O是三角形外任一点，若OG的向量=1÷3﹙OA的向量+OB的向量+OC的向量﹚，求证：G是三角形重心
设D为AB中点，则
OA+AB=OB,AB=OA-OB,同理CA=OC-OA，CD=CA+AD,
OG=OC+CG= OC+2/3CD= OC+2/3(CA+AD)
=OC+2/3(CA+1/2AB)= OC+2/3CA+1/3AB
=OC+2/3(OC-OA)+1/3(OA-OB)
=5/3OC-1/3OA-1/3OB
OG=5/3OC-1/3OA-1/3OB
同理
OG=5/3OA-1/3OB-1/3OC
OG=5/3OB-1/3OC-1/3OA
上面三式相加得
3OG=OA+OB+OC
OG=(OA+OB+OC)/3
OH=OA+AH
于是OA+AH=OA+OB+OC
AH=OB+OC
AH(BC)=AH(OC-OB)=(OB+OC)(OC-OB)=OB²-OC²=R²-R²=0
于是AH⊥BC。同理可证BH⊥AC，CH⊥AB，于是H是垂心
（2）重心G满足GA+GB+GC=0
GA=GO+OA,GB=GO+OB,GC=GO+OC
于是3GO+OA+OB+OC=0
得OG=（1/3）(OA+OB+OC)
GH=OH-OG=（2/3)(OA+OB+OC)
|GH|=(2/3)|OA+OB+OC|
|OG|=(1/3)|OA+OCB+OC|
于是|GH|=2|OG|
分析：由题意O是△ABC外任一点，由OG→=1/3(OA→+OB→+OC→)，利用向量的减法可以等价于：GA→+GB→+GC→=0→，再有等价条件，利用向量的平行四边形法则及平面图形知识即可求证．
解答：
证明：由OG→=1/3(OA→+OB→+OC→)⇔3OG→=OA→+OB→+OC→⇔(OG→-OA→)+(OG→-OB→)+(OG→-OC→)=0→⇔AG→+BG→+CG→=0→⇔GA→+GB→+GC→=0→，
由题意画出简图为：
由于GA→+GB→+GC→=0→⇔GA→+GB→=CG→，
在图形中，利用平行四边行法则及两向量的加法原理可知：GA→+GB→就是以GA，GB为两相邻边的平行四边形的对角线GD，
由于四边形GADB为平行四边形，所以GD平分AB，即：GD→=GA→+GB→，所以GD→=GC→，∴|GD→|=|GC|→；
又GD，AB平分，所以点G在三角形ABC的边AB的中线上，
同理点G应该在BC边的中线上，利用重心的定义可知G是△ABC重心（即三条边上中线的交点）．
如何证明等边三角形任意一点到三边距离相等?
（2）对等边三角形内任意一点可以做与底边平行的直线，那么这点到三边垂直距离就等于图形中的梯形的高加上图中小三角形边上的这点到两边垂直距离的和，由（1）可知，图中小三角形边上的这点到两边垂直距离的和就等于小三角形的高．这样等边三角形内任意一点到三边垂直距离都等于高．
若在n边形的一边外部任取一点o,并把o与各顶点连接起来,那么如何说明n...
o与各顶点连接起来构成n个三角形，所有三角形内角和是180*n 所有圆心角相加是360 那么n边型内角和=180*n-360=180（n-2)
初中数学
由PA+PB可知，P在AB上，所以PA+PB=AB，又因为三角形任意一边，小于另外两边的和，所以 PA+PB<AC+BC
三角形有外心吗?
性质：AD=BD，BE=CE，AF=CF；O₁D⊥AB，O₁E⊥BC，O₁F⊥AC；O₁A=O₁B=O₁C=外接圆半径R；锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心就是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外（最长边以外）。【扩展】三角形共有五个“心”，分别为：外心、...
等边三角形 p 任意一点 求pa pb pc
证明：将△ACP绕点A顺时针旋转60°,使AC和AB重合,P点落在P'处,连结P'P则：∠P'AP=60°,AP=AP',PC=P'B,∴△APP'为正三角形,∴AP=PP'在△PP'B中,PP'
三角形的外心是怎样定义的?
2、对于任意一个三角形ABC，外心O是使得OA=OB=OC的点，也就是说，它到三个顶点的距离是相等的。为了便于理解，我们可以将向量OA、向量OB和向量OC表示为a、b和c。根据定义，即有a=b=c。以此为基础，我们可以继续推导外心的向量结论。3、外心到三角形内部或边上任意一点P的向量等于该点向量与对边...
已知,O是锐角三角形ABC的外心,P是三角行ABC中不同于O的任意一点
记OA=OB=OC=R.首先，PA,PB,PC把ABC分成三个三角形，不妨设O属于三角形PAB.连AO延长至X,则2R=OA+OB≤OA+OX+XB=XA+XB≤PA+PX+XB=PA+PB.O和P不同，所以上述两个≤必有一个成立<.故PA,PB中必有一线大于R.另一方面，OA,OB,OC把ABC分成三个三角形，不妨设P属于三角形OBC.类似上面，可...
...如图,点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点(点 除外),作 ,射...
推荐答案2012-07-29 21:03DM和MN是相等关系 证明：过点M作ME平行BD交AD于E 所以角EMD=角MDB 角DEM+角ADB=180度 DE\/AD=BM\/AB 角AEM=角ADB 角AME=角ABD 因为三角形ABD是正三角形 所以AD=AB 角ADB=角ABD=60度 所以角DEM=120度 DE=BM 因为BN是角ABD的外角平分线 所以角DBN=60度 所以角...
