高等代数问题

高数题目~

对x 求偏导，等于(6-2x)(4y-yy),对y 求偏导，等于(6x-xx)(4-2y),令这两个偏导为零，解出x.y的值，即为驻点，再求关于x 的二阶偏导，关于y的二阶偏导，和关于x y的二阶混合偏导，计算驻点在这三个二阶偏导的值，分别记为A，C，B，若AC-BB大于零，则此驻点是极值点，此时，若A0,此驻点是极小值点，求出对应的函数值即为所求极值，若AC-BB小于零，则此驻点不是极值点

你好认真。。。

暂时先写一下我会做的.其他的如果有时间我再补充,不过最好还是等其他更精于矩阵理论的人回答.

1) 命题:只要A是幂零矩阵, 就有 det( E+A ) = 1 .
正确. 一般地,设 A 是域 K 上的方阵, 而 f(X) 是 K 上的多项式, 如果 A 的 n 个特征根是 {a_i} ,则 矩阵多项式 f(A) 的特征根恰好是 { f (a_i) } ( Frobenius定理,证明可利用上三角化). 现在, A 幂零等价于说 A 的 n 个特征根都是零,所以 A+E 的特征根都是 1 .

2) 不会做.
(估计涉及到 这个多项式在 5元有限域上是否可约,以及矩阵 A 的极小多项式. 一个方阵可以对角化的一个充要条件是 极小多项式是可分的,即 在代数闭包中没有重根.)

3) 问: 若线性变换 f 满足 Ker(f) ∩ Im(f) = { 0 } , 则 f 是否一定是幂等的(i.e. f^2 = f )?
不一定. 你可以令 f 是 K-向量空间 V 中的任何一个 线性的单射 .(当然如果 V 的维数有限,事实上 f 也是双射)
作为具体例子,可以取域 K 中的元素 a 使 a 不等于 0 且不等于 1 (当 K 的元素个数大于 2 时,这样的 a 总是存在的 ) . 令映射 f 是数乘作用
x |-----> ax .

[注记] 反过来是成立的.如果 f 是(任意维数的) K-向量空间 V 上的幂等线性变换,那么 V 是 像空间 Im(f) 与 核空间 Ker(f) 的内直和.

4) 不会做.
(也就是问,一般 -1 是不是反对称矩阵的特征根.)

1. 对
看特征值即可，楼上解释了

2. 对
在F5上3A^3+A^2+2A-I=3(A-I)(A-3I)(A-4I)=0
所以A的特征值全落在F5内，并且极小多项式没有重根

3. 错
比如A=[0 1; 1 0]，这个反例即使在特征为2的域上也可以用

4. 对
实反对称矩阵的特征值的实部必定是零，因此-1不是A的特征值

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