一道高中数学数列题

一道高中数学数列题(要有过程,尽量详细点)~

A n+1-B n+1=8 An - 6 Bn -(6 An - 4 Bn )=2(An - Bn)
所以设Cn=An - Bn
那么Cn+1=A n+1-B n+1
所以Cn+1/Cn=2
所以Cn是等差数列，q=2
C1=A1-B1=2
所以Cn=An - Bn=2^n
代如A n+1 = 8 An - 6 Bn
所以 A n+1=8 An - 6 Bn =2An+6*2^n
所以
A n+1 =2An+6*2^n
2A n=2^2An-1+6*2^n-1
2^2An-1=2^3An-2+6*2^n-2
………………
………………
2^n-1A2=2^nA1+6*2^1
然后左右想加得
A n+1=2^nA1+6*(2+4+8+16+……+2^n)
因为A1=1
所以A n+1=2^n+6*(2^n+1 -2)
所以A n=2^n-1+6*2^n-12
而Bn=2^n-1+5*2^n-12
A n等于2的n-1次方+6*2的n次方-12

这道题应该这样做：
_下划线代表下标
a_(n+1)=2*a_n+3变形成为
a_(n+1)+3=2(a_n+3)
可以看出a_n+3是以2为公比的等比数列
首项为a_1+3=2+3=5
所以a_n+3=5*2^(n-1)
a_n=5*2^(n-1)-3 即为{a_n}的通项公式
Sn=1*a_1+2*a_2+...+n*a_n=Sum[i*(5*2^(i-1)-3),{i,1,n}]
然后利用错位相减法得出结果
Sn=5*2(n-2)*(n-1)-3*n*(n+1)/2+5

解：1、首先求an的表达式：
带入n=1，2，3，4，5，6，7，可得a2=3/4,a3=2/3,a4=5/8,a5=3/5,a6=7/12,a8=4/7.
可以发现奇数项的分子是首项为1公差为1的等差数列，分母是首项为1公差为2的等差数列，设k为正整数，则a(2k-1)=k/[1+(k-1)*2]=(1/2)*[1+1/(2k-1)] ----这个变形应该化解没问题吧？
同理发现偶数项的分子是首项为3公差为2的等差数列，分母是首项为4公差为4的等差数列，设k为正整数，则a(2k)=[3+(k-1)*2]/[4+(k-1)*4]=(1/2)*[1+1/(2k)] ----同样的变形化解。
综合起来就是a(n)=(1/2)*(1+1/n)。
当然这个式子是由猜想得来的，以下还要用数学归纳法证明之！（此处略，如有需要欢迎追问。）
2、接下来求cn的表达式：
bn=2/(2an-1)=2/[2*(1/2)*(1+1/n)-1]=2/n。
cn=(根号2)^bn=2^(bn/2)=2^(1/n)
3、以下用反证法证明之！
证明：显然cn是一个递减数列(如有疑问欢迎追问)。所以假设数列cn中存在ci、cj、ck三项可以使得ci、cj、ck构成等差数列，其中i、j、k为大于等于1的正整数，且i<j<k。
则有2cj=ci+ck。
即：2*2^(1/j)=2^(1/i)+2^(1/k)，亦即：2^(1+1/j)=2^(1/i)+2^(1/k)，设p=2^(1+1/j)
所以：p=p*[2^(1/i-1-1/j)+2^(1/k-1-1/j)] -------这个变形没问题吧？
所以2^(1/i-1-1/j)+2^(1/k-1-1/j)]=1
令A=2^(1/i-1-1/j)，B=2^(1/k-1-1/j)]。
若i>1，则k>1，j>1，则1/i-1-1/j<-1/2，1/k-1-1/j<-1/2，则A+B>1/1.414+1/1.414>1.
若i=1，（这个很复杂，还要对j和k继续细分，其中有些情况得出来A+B>1，有些得出来是小于1，但是绝对不会等于1）.
所以得出矛盾，2^(1/i-1-1/j)+2^(1/k-1-1/j)]=1是不成立的，所以元命题成立！

另：这道题可以列入高考题目范围，没有什么地方超标了，涉及到的知识有数列、函数单调性、数学归纳法的证明，反证法的用法等，综合性较强，不过最后一问难度很大，需要证明的第三问都是些经典类型的证明！ 我尝试过用基本不等式缩放，但是缩放证明出来要成立的话有一个前提是i、j、k要成等差数列才可以，所以这个方法行不通···。本题最后一问欢迎高手继续回答！

an=1-1/(4an) 两边同乘以2，之后同时减去1，再取倒有1/(2a(n+1)-1)=1+1/(2an-1)
则有an=（n+1）/(2n)
bn=2n;即cn=2^n
设1<=i<j<k，且为正整数。则有1<=k-j,且为正数。因为c（k)>=c(j+1)=2c（j）,且才c（i）>0,故结论得证

