关于线性代数的问题
你好、很高兴回答你的问题
这个题不太好想
α1，α2这两个向量与α3无关
这个条件下 α1，α2可能是相关的 但也可能是无关的（这是关键）
如果α1，α2是相关的话，那么α4可以表示成k倍的α1
α3与α1无关 当然α3也和kα1无关(这个也要明白）
但是如果α1，α2是无关的话，就不好说了
给你举个反例
α1=（1 1 1）T
α2=（2 -1 2）T
α3=（1 0 1）T
α4=α1+α2=（3 0 3）T
显然 α3与α4这时线性相关
个人感觉这道题出的有的偏
不太好
特征值为A的倒数，也为正，所以为正定
可逆矩阵一、 可逆矩阵的定义及性质
定义 3.1 设A ∈Mn （F ）, 若存在同阶矩阵 B ，使AB=BA=E ，则称A 为可逆矩阵， B 为A 的逆矩阵，简称为 A 的逆，记为 B= A-1 。
如果A 是可逆矩阵，那么 A 的逆是唯一的。这是因为当 B ，C 都是A 的逆时，有
AB=BA=E=AC=CA ，
B=BE=B （AC ）= （BAC=EC=C 。
可逆矩阵的性质：
1 、 =A ；
2 、 如果A 可逆，数λ≠ 0 ，那么 ( A)-1= A-1 ；
3 、 如果A 可逆，那么,A T 也可逆，而且 ( AT )-1=( A-1)T ；
4 、 如果A ，B 皆可逆，那么 AB 也可逆，且(AB) -1=B-1A-1 。
两个n 阶矩阵A 与B 的乘积AB=E 时，一定有BA=E ，从而A ，B 互为逆矩阵。
二、 矩阵的标准形
定义3.2 如果矩阵A 经过有限次行（列）初等变换变为矩阵 B ，就称A 行（列）等价于 B 。如果矩阵A 经过有限次初等变换变为 B ，就称矩阵A 等价于矩阵B ，记为 。
矩阵的行等价（列等价、等价）满足如下定律：
1 自反律 ；
2 对称律 如果 那么 ；
3 传递律 如果 ， ，那么， 。
在数学中，把具有上述三条规律的关系称为等价关系。因此矩阵的等价是一种等价关系。
定义3.3 一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边，同时，没有一个非零行出现在全零行的下方，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。
定理3.2 任何一个矩阵 A 都行等价于一个阶梯形矩阵。
定义3.4 一个阶梯形矩阵，如果它的每一非零行的首元素是 1 ，且首元素所在列的其余元素全是零，就称为简化阶梯形矩阵。
定理3.3 任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵。
定理3.4 任何一个非零矩阵 A ∈Mm × n （F ）可经过有限次初等变换化为下面形似的矩阵： = ,
1 ≤r ≤min(m,n), 它称为矩阵A 的标准形。
因此每个矩阵 A 与它的标准形等价。
推论3.5 任意一个非零矩阵 A ∈Mm × n （F ） ，一定存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使
PAQ= ，
其中 ， 是A 的标准形。
推论3.6 设A ，B ∈Mm × n （F ）,A 与B 等价的充要条件是 AB 有相同的标准形。
三 用行初等变换求逆矩阵
定理3.7 设A 为n 阶矩阵，下列叙述等价：
1 、 A 是可逆阵；
2 、 A 行等价于单位阵 E ；
3 、A 可表示为一些初等矩阵的乘积。
四 矩阵方程
当A 可逆时可用矩阵的逆求解矩阵方程 AX=B 。设A 为n 阶可逆阵，X ∈ Mm × n （F ）, B ∈Mm × n （F ） , 则对AX=B 两边左乘A -1 ，有X= A-1B 。由于A -1 （A ，B ）= （E ，A-1 B ）而 A-1 可表示为一些初等矩阵的乘积，所以把分块矩阵（ A ，B ）进行行初等变换时，在把子块 A 变为E 的同时，子块 B 也就变为 A-1 B ，这就是要求的 X 。当然也可以有 A 先求出A -1 ，再作矩阵乘法 A-1B 。
在解矩阵方程 XA=B 时，则要右乘 A-1 ，既X=B A-1 。或者通过解方程 ATX T = BT 。先求出X T ，然后就可以求出 X 。
另人费解而无法回答的问题
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