离散数学：证明3阶群必是循环群
证明
由拉格郎日定理可知,四阶群的元素的阶一定能整除群的阶4,故四阶群的元素的阶只能是1(幺元是唯一的1阶元),2,4,如果有一个元是4阶元,则该元自乘能生成群的所有元素,此时它是循环群,这个4阶元素是该循环群的生成元,否则如果除幺元外,所有的元均是2阶元,则此时该群正是4阶klein群.
显然群，单位元是1
而且2是生成元，因为
2¹=2
2²=2#2=4,
2³=2#2#2=8，类似地，求出2的其他幂：
2⁴=3
2⁵=6
2⁶=12
2⁷=11
2⁸=9
2⁹=5
2¹⁰=10
2¹¹=7
2¹²=2⁰=1
从而是循环群。
注意，2⁵=6，2⁷=11，2¹¹=7，也是的生成元
设该群为G，则1∈G，令a∈G且a≠1，则由于ord(a) | ord(G)=3且ord(a)≠1，故ord(a)=3,因此G={1，a，a^2}，G为循环群。
证明在同构意义下4阶群仅有两种：
设该群为G，因为ord(G)=4=2*2=4*1，所以任取a∈G且a≠1，必有ord(a)=2或4。
若ord(a)=4，则G=<a>；若ord(a)=2，则存在b≠a且b≠1，使得b∈G，又由ab、ba∈G可推得ab=ba，因此G=(1,a,b,ab)，即G=<a,b>。在同构意义下4阶群就这两种：含有一个四阶元素或两个两阶元素。
希望你能理解。
离散数学-代数结构问题 求6阶循环群{e,a,a2,…,a5}的各阶子群。 越详细...
首先，子群的阶是6的约数：1,2,3,6 其次，1阶子群H1的生成元是a^6（a的6次方）＝e，所以H1={e}。2阶子群H2的生成元是a^3，所以H2={e,a^3}。3阶子群H3的生成元是a^2，所以H3={e,a^2,a^4}。6阶子群H4的生成元是a，所以H4就是原来的群本身{e,a,a^2,a^3,a^4,a5}。
离散数学笔记(7.2)循环群与置换群
二、置换群定义：置换群是有限集合到自身的双射函数集合，构成群结构。对称群是特定阶数的置换群，而变换群则是满足特定性质的一一变换集合构成的群。轮换与对换是特殊形式的置换，轮换涉及多个元素的循环变换，而对换则是两个元素的互换。例2：在5元素集上，一个5阶置换可以表示为一个3阶轮换。
离散数学关于循环群的问题
这样生成的循环群还是。2、群的阶指的是元素的个数。n阶群的子群H的阶r一定是n的因子。<12>=<0>={0}里面只有一个元素，自然是1阶子群了。3、群G的子群有两个特殊的，一个是1阶子群{e}，一个包含所有元素的自身G，这两个称为平凡子群。G=是15阶循环群，子群不就是G自身嘛，貌似这个地方...
◆◆离散数学题--证明:阶不小于 3 的简单连通图至少有 2 个点不是割...
易知悬挂顶点不是割点，设G为n阶无向连通图，则在G的任何两个不同顶点之间加一条新边，所得n阶图G'的割点数小于等于G中割点数。因为G连通，故G有生成树，设T为G中一棵生成树，由于n>=2，所以T至少有两片树叶，从而T中至少有两个顶点不是割点，当增加边将树还原成G时，也至少有两个点不...
离散数学中,给定一个群或半群,如何判断是否是同构同态
。。是两个吧 查阶是否相同。查是否一个群有n个N阶元素，而另一个只有m个N阶元素。则不同构。通常查2阶的个数最显著。比如Klein有3个二阶，Z4只有两个2阶因此不同构 都ok基本就同构。试着定义个双射使f(x*y)=f(x)of(y)，*和o分别是两个群的运算。
离散数学 代人求解 急!
3设f（x）=x+1，g（x）=x-1 都是从实数集合R到R的函数，则 F。g=( D)A x+1 B x-1 C x的平方 D x，该题问法不对，应问F。g(x)=()判断 m，n分别为边数和顶点数 1。11条边的图G中，所有顶点的度数之和为22. √,对 2。3阶无向树T至少1片树叶。√,对 3。11阶...
离散数学关于群的问题
如果群中只有一个元素，则这个元素即是幺元也是零元，其逆元也是本身。所以上面的结论应该是：元素个数大于1的群中无零元
证明偶数阶群必含2阶元。(离散数学)
因为该群的阶是偶数，从而它一定有阶为2 的元素。关于偶数和奇数，有下面的性质：（1）两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数与奇数的和或差是偶数；偶数与奇数的和或差是奇数；任意多个偶数的和都是偶数；单数个奇数的和是奇数；双数个奇数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的和或差...