用特征方程求解an，推得cn后，设任意三项cx，cy，cz，再用反证法归谬；这是大概思路
特征方程解an是关键，可以看看这方面竞赛书，高考不要求。这里说清楚很麻烦

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长治县13046006822： 一道高一数学有关数列的题.一个皮球从15m高处落下,每次回弹的高度是上一次的2/3,一个皮球从15m高处落下,每次回弹的高度是上一次的2/3,求皮球到... - ？
幸卖环磷：[答案] 公比小于的等比数列,前n项和随着n增大会趋于一个常数 总路长度就是这个极限 S=a1(1-q^n)/(1-q) 极限就是a1/(1-q) 代入就可知答案

长治县13046006822： 一道关于高中数学等比数列的题已知等比数列{a的第n项}的前n项和Sn=(2^n) - 1,则a1方+a2方+a3方+……+(a的第n项)方=? - ？
幸卖环磷：[答案] n=1 a1=S1=1 n>1 an=Sn-S(n-1)=2^(n-1) 所以an=2^(n-1) an^2=4^(n-1) a1方+a2方+a3方+……+(a的第n项)方=(4^n-1)/3

长治县13046006822： 一道高中数学数列题？
幸卖环磷： 前n项和最大; 则到正项为止,则令An>=0; 则:-1<=n<=11 即0<n<=11; A11=0; 所以前10项和与前11项和最大. 希望采纳

长治县13046006822： 一道高中数列题？
幸卖环磷： (y-z),y(z-x),z(y-x)组成等比数列, q^2=z(y-x)/x(y-z)=z(y-x)/x(y-z) q^2-1=z(y-x)/x(y-z)-1=y(z-x)/x(y-z) 显然题目的意思不必求q的数值,只需要求q^2-1与q的关系 q=y(z-x)/x(y-z), 所以 q^2-1=q q^2-q-1=0,答案选A

长治县13046006822： 一道简单的高中数学数列题？
幸卖环磷： 首先公差肯定为正数 第10项开始为正数 说明a9≤0,a10>0 那么就是-24+8d≤0 -24+9d>0 解得8/3<d≤3

长治县13046006822： 一道高中数列题 - ？
幸卖环磷： 解:(1)(a2+a4)/(a1+a3)=(a1q+a3q)/(a1+a3)=q(a1+a3)/(a1+a3)=q=10/5=2a1+a3=5a1+a1q²=5a1=5/(1+q²)q=2代入a1=5/(1+2²)=1an=a1qⁿ⁻¹=1·2...

长治县13046006822： 一道高中数学的数列题？
幸卖环磷： √S1=√a1√Sn=√a1+(n-1)d Sn=a1+(n-1)²d²+2√a1(n-1)d S(n-1)=a1+(n-2)²d²+2√a1(n-2)d Sn-S(n-1)=an=d²(2n-3)+2d√a1 a1=-d²+2d√a1 (√a1-d)²=0 a1=d² an=d²(2n-1) (2)Sn=d²n² Sm=d²m² ∴Sn+Sm=d²(m²+n²) Sk=d²k² ∵m+n=3k ∴9k²=m²+n²+2mn>4mn Sn+Sm=d²(m²+n²)>d²2mn Sk=d²k²>4mn/9 Sm+Sn>cSk d²2mn>c4mnd²/9 9/2≥c ∴cmax=9/2

长治县13046006822： 一道高中数列题目？
幸卖环磷： 每两项放一起等于-3-7-11-15-19…-(4n-1)是以-3为首相,公差为-4的等差数列. 要分n为偶数时是什么情况,为奇数时又是什么情况. 1.当n为偶数时最后一项是-(2n-1)s=-(2n+2)n/4 2.当n为奇数时倒数第二项是-(2n-3),最后一项是n平方 s=-(2n)(n-1)/2+(n平方)

长治县13046006822： 一道高中数列题？
幸卖环磷： ∵An﹢₁Sn﹣₁-AnSn=0 ∴An﹢1Sn-₁=AnSn ∴(Sn+1-Sn)Sn-1=(Sn-Sn-1)Sn ∴Sn+1Sn-1=Sn² ∴数列{Sn}是一个等比数列 当n=2时有: S₃S₁=S₂² ∵A₁=1,A₃=3 ∴3=(1+A₂)² ∴A₂=-(1+√13)/2 或 A₂=-(1-√13)/2 当A₂=-(1+√13...

长治县13046006822： 一道高中数列题？
幸卖环磷： [S(n+1)-a(n+1)]+Sn=2a(n+1) 2Sn=2a(n+1) Sn=a(n+1) 所以:S(n-1)=an Sn-S(n-1)=a(n+1)-an an=a(n+1)-an a(n+1)=2an 所以:an为等比数列,q=2 an=a1*q^(n-1)=2^n Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)=2(2^n-1)