如图,已知P是圆O外任意一点,过点P作直线PB、PD,分别交圆O于点A、B...
这个题目不难，你题目貌似不是弧A而是弧AC吧，利用两个等腰三角形，然后分别利用三角形其中一角的补角等于另外两个角之和这个定理来说明，角p的两部分重复了一次，故得证附图
三角形中的重心,垂心,外心,内心分别是什么线的交点
重心：三条边的中线交于一点；垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点；外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点；内心：三角形的三条内角平分线交于一点。三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角...
惠唯赖脯： 取O为坐标原点,取定直角坐标系,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).C(x3,y3,z3) 从OG=(OA+OB+OC)/3.得到G(x,y,z)=G((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3,(Z1+Z2+Z3)/3) 这正是⊿ABC重心的坐标,所以G是⊿ABC的重心.
康马县17823672224： G是三角形abc的重心,o为三角形abc面外一点,求证向量OG=1/2(OA向量+OB向量+OC向量) - ？
惠唯赖脯： 这个结论是错误的,正确的应该是:对平面外任一点 O ,有 OG=1/3*(OA+OB+OC) .证明:因为 G 是三角形 ABC 的重心,因此 GA+GB+GC=0 , 所以,OG=OA+AG ,同理 OG=OB+BG,OG=OC+CG , 三式相加得 3OG=OA+OB+OC , 因此 OG=1/3*(OA+OB+OC) .
康马县17823672224： 已知:G为三角形ABC的重心,O为平面内任意一点.求证:向量OG=3分之1(向量OA+向 - ？
惠唯赖脯： 向量GA=向量OA-向量OG 向量GB=向量OB-向量OG 向量GC=向量OG-向量OC 向量GA+向量GB+向量GC=向量OA-向量OG+向量OB-向量OG+向量OC-向量OG=0 向量3向量OG=向量OA+向量OB+向量PC 好了
康马县17823672224： 已知G是△ABC的重心,O是空间任意一点,若向量OG=xOA+yOB+zOC,求xyz值 - ？
惠唯赖脯： 先证明一个结论: G是三角形ABC的重心,则有 向量GA+向量GB+向量GC=零向量 【证明】以GA、GB为邻边做平行四边形AGBD,设GD交AB于E 则向量GD=向量GA+向量GB 由重心的性质 有向量GE=-向量GC/2 又向量GE=向量GD/2===>-向量GC=向量GD ∴-向量GC=向量GA+向量GB ∴向量GA+向量GB+向量GC=0向量下面再做本题: 因为向量GA+向量GB+向量GC=0向量, 所以(OA-OG)+ (OB-OG)+ (OC-OG)=0, OA+OB+OC=3OG, 所以OG=1/3OA+1/3OB+1/3OC, ∴x=y=z=1/3.
康马县17823672224： 已知G是三角形ABC的重心,O是空间任一点,若向量OA+向量OB+向量OC=λOG,求λ的值 - ？
惠唯赖脯： 由于G是三角形ABC的重心,则有 向量GA+向量GB+向量GC=零向量,即向量OA-向量OG+向量OB-向量OG+向量OC-向量OG=零向量 故向量OA+向量OB+向量OC=3向量OG 即λ=3
康马县17823672224： 已知G为三角形ABC的重心,O是ABC外 的一点,若P (OG)=OA+OB+OC (向量) 则P为 - ？
惠唯赖脯： 因为,下同)OB=OG+GBOC=OG+GC 所以p(OG)=OG+GA+OG+GB+OG+GC 又因为,G是三角形重心, 所以GA+GB+GC=0 所以p(OG)=3OG p=3
康马县17823672224： G为三角形ABC的重心,O为任意一点,证向量OG等于三分之一倍的向量OA加OB加OC - ？
惠唯赖脯：[答案] 设D为AB中点,则 OA+AB=OB,AB=OA-OB,同理CA=OC-OA,CD=CA+AD, OG=OC+CG= OC+2/3CD= OC+2/3(CA+AD) =OC+2/3(CA+1/2AB)= OC+2/3CA+1/3AB =OC+2/3(OC-OA)+1/3(OA-OB) =5/3OC-1/3OA-1/3OB OG=5/3OC-1/3OA-1/3OB 同...
康马县17823672224： 一个高中数学题？
惠唯赖脯： 取O为坐标原点,取定直角坐标系,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).C(x3,y3,z3) 从OG=(OA+OB+OC)/3. 得到G(x,y,z)=G((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3,(Z1+Z2+Z3)/3) 这正是⊿ABC重心的坐标,所以G是⊿ABC的重心
康马县17823672224： 已知:G为三角形ABC的重心,O为平面内任意一点.求证:向量OG=3分之1(向量OA+向 - ？
惠唯赖脯：[答案] 向量GA=向量OA-向量OG 向量GB=向量OB-向量OG 向量GC=向量OG-向量OC 向量GA+向量GB+向量GC=向量OA-向量OG+向量OB-向量OG+向量OC-向量OG=0 向量 3向量OG=向量OA+向量OB+向量PC 好了
康马县17823672224： 设O是三角形ABC所在平面外一点,G是三角形ABC的重心,？
惠唯赖脯： OG=OA+AG AG=0.5(AB+AC)*2/3 因为重心是中线的交点,分中线比为2:1 然后AB,AC都用OA,OB,OC基础量来表示 最后得X=Y=Z=1/3 关键你要知道首尾相接字母的向量加减就比较简单了