一道离散数学 群元素阶的简单问题,求助。
诚如你所言：元素的K次方和普通数学中的a的k次方是类似的，关键是要和运算结合起来考虑：当然并非所有元素都有阶 ，但都有逆，其实质是 若a^-1=a^(k-1)， 则a的阶为k 在复数域(当然是群）中， 对乘法而言，单位元是1，（-1）^2=1,-1的阶是2；i^4=1,i的阶为4；【（1+i)\/...
离散数学:证明:(H,。)和(K,。)是群(G,。)的两个r阶和s阶子群,且r和s...
（证明：H,K是G的非空子群，所以e∈H且k∈K，所以e∈H∩K。H∩K是H的子集，也是K的子集。任取a,b∈H∩K，则a,b∈H且a,b∈K，因为H,K是G的子群，所以a(b逆)∈H且a(b逆)∈K，所以a(b逆)∈H∩K。所以H∩K是H的子群，也是K的子群。）其次，根据拉格朗日定理，子群H∩K的阶t...
潜融匹服：[答案] 证明3阶群必是循环群:设该群为G,则1∈G,令a∈G且a≠1,则由于ord(a) | ord(G)=3且ord(a)≠1,故ord(a)=3,因此G={1,a,a^2},G为循环群.证明在同构意义下4阶群仅有两种:设该群为G,因为ord(G)=4=2*2=4*1,所以任取a∈G且a...
大英县15058797478： 证明只有一个三阶群 - ？
潜融匹服： 素数阶的群只能是循环群,所以三阶群只能是三阶循环群,即{0,1,2}.
大英县15058797478： 如何证明三阶群是阿贝尔群? - ？
潜融匹服： 群中元素的阶必是群的阶的因子.而3是一个质数,因此3阶群中除单位元外,其余元素均是3阶元,所以3阶群只有一种类型,就是循环群,当然是可交换群(阿贝尔群).
大英县15058797478： 如何证明:阶的素数的群一定是循环群啊? - ？
潜融匹服：[答案] 设p为素数,|G|=p,由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,a的阶要么是1要么是p,若a≠1,则a的阶=p,如此a^p=1且a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G,又因为|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)},这就证明了G是循环群.
大英县15058797478： 证明阶为素数的群必是循环群 - ？
潜融匹服： 原发布者:想想12345时代1.证明:阶是素数的群是循环群.分析:证明一个群是循环群的思路有三种:(1)利用循环群的定义证明群中每一个元都能表示为群中同一个元的方幂;(2)利用同构的思想,先构造一个恰当的循环群,再证明它和...
大英县15058797478： 如何证明素数阶群一定是循环群?要用群的相关知识来证明. - ？
潜融匹服：[答案] 群的阶能被子群的阶整除,所以,考虑任何元素生成的循环群,个数要么是1,要么等于该素数,所以.
大英县15058797478： 离散数学:证明四阶群g必为循环群或klein群 - ？
潜融匹服： 证明 由拉格郎日定理可知,四阶群的元素的阶一定能整除群的阶4,故四阶群的元素的阶只能是1(幺元是唯一的1阶元),2,4,如果有一个元是4阶元,则该元自乘能生成群的所有元素,此时它是循环群,这个4阶元素是该循环群的生成元,否则如果除幺元外,所有的元均是2阶元,则此时该群正是4阶klein群.
大英县15058797478： 离散数学中关于群的证明题? - ？
潜融匹服： 好多都忘了. (1)设G为n阶群. (2)因为p是素数,所以G的子群只有{e}和G本身. 任取非幺元a属于G,考虑a的生成群<a>,显然<a>是G的子群,且<a>不等于{e},所以<a>=G,这说明G是循环群.
大英县15058797478： 证明阶为素数的群必是循环群 - ？
潜融匹服：[答案] 设群(G,*)的阶是素数p,a不是G的单位元,若a的阶是m,则m>1,H={ar | r属于Z}是关于*的一个m阶循环子群,又m是p的因数,但素数p只有p 和1,m又不等于1,故m=p,所以(G, *)是一个循环群
大英县15058797478： 求助几道离散数学题目(答得好加分) - ？
潜融匹服： 1、确实构成循环群——事实上 i^0=1, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1(-i)^0=1, (-i)^2=-1, (-i)^3=i, (-i)^4=1 但1^2=(-1)^2=1,故i与-i为生成元,而1与-1不是生成元2、(周期是指什么呢?一个置换的周期为k是不是指这个置换的k次方是单位元而m(m<k)次方时不...
