三角形重心，中心，垂心，内心，外心的性质，越详细越好。答好了加分

三角形重心，中心，垂心，内心，外心的性质是什么？~

所谓三角形的四心,是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.1.垂心三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.2.重心三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.3. 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心4. 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，重心 三边上中线的交点垂心 三条高的交点内心 内接圆圆心 三个角角平分线交点外心 外接圆圆心 三条边的垂直平分线交点还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心) 只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.重心是三角形三边中线的交点1,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：12，等积：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3。重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。锐角三角形的垂心必在形内，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点．三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.

一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理
有关三角形五心的诗歌
三角形五心定理
　　三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理
　　三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 　　重心的性质： 　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 　　2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理
　　三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 　　外心的性质： 　　1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 　　2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 　　3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 　　4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 　　5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
　　三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 　　垂心的性质： 　　1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 　　2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 　　3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 　　4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 　　定理证明 　　已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 　　证明： 　　连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 　　∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC 　　∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 　　又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 　　因此，垂心定理成立！
四、三角形内心定理
　　三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 　　内心的性质： 　　1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 　　2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 　　3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 　　4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 　　5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　6、、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　7、（内角平分线分三边长度关系） 　　△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
五、三角形旁心定理
　　三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 　　旁心的性质： 　　1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 　　2、每个三角形都有三个旁心。 　　3、旁心到三边的距离相等。 　　如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 　　附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关三角形五心的诗歌
　　三角形五心歌（重外垂内旁） 　　三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 　　重 心 　　三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 　　重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 　　外 心 　　三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 　　此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 　　垂 心 　　三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 　　直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 　　内 心 　　三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 　　点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然． 　　五心性质别记混，做起题来真是好

垂心;3条高在三角形内相交与一点叫垂心
重心;三角形3条边的中线到一个3个角相交于一点叫重心
内心;3个角平分线相交于一点叫内心
外心;外接圆圆心,3条边的垂直平分线交点

1.重心(三条中线的交点):到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍
2.垂心(三条高的交点):AH*HD=BH*HE=CH*HF
3.内心(三角平分线的交点):到三边的距离相等
4.外心(三边中垂线的交点):到三个顶点的距离相等

1.垂心
三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.

2.重心
三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.

3. 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心

4. 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，

重心 三边上中线的交点
垂心 三条高的交点
内心 内接圆圆心 三个角角平分线交点
外心 外接圆圆心 三条边的垂直平分线交点
还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心) 只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.

所谓三角形的"四心",是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.

1.垂心
三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.

2.重心
三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.

3. 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心

4. 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，

重心 三边上中线的交点
垂心 三条高的交点
内心 内接圆圆心 三个角角平分线交点
外心 外接圆圆心 三条边的垂直平分线交点
还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心) 只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.

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金阳县19652418725： 什么是三角形外心,垂心,重心,内心,中心 - ？
樊瑾陈香： 外心:三角形外接圆的圆心 垂心:三角形三边高的交点 重心:三角形三条中线的交点 内心:三角形内切圆的圆心 中心【好像没这个概念】

金阳县19652418725： 三角形的内心,外心,重心,垂心分别是什么啊? - ？
樊瑾陈香： 内心:三角形的三内角平分线交于一点.(内心定理)外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点.(外心定理)中心:等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心:三角形的三条高交于一点.(垂心定理)重心:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(重心定理) 旁心: 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外交平分线交于一点.(旁心定理)三角形有三个

金阳县19652418725： 数学三角形里重心中心垂心内心外心分别是什么? - ？
樊瑾陈香：[答案] 重心:三角形的三条中线交点. 外心:三角形的三边的垂直平分线交点. 垂心:三角形的三条高交于一点. 内心:三角形的三内角平分线交于一点. 中心:没有具体概念,是以上四个心的重合一点以后的名称,只有正三角形才有

金阳县19652418725： 三角形的中心,重心,垂心,外心,内心分别是什么 - ？
樊瑾陈香：[答案] 三角形只有五种心 重心:三中线的交点; 垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简...

金阳县19652418725： 三角形中,重心,中心,垂心,内心,外心.都是指什么 - ？
樊瑾陈香：[答案] 重心是三条中线的交点 垂心是三条高的交点 内心是三条角平分线的交点 外心是三条边的垂直平分线的交点 中心只有正三角形才有,对于正三角形重心、垂心、内心、外心重合,该点就是中心

金阳县19652418725： 三角形的＂内心、外心、中心、重心、垂心”的具体概念? - ？
樊瑾陈香：[答案] 对于任意一个三角形,三角形的三条高的交点叫做垂心,三角形的三条中线(中线指把三角形一边的中点与这条边所对应的端点连线所成的线)的交点所为重心,三角形的三条角平分线的交点叫内心,三角形的中心点为中心,三角形外的任意一个点...

金阳县19652418725： 三角形的内心、外心、中心、垂心、重心? - ？
樊瑾陈香：[答案] 内心:三内角内角平分线的交点; 外心:三边垂直平分线的交点; 重心:三边上的中线的交点; 垂线:三边的高的交点. 中心:【这个只有正三角形才有,此时,上述的几个心都重合了】

金阳县19652418725： 外心,内心,中心,重心,垂心各是什么? - ？
樊瑾陈香：[答案] 外心:三角形外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点. 内心:三角形内接圆的圆心,是三角形的三个内角平分线的交点. 中心:正多边形(如等边三角形)的外心、内心互相重复,也叫中心,是正多边形的旋转中心. 重心:三角形三边中线的...

金阳县19652418725： 三角形多个心的定义内心、外心、中心、重心、垂心的定义 - ？
樊瑾陈香：[答案] 内心是三个角平分线的交点,是内接圆的圆心; 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心,也就是三角形三边垂直平分线的交点;重心是三边中线的交点;三角形的三条高或其延长线相交于一点,这点称为三角形的垂心.当且仅当三角形是正三角形的...

金阳县19652418725： 什么叫三角形的重心、内心、外心、垂心、中心?有什么特点么? - ？
樊瑾陈香：[答案] 内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等. 外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等. 重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似. 旁心是一个内...