数列{an}的各项都为正数,前n项和为Sn,an=2√Sn-1,数列b1,b2-b1……,bn-bn-1是首项为1,公比为1/2的
a(n)=2[s(n)]^(1/2)-1,
a(1)=2[s(1)]^(1/2)-1=2[a(1)]^(1/2)-1,
0={[a(1)]^(1/2)-1}^2,
1=[a(1)]^(1/2), 1=a(1)=s(1).
a(n+1)=s(n+1)-s(n)=2[s(n+1)]^(1/2)-1,
{[s(n+1)]^(1/2)-1}^2=s(n)
因a(n)>0,故s(n)>0.
又,a(1)=1,所以, s(n)>=s(1)=a(1)=1. [s(n)]^(1/2) - 1 >=0.
[s(n+1)]^(1/2) - 1 = [s(n)]^(1/2),
[s(n+1)]^(1/2) - [s(n)]^(1/2) = 1.
{[s(n)]^(1/2)}是首项为[s(1)]^(1/2)=1,公差为1的等差数列.
[s(n)]^(1/2)=1+(n-1)=n
a(n)=2[s(n)]^(1/2) - 1 = 2n-1 = 1+2(n-1).
{a(n)}是首项为1,公差为2的等差数列.
b(1)=1,
b(n+1)-b(n)=(1/2)^n
b(n+1)=b(1)+[b(2)-b(1)]+[b(3)-b(2)]+...+[b(n)-b(n-1)]+[b(n+1)-b(n)]=1+(1/2)+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1)+(1/2)^n=[1-(1/2)^(n+1)]/[1-1/2]=2[1-(1/2)^(n+1)],
b(n)=2[1-(1/2)^n].
c(n)=a(n)b(n)=(4n-2)[1-(1/2)^n]=(4n-2)-(2n-1)/2^(n-1)
T(n)=c(1)+c(2)+...+c(n-1)+c(n)=4n(n+1)/2-2n - D(n)
D(n)=(2-1)/1 + (2*2-1)/2 + (2*3-1)/2^2 + ... + [2(n-1)-1]/2^(n-2) + [2n-1]/2^(n-1)
2D(n)=(4-2)/1 + (2*2-1)/1 + (2*3-1)/2 + ... + [2(n-1)-1]/2^(n-3) + [2n-1]/2^(n-2),
D(n)=2D(n)-D(n)=(4-2)/1 + 2/1 + 2/2 + ... + 2/2^(n-3) + 2/2^(n-2) - (2n-1)/2^(n-1)
=2 + 2[1+1/2+...+(1/2)^(n-2)] - (2n-1)/2^(n-1)
=2+2[1-(1/2)^(n-1)]/[1-1/2] - (2n-1)/2^(n-1)
=2+4[1-(1/2)^(n-1)] - (2n-1)/2^(n-1)
=6 - (2n+3)/2^(n-1),
T(n)=4n(n+1)/2 - 2n - D(n)
=2n(n+1)-2n - 6 +(2n+3)/2^(n-1)
=2n^2 - 6 + (2n+3)/2^(n-1)
LZ答案有误吧,T(1)=a(1)b(1)=1,但(1)^2 + 2 - (4+1)/2^(1+1) = 3-5/4不等于1哈.
