1,α2,α3)K
其中 K =
1 λ1 λ1^2
1 λ2 λ2^2
1 λ3 λ3^2
由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 α1,α2,α3 线性无关
所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K).
又由于 λ1,λ2,λ3两两不同
所以 |K|=(λ2-λ1)(λ3-λ1)(λ3-λ2)≠0
所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K)=3.
所以 β,Aβ,A^2β 线性无关.
方程
从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。
假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。
证明: 由已知, Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,Aα3=λ3α3,
所以 Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3
A^2β=A(Aβ)=λ1Aα1+λ2Aα2+λ3Aα3 = λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3
所以 (β,Aβ,A^2β)
=(α1+α2+α3,λ1α1+λ2α2+λ3α3,λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)
=(α1,α2,α3)K
其中 K =
1 λ1 λ1^2
1 λ2 λ2^2
1 λ3 λ3^2
由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 α1,α2,α3 线性无关
所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K).
又由于 λ1,λ2,λ3两两不同
所以 |K|=(λ2-λ1)(λ3-λ1)(λ3-λ2)≠0
所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K)=3.
所以 β,Aβ,A^2β 线性无关.
矩阵相乘是满足分配率的，把Aβ 乘进去就是Aα1+Aα2+Aα3然后就是等于
λ1α1+λ2α2+λ3α3
第二条同理
[p[sakdifcnhuyfdgvbhvjt7843654y79ioj hu
樊叶洛庆：[答案] 证明:由已知,Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,Aα3=λ3α3, 所以 Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 A^2β=A(Aβ)=λ1Aα1+λ2Aα2+λ3Aα3 = λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3 所以 (β,Aβ,A^2β) =(α1+α2+α3,λ1α1+λ2α2+λ3α3,λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3) =(α1,α2,α3)K 其中 ...
镇原县18814226330： 设A为3阶方阵, λ1, λ2, λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3, - ？
樊叶洛庆： α2,α3线性无关可得,Aβ,A^2β线性无关(1)假设xβ+yAβ+zA^2β=0 即x(α1+α2+α3)+y(λ1α1+λ2α2+λ3α3)+z(λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)=0 (x+λ1y+λ1^2z)α1+(x+λ2y+λ2^2z)α2+(x+λ3y+λ3^2z)α3=0 因为α1,此即为A的特征值 因为A一定相似于对角阵C,...
镇原县18814226330： 设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3,令β =α1+α2+α3(1)证明β,Aβ,A^2β线性无关(2)若A^3β=3Aβ - 2A^2β,求A的... - ？
樊叶洛庆：[答案] (1)假设xβ+yAβ+zA^2β=0即x(α1+α2+α3)+y(λ1α1+λ2α2+λ3α3)+z(λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)=0(x+λ1y+λ1^2z)α1+(x+λ2y+λ2^2z)α2+(x+λ3y+λ3^2z)α3=0因为α1,α2,α3分属不同特征值,所以线性...
镇原县18814226330： 几阶方阵就有几个特征值? 包括重根情况就是如果A是三阶矩阵,那么|A|=λ1λ2λ3. 一定会有3个吗? - ？
樊叶洛庆：[答案] 1. 由 得 ,并且由于 是非零向量,故行列式 ,即 (称之为 的特征方程) 由此可解出 个根 (在复数范围内),这就是 的所有特征值. 即使有重根,n阶方阵仍旧是认为有n个特征值的.
镇原县18814226330： 一.设A为3阶方阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3,补充令β =α1+α2+α3(1)证明β,Aβ,A^2β线性无关(2)若A^3β=3Aβ - 2A^2... - ？
樊叶洛庆：[答案] 第一题(1)假设xβ+yAβ+zA^2β=0即x(α1+α2+α3)+y(λ1α1+λ2α2+λ3α3)+z(λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)=0(x+λ1y+λ1^2z)α1+(x+λ2y+λ2^2z)α2+(x+λ3y+λ3^2z)α3=0因为α1,α2,α3分属不同特征值,所...
镇原县18814226330： 设A是三阶矩阵,λ1,λ2,λ3是三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3分别是对 - ？
樊叶洛庆： β=2*a1-2*a2+a3 A^n的特征值分别为1,1,3^n,特征向量不变 (A^n)β=(A^n)*(2*a1-2*a2+a3)=2*A^n*a1-2*A^n*a2+A^n*a3=2*a1-2*a2+3^n*a3 (二) (A+E)^2=E 则 A^2+2A=O;则A(A+2E)=O;则0和-2是A的特征值; B与A相似则,0和2也是B的特征值; 所以B^2+2B=B(B-2E)=O;
镇原县18814226330： 求一道线代证明题谢谢~已知A为三阶方阵且有三个不同的特征值λ1,λ2,λ3,对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3,证明:向量组β,Aβ,A^2β线性无关 - ？
樊叶洛庆：[答案] 利用矩阵的秩来证明.经济数学团队帮你解答.请及时评价.
镇原县18814226330： 设3阶方阵A有3个特征值λ1 λ2 λ3 若|A|=24,λ1=2 λ2=3,则λ3=设3阶方阵A有3个特征值λ1 λ2 λ3 若|A|=24,λ1=2 λ2=3,则λ3= - ？
樊叶洛庆：[答案] |A| = λ1λ2λ3 = 2*3*λ3 = 24 所以 λ3 = 4
镇原县18814226330： 设三阶方阵A的三个特征值为:λ1 = 2 ,λ2 = - 1 ,λ3 = 3 , 则A的伴随矩阵对应的行列式| A* |为 - --------- - ？
樊叶洛庆： ^|^因为 A*A^* = |A|E 两边再取行列式 |A|*|A^*|=|A|^3(上角标为3,因为为3阶矩阵) |A^*|=|A|^2 矩阵A的行列式为特征值的乘积即|A|=2*(-1)*3=-6 所以|A^*|=(-6)^2=36
镇原县18814226330： A为三阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,对应的特征向量为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3,若(A^3 )*β=Aβ,求r(A - E)及行列式丨A+2E丨.答案中由(A^... - ？
樊叶洛庆：[答案] 左边=A[β,Aβ,A方β]=[Aβ,A²β,A³β]=[Aβ,A²β,Aβ]右边=[β,Aβ,A²β]B其中:B=0 0 0 1 0 10 1 0乘完后结果也是:[Aβ,A²β,Aβ]因此两边相等.若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的...
