正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，连CE、DF交于点M，N是DM的中点

如图所示，点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE的延长线交DA的延长线于G，试探索：~

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠B=∠DCF=90°．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EB=FC．∴△EBC≌△FCD（SAS）．∴∠ECB=∠FDC（全等三角形的对应角相等）．∵∠FDC+∠DFC=90°，∴∠ECB+∠DFC=90°．∴∠CMF=90°（三角形内角和定理）．∴DF⊥CE（垂直定义）．（2）在△AEG和△BEC中，∵∠GAE=∠B=90°，AE=BE，∠GEA=∠CEB，∴△GAE≌△CBE（ASA）．∴GA=CB（全等三角形的对应边相等）．∵正方形ABCD中，CB=AD，∴GA=AD．∵DF⊥CG，∴MA=12DG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

连接DE
∵ABCD是正方形
∴CD=BC=AB=AD
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°
∵E，F分别是AB，BC的中点
∴BE=AE=BF=FC=1/2AB=1/2BC
即BE=FC=AE
在Rt△BCE、Rt△CDF和Rt△ADE中
BC=CD=AD
BE=FC=AE
∴Rt△BCE≌Rt△CDF≌Rt△ADE
∴∠DFC=∠BEC=∠AED
∠BCE=∠CDF
即∠MCF=∠CDM
∵∠MCF+∠MCD=90°
∴∠CDM+∠MCD=90°
∴∠DMC=∠DME=90°(即AM⊥EC)
∴∠EAD+∠DME=180°
∴A、E、M、D四点共圆
∴∠AED=∠AMD=∠DFC
∵AD∥BC(正方形对边平行）
∴∠DFC=∠ADM
∴∠ADM=∠AMD
∴AM=AD

1.证明:∵BE=CF;∠EBC=∠FCD=90°;BC=CD.
∴⊿EBC≌⊿FCD(SAS),∠BCE=∠CDF.
∴∠BCE+∠MFC=∠CDF+∠MFC=90°.
故∠CMF=90°,CE垂直DF.
2.证法1:连接EF.
∵E,F均为边长的中点.
∴BE=BF;又∠EBF=90°.
则∠BEF=∠BFE=45°;
又∠EBF=∠EMF=90°,则E,B,F,M都在以EF为直径的同一个圆上.
∴∠BMF=∠BEF=45°,故MB平分∠EMF.

证法2:作BP垂直EC于P,BQ垂直MF的延长线于Q.
∵∠BPM=∠PMQ=∠BQM=90度.
∴四边形BPMQ为矩形,∠PBQ=∠EBF=90°.
∴∠EBP=∠FBQ;又EB=FB,∠BPE=∠BQF=90°.
则⊿EBP≌⊿FBQ(AAS),BP=BQ.
故MB平分∠EMF(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
3.解:设正方形边长为2,则BE=CF=1,CE=DF=√5.
∵∠CMF=∠CBE=90°;∠MCF=∠BCE.
∴⊿CMF∽⊿CBE,S⊿CMF/S⊿CBE=(CF/CE)².
即S⊿CMF/1=(1/√5)²,S⊿CMF=1/5.
又S⊿EBC=S⊿FCD=1,则S四边形BFME=S⊿DCM=1-1/5=4/5.
同理相似可证:⊿ADN≌⊿DCM,则S⊿ADN=S⊿DCM=4/5.
∴S四边形AEMN=S正方形ABCD-S⊿EBC-S⊿DCM-S⊿ADN=4-1-4/5-4/5=7/5.
所以,S四边形BFME/S四边形AEMN=(4/5)/(7/5)=4/7.

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD，
∴∠MAD=∠MEN，
又∵M是AE的中点，
∴AM=EM
在△ADM和△ENM中，
∵ ∠MAD=∠MEN AM=EM ∠AMD=∠EMN ，
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴AD=EN；
（2）证明：连接FD、FN，
∵CE是正方形CGEF的对角线，
∴CF=EF，∠1=∠FEN=45°，
又∵∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠2=∠1=∠FEN=45°，
在△CDF和△ENF中，
∵ CD=EN ∠2=∠NEF CF=EF ，
∴△CDF≌△ENF（SAS）
∴∠3=∠4，DF=FN，
又∵∠CFN+∠3=90°，
∴∠CFN+∠4=90°，
∴△DFN是等腰直角三角形，
又∵△ADM≌△ENM，
∴DM=NM，
∴FM=DM，FM⊥DM．

BE=CF
DC=BC
三角形EBC与FCD全等，BCE=FDC（角）
所以EC与DF垂直

2问用解析几何
A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1），E（0，1/2），F（1/2，0）
M（3/5，1/5）N（4/5，3/5）
tanEMB = （1/3 + 1/2） / (1-1/2*1/3) = 1
EMB= 45度

3。BFME面积= CBE面积-CMF面积=1/4 - 1/20 = 1/5
ANME面积=ABCD面积-ADN-DMC-EBC面积= 1/4
面积比4/5

好多定理都忘记了呀～
设∠FDC为α，∠CEB为γ
因为ABCD为正方形，EF分别为AB和BC的中点，所以EB=FC
ECB和FDC为全等三角形
∠α=∠FCM
因为DCM为直角三角形，所以∠DCM+∠α=90度
所以DMC为直角三角形，CE⊥DF

