在空间直角坐标系中，如何证明4个点在同一平面内

在空间直角坐标系中，如何证明4个点在同一平面内~

用向量证明四点共面
由n+m+t=1
,
得
t=1-n-m
,代入op=nox+
moy
+toz，
得
OP=n
OX
+mOY
+(1-n-m)OZ,
整理，得
OP-OZ
=n(OX-OZ)
+m(OY-OZ)
即ZP
=nZX
+mZY
即P、X、Y、Z
四点共面。
以上是充要条件。
2
如和通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面
A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。
如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行
如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。答案补充
三点一定共面,证第四点在该平面内
用向量,另取一点O
如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1
则有四点共面
答案补充
方法已经很详细了呀。4线平行线:
两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点
面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向量和平面法向量数量积为0
，且线不在平面内
三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC三点，证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0
四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD数量积为0
3
怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面
简明地证明，网上的不具体，不要复制!
证明：由x+y+z=1→x向量OC
+
y向量OC
+
z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP
将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)
即：向量CP=x向量CA+y向量CB
由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。
故：A，B，C，P四点共面。
4
可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直线外一点可以确定1个平面)
不防设
A
B
C
三点共面
只需证明P点在这个平面上即可
以下向量符号省去
证明：
PA=BA-BP
=OA-OB-(OP-OB)
=OA-OP
=OA-(a
向量OA+b向量OB+c向量OC
)
=(1-a)OA-bOB-cOC
=(b+c)OA-bOB-cOC
=bBA+cCA
到这里
因为ABC已经确定了一个平面
且
PA=bBA+cCA
所以PA平行平面
又A在平面内
所以P点也在该平面内
所以四点共面

已知空间直角坐标系内ABCD四点坐标，判断他们是否共面，A（2,3,1）；B（4,1，-2）；
C（6,3,7）；D(6,3,7)。
解：过其中任意三点作一平面，再看第四点是否在此平面上；若在，则四点共面；若不在，则
四点不共面。
设过A，B，C三点的平面方程依次为：
A(x-2)+B(y-3)+C(z-1)=0............(1)
A(x-4)+B(y-1)+C(z+2)=0...........(2)
A(x-6)+B(y-3)+C(z-7)=0............(3)
将三式展开，把不含x，y，z的项移至右边，便得：
2A+3B+C=4A+B-2C=6A+3B+7C=-D
于是得：
2A-2B-3C=0...........................(4)
4A+6C=0，即2A+3C=0..........(5)
(4)+(5)得4A-2B=0，故2A=B=-3C，取C=-2，则B=6，A=3，D=-(6+18-2)=-22，
于是得过A，B，C三点的平面方程为：
3x+6y-2z-22=0...............(6)
将D(6，3，7)的坐标代入得：18+18-14-22=0，故D在平面(6)上，∴A，B，C，D，四点共面。

用向量证明四点共面
由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz， 得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理，得
OP-OZ =n(OX-OZ) +m(OY-OZ)
即ZP =nZX +mZY
即P、X、Y、Z 四点共面。
以上是充要条件。
2
如和通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面
A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。 如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行 如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。答案补充 三点一定共面,证第四点在该平面内 用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 则有四点共面 答案补充 方法已经很详细了呀。4线平行线: 两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点
面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ，且线不在平面内
三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC三点，证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0
四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD数量积为0
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怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面
简明地证明，网上的不具体，不要复制!
证明：由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP
将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)
即：向量CP=x向量CA+y向量CB
由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。
故：A，B，C，P四点共面。
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可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直线外一点可以确定1个平面) 不防设 A B C 三点共面 只需证明P点在这个平面上即可 以下向量符号省去
证明： PA=BA-BP
=OA-OB-(OP-OB)
=OA-OP
=OA-(a 向量OA+b向量OB+c向量OC )
=(1-a)OA-bOB-cOC
=(b+c)OA-bOB-cOC
=bBA+cCA
到这里 因为ABC已经确定了一个平面 且 PA=bBA+cCA
所以PA平行平面 又A在平面内 所以P点也在该平面内
所以四点共面

有平行就证没平行就证有公共交点。

只要证两条线平行即可

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九台市18731978599： 在空间直角坐标系中,如何证明4个点在同一平面内 - ？
拱奇盐酸：[答案] 用向量证明四点共面 由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz, 得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理,得 OP-OZ =n(OX-OZ) +m(OY-OZ) 即ZP =nZX +mZY 即P、X、Y、Z 四点共面. 以上是充要条件. 2 如和通过四点...

九台市18731978599： 立体几何中如何用坐标法求四点共面,和法向量的求法 - ？
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九台市18731978599： 怎样判断在空间上的几个点是否共面,比如在正方体中任意不同面上的4个点 - ？
拱奇盐酸： 首先,要有一个讨论问题的前提,我把问题规范为“已知空间中任意四个不同点,判断它们是否共面?”.其次,建立直角坐标系,则四个不同点的坐标即为已知点A1(x1,y1,z1)、A2(x2,y2,z2)、A3(x3,y3,z3)、A4(x4,y4,z4).第三,利用向量知识...

九台市18731978599： 有没有可能,在空间直角坐标系中知道4个点,直接求出这四个点所在的球的秋心?这样就可以秒解球的题了 - ？
拱奇盐酸： 这四点需要不在同一平面上,理论上可以解题.但是,如果题主是高中生的话,恐怕目前还没办法借助工具解题,应为高中本身学的就是立体几何和解析几何.如果是本科以上的话,应该可以试一试用MATLAB编写一个程序,通过计算机程序作为工具,输入所知的点,利用计算机拟合函数,获得球心.

九台市18731978599： 在直角坐标系下?如何判断一点在一个四面体的内部?四面体四个顶点和需要判断的点的坐标已知 - ？
拱奇盐酸： 与平面解析几何判断点在直线上方或者下方一样.空间坐标系.三元一次方程表示平面,同侧同号,所以可以一个一个判断点在平面的哪一侧,再综合,即可知道是否在四面体内部.

九台市18731978599： 空间直角坐标系中如何确定三点共线在空间直角坐标系中,已知A( - 1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),求证:A,B,C在同一条直线上 - ？
拱奇盐酸：[答案] 计算向量AB=(3,4,2),计算向量BC=(3,4,2),由于向量代表了两个点构成的直线的指向(即斜率),这两个向量平行,又有公共点B,所以三个点共线.

九台市18731978599： 求空间四边形的面积——注意!是在空间直角坐标系里的四边形的面积,已知空间共面四点的坐标,如何求出它们围成的凸四边形的面积——说明:我们的假... - ？
拱奇盐酸：[答案] 先把它分成两个平面三角形,然后用向量求面积. 懂吗?用向量a1的模*向量a2的模再乘以sin夹角*1/2,另一个也一样 向量的模就是距离,空间两点的距离总会求吧. 夹角cos=向量a1a2的点积除以他们的模的乘积.

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拱奇盐酸：[答案] 由这几个点可知,该正方体中心在O点 棱长2a 在看这几个点,这不是立体几何体,而是排列组合体 不就是+ - a 么 我来排一下 (-a,a,a)(a,-a,a)(a,a,-a)(-a,-a,a)(-a,a,-a)(a,-a,-a)(-a,-a,-a)(a,a,a) 你自己对一下吧

九台市18731978599： 在空间直角坐标系中,已知两点坐标,怎样求出中点坐标,并证明 - ？
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