在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，OA=OC，AB=CD。请问四边形ABCD是菱形吗？为什么？

~

答：我们知道，菱形是对角线互相垂直平分的平行四边形，或者是四条边相等的平行四边形。从表面上看，平行四边形仅仅是菱形的必要条件，现在此题连平行四边形的条件都不具备，四边形ABCD不可能是菱形。但是，用尺规作图来作这个图形的时候，满足这个图形条件的只能是菱形。满足AC平分∠A，又满足AC被平分，且AB=CD；这三个条件的四边形，只能是菱形。做不出来其它图形。因此，从尺规作图可以证明，此图形为菱形。具体见下图。这道题如果不了解尺规作图的学生，证明的难度相当大。

证明：依题意，以O为圆心以AO=OC为半径做圆分别交AC于A和C，交AD和AB的延长线于M和N，连结MN交AC于H，因为AC平分∠BAD，所以MN⊥AC；在所有的圆中平分直径的弦，一定是直径，由此，可以确定BD一定在圆O的直径上。分别以A和C为圆心，以大于AO小于AM为半径做等圆交AC的垂直平分线于P，分别交BC和AD于E和F，交AN于G；得：AE=CF，连结AF和CE，得CE=AF=AG；连结EF，必过圆O；连结EG，交AC于Q；现在，我们假设D点在E，B点在F或G；因为CE=AF，且EF过O点，但是，∠EAC≠∠CAF；与题中的条件矛盾；所以D点不在E点，B点不在F点。

因为CE=AG，且∠EAC=∠CAG；但是，AQ≠QC；因此，D点不在E点，B点不在G点。

当且仅当DB在AC的垂直平分线上时，才有CD=AB，AO=AC，∠DAC=∠CAB。此时，BD和AC互相垂直平分。很容易证明ABCD是平行四边形。满足菱形的判定条件。证毕。

这是一道难度非常大的证明题，相信高考不会出这样的命题。在美国这类问题应该是大学的几何题。如果参加高考，可以忽略这样的命题证明。

连接OG
∵ABCD是平行四边形
∴AD=BC
OD=OB=1/2BD
∵BD=2AD,AD=1/2BD
∴AD=OD=OB=BC
∴△BOC是等腰三角形
∴∠ACB=∠COB
∵G是AB的中点,F是OD的中点,O是BD的中点
∴OG是△ABC的中位线即OG=1/2BC=1/2AD
且OG∥BC
OF=1/2OD=1/2AD
∴OF=OG
∠AOG=∠ACB
∴∠FOE=180°-∠COB=180°-∠ACB
∠EOG=180°-∠AOG=180°-∠ACB
∴∠FOE=∠EOG
在△EOF和△EOG中
OF=OG
OE=OE
∠FOE=∠EOG
∴△EOF≌△EOG
∴EF=EG

---

洞头县15085034806： 在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列说法正确的是() A.如果AB=BC,AC⊥BD,∠A=90° - ？
颛吉赛特：A、如图1所示,四边形ABCD是筝形,而不是正方形.故本选项错误; B、如图2所示,四边形ABCD不是矩形.故本选项错误; C、如图3所示,四边形ABCD是等腰梯形,而不是平行四边形.故本选项错误; D、如图4所示,对角线互相平分的四边形ABCD是平行四边形,邻边相等的平行四边形是菱形.故本选项正确. 故选D.

洞头县15085034806： 数学平行四边形:(1)在平行四边形ABCD中,已知对角线AC和B? ？
颛吉赛特： (1)因为平行四边形对角线互相平分,所以OA=OC,OB=OD,又因为三角形AOB的周长为AB OA OB=15即6 OA OB=15 所以OA OB=9 所以对角线AC BD=2(OA OB0=18(2) 因为平行四边形对角线互相平分,所以OB=OD 又因为OE⊥BD 即OE垂直平分BD,所以BE=DE所以三角形ABE的周长=AB BE AE=AB DE AE=AB AD=20÷2=10cm

洞头县15085034806： 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O, AB + AD =λ AO - ？
颛吉赛特： ∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O, ∴ AB + AD = AC , 又O为AC的中点, ∴ AC =2 AO , ∴ AB + AD =2 AO , ∵ AB + AD =λ AO , ∴λ=2. 故答案为:2.

洞头县15085034806： 如图,在四边形ABCD中,AC、BD为对角线,点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点,下列说法:①当AC=B - ？
颛吉赛特： 解:连接EM、MF、FN、NE,连接EF、MN,交于点O,如图所示. ∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点,∴EM∥BD∥NF,EN∥AC∥MF,EM=NF=1 2 BD,EN=MF=1 2 AC. ∴四边形ENFM是平行四边形. ①当AC=BD时,则有...

洞头县15085034806： 在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,AB=AE,AC=AD.那么在下列四个结论中:(1)AC⊥BD;(2)BC=DE;(3)∠DBC=12∠DAB;... - ？
颛吉赛特：[选项] A. (1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (1)和(4)

洞头县15085034806： 1、在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分角DAB,且AB=AE,AC=AD,求证:角DBC=1/2角DAB.2、在三角形ABC中,AB=BC,点D、... - ？
颛吉赛特：[答案] 1.证明: 已知:角BAC=角CAD,AB=AE,AC=AD, 所以:等腰三角形中,角ABE=角AEB,角ACD=角ADC, 所以:角ABE=角AEB=角ACD=角ADC, 因为:角AEB与角CED为对顶角 所以:三角形ABE相似于三角形DEC 所以:AE/BE=DE/DC 又...

洞头县15085034806： 平行四边形ABCD中,AC是一条对角线,∠B=∠DAC,延长BC至E点,使CE=BC,连接DE,试说明:四边形ABED是等腰 - ？
颛吉赛特： 证明:ABCD是平行四边形,∠B=∠ADC 因为∠B=∠DAC,所以∠DAC=∠ADC.AC=CD 因为AB=CD,所以AC=AB △ AB=CD, AB‖CD,∠ABC=∠DCE BC=CE 因此△ABC≌△DCE AC=DE.所以AB=DE 四边形ABED,AD‖BE,AB=DE,且AB不平行DE 因此是等腰梯形

洞头县15085034806： 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=______. - ？
颛吉赛特：[答案] ∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O, ∴ AB+ AD= AC, 又O为AC的中点, ∴ AC=2 AO, ∴ AB+ AD=2 AO, ∵ AB+ AD=λ AO, ∴λ=2. 故答案为:2.

洞头县15085034806： 在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分角DAB,且AB=AE,AC=AD,求证角DBC=1/2角DAB三角形ABC中,已知角B和角C的平分线相... - ？
颛吉赛特：[答案] 第一题题主问题应该有误,是求证∠BDC=1/2∠DAB 证明:令∠BAE=∠EAD=∠1 因为AB=AE,所以∠ABE=∠AEB=∠2 则,∠1+2∠2=180° 又AC=AD,所以∠ACD=∠ADC=∠3 即∠1+2∠3=180° 所以∠2=∠3 又∠CED=∠BEA=∠2, 所以∠...

洞头县15085034806： 已知,如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交与点O,且OA=OC,BA⊥AC,DC⊥AC,垂足分别为 - ？
颛吉赛特： 因为BA⊥AC,DC⊥AC 所以∠BAC=∠ACD=90°,∴AB‖CD,又∵AO=OC,∠AOB=∠DOC ∴△AOB全等于△COD(ASA) ∴AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形