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金明区18735911181： 在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC边的中点,连接AF,DE相交于点O,AB=a - ？
金航格列： 因为E,F分别为AB,BC边的中点 所以三角形ABF全等于三角形DAE 角ADE=角BAF 推得:角AOD=角AOE=90度 即三角形AOD相似于EOA AO:DO=AE:AD=1/2 根据勾股定理,在三角形AOD中,AO*AO+OD*OD=AD*AD 即:AO*AO+(2AO*2AO)=a*a5AO*AO=a*a AO=(根号5/5)a 本题完成:1.求线段AO的长;AO=(根号5/5)a=0.447a(约)2 求AO/DO的值.AO/DO=1/2

金明区18735911181： 如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC边上的点.且AE=BF.求证AF垂直DEgh - ？
金航格列： 设AF和DE交于点O,由AE=BF AD=AB ABCD为正方形,所以三角形ABF和三角形AED全等,所以角AFB等于角AED,所以三角形AOE和三角形AFB相似,所以角AOE等于角ABF等于90°,所以AF垂直ED

金明区18735911181： 如图,在正方形ABCD中,E、F分别是AB和AD上的点,已知CE⊥BF,垂足为M,请找出图中和BE相等的线段,并说明你的结论. - ？
金航格列：[答案] 和BE相等的线段是AF.理由见解析 和BE相等的线段是AF.理由如下: 因为ABCD是正方形,所以,∠. 因为CE⊥BF,所以∠. 又因为∠, 所以∠. 在△AFB和△BEC中, 所以△≌△,所以.

金明区18735911181： 在正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点.求证:AF垂直DE用平面向量的知识求证 - ？
金航格列：[答案] AF=AB+BF DE=DA+AE AF*DE=AB*AD+BF*AE=0+0=0 AF垂直DE

金明区18735911181： 如图,正方形ABCD中,E、F分别是AB和AD上的点,已知CE⊥BF,垂足为M,求证:(1)∠EBM=∠ECB;(2)BE=AF. - ？
金航格列：[答案] 证明:∵CE⊥BF,垂足为M, ∴∠MBC+∠MCB=∠BEC+∠MCB, ∴∠MBC=∠BEC 又∵AD∥BC, ∴∠MBC=∠AFB ∴∠AFB=∠BEC, 又∵∠BAF=∠EBC,AB=BC, ∴Rt△BAF≌Rt△EBC, ∴(1)∠EBM=∠ECB;(2)BE=AF.

金明区18735911181： 正方形ABCD中,E,F分别是AB与BC边上的中点,连接AF,DE,BD,交于G,H(如图所示).求AG:GH:HF的值. - ？
金航格列：[答案] 如图,延长DE、CB交于点M.∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AD=BC=AB,∵点E是AB的中点,点F是BC的中点,则FM=32AD.∴AE=BE,BF=12BC=12AD.易证△AED∽△BME,∴AEBE=ADBM.∴ADBM=1,即AD=MB.同理,△AGD∽△FM...

金明区18735911181： 如图ABCD是正方形,E、F分别是AB、BC中点,阴影部分的面积占正方形的几分之几? - ？
金航格列：[答案] 如图: 连接BD,已知E、F分别是AB、BC中点,所以BF=FC,AE=EB, 等底等高的三角形的面积相等, 所以△ADE=△EDB=△BDF=△FCD, 故阴影部分的面积占正方形的 1 2. 答:阴影部分的面积占正方形的 1 2.

金明区18735911181： 正方形ABCD中E,F分别是AB,AD上的点,AB=12,EF=10△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的1/5求AE,AF的长我能看懂就行,我自己组织语言好了,希... - ？
金航格列：[答案] △AEF的面积等于五边形EBCDF面积的1/5,所以△AEF的面积等于正方形ABCD面积的1/6=24,即AE乘以AF=48,又AE的平方加AF的平方等于EF的平方等于100,解方程组得,AE=8,AF=6或AE=6,AF=8.

金明区18735911181： 在正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P.问:①依... - ？
金航格列：[答案] ①如图所示. ②这个几何体由四个面构成,即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP. 由平几知识可知DE=DF,∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°, 所以△DEF为等腰三角形,△DFP、△EFP、△DEP为直角三角形. ③由②可知,DE=DF= 5a,EF= 2a,所以,S...

金明区18735911181： 如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC上的点,且AE=BF,AF、DE相交于点O,下列结论:①AF=DE;②AF⊥DE;③OD=OF;④S△AOD=S四边形... - ？
金航格列：[答案] 正确的结论为①、②、④,理由如下: 在△DAE与△ABF中, DA=AB,∠DAE=∠ABF=90°,AE=BF, 故△DAE≌△ABF(SAS); ∴(一)DE=AF,①正确; 由于OD=DE-OE,OF=AF-OA,而OA>OE,故OD>OF,③错误; (二)∠ADE=∠BAF,∠ADE+...