Sn=2-1/2^(n-1)
S(n-1)=2-1/2^(n-2)
n>1时,
an=Sn-S(n-1)=1/2^(n-1)
当n=1 a1=S1=1符合an的通项公式
∴an=1/2^(n-1)
b1=a1=1,
d=b2-b1=a1/a2=1/(1/2)=2
所以,bn=1+2(n-1)=2n-1
(2)cn=(2n-1)/(1/2^(n-1))=(2n-1)*2^(n-1)=1/2*(2n-1)*2^n
错位相减法:
Tn=1/2*1*2+1/2*3*2^2+....+1/2*(2n-1)*2^n
2Tn=1/2*1*2^2+1/2*3*2^3+...+1/2(2n-1)*2^(n+1)
Tn-2Tn=1+1/2[2*2^2+2*2^3+...+2*2^n]-1/2(2n-1)*2^(n+1)
=1+4*(1-2^(n-1))/(1-2)-1/2(2n-1)2^(n-1)
=1+4*2^(n-1)-4-1/4(2n-1)2^n
即Tn=7-2*2^n+1/4(2n-1)2^n
因为an=2√Sn-1
所以:Sn=(an-1)²/4,a1=s1=2√s1-1 a1=1
an=Sn-S(n-1)=(an-1)²/4-[a(n-1)-1]²/4
整理得:an²-2an-[a(n-1)]²-2a(n-1)=0
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2)=0
因为数列{an}各项都为正,所以an+a(n-1)>0
所以:an-a(n-1)-2=0
所以:an-a(n-1)=2
所以数列{an}是以首项为1,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n-1。
2、数列{bn-b(n-1)}=b1×q^(n-1)=1/2^(n-1)
b1=1
b2-b1=1/2
b3-b2=1/4
..........
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
左右相加得:
bn=1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)
=1/2(1-1/2^n)
cn=anbn=(2n-1)(1-1/2^n)/2
=1/2^(n-1)-n/2^n+n-1/2
Tn={1/1+1/2+1/2^2+.....+1/2^(n-1)}+{1/2+2/2^2+3/2^3+....+n/2^n}+{1+2+3+....+n}-n/2
=1/2-1/2^(n-1)+n(n+1)/2-n/2+{1/2+2/2^2+3/2^3+....+n/2^n}
Tn/2=1/4-1/2^n+n(n+1)/4-n/4 +{ 1/2^2+2/2^3+....+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)}
Tn-Tn/2=1/2-1/2^n+n(n+1)/4-n/4+{1/2+1/2^2+1/2^3+....+1/2^n-n/2^(n+1)}
Tn/2=1/2-1/2^n+n(n+1)/4-n/4+1-1/2^n-n/2^(n+1)
Tn=3-1/2^(n-2)+n(n+1)/2-n/2-n/2^n
解:1、an=2√Sn-1 令n=1得a1=2√a1-1 解得a1=1
又an=Sn-S(n-1)=2√Sn-1 变形得Sn-2Sn+1=S(n-1)
即(√Sn-1)^2=(√S(n-1))^2 则√Sn-1=√S(n-1) 即√Sn-√S(n-1) =1
故{√Sn}是首项为√S1=1公差为1的等差数列
则√Sn=n 故Sn=n^2 则an=2n-1 显然{an}是等差数列
2、因为bn-bn-1是首项为1,公比为1/2的等比数列
故bn-bn-1=1/2^(n-1)
运用叠加法得bn=2-2/2^n
再用分组求和及错位相减法求cn即可
自己算吧!
已知数列{an}的各项均为正数,且a1=1,当n≥2时,都有an=an-1+2n...
an-an-1=2×n-1 各式相加得an-a1=2(2+3+…+n)-(n-1),∴an-a1=2×(n-1)(2+n)2-(n-1)∴an=n2.又当n=1时,a1=1满足上式,故an=n2.(Ⅱ)证明:Tn=1+122+132+…+1n2<1+11×2+12×3+…+1(n-1)×n =1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n<2.(Ⅲ)解...
设收敛数列{An}的每一项都是整数,问:该数列有什么特殊性质?
是对的,不过可以进一步,因为An都是整数。可以得了 存在N,n>N时 An=a 就是说,除了有限个之外,An全部等于a 。。。
已知数列{an}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+...
+an3(n∈N*).从而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13.(7分)两式相减,结合an+1≠0,得2Sn=an+12?an+1.(8分)当n=1时,由(1)知a1=1;当n≥2时,2an=2(Sn-Sn-1)=(an+12?an+1)?(
若数列{an}的每一项都不等于零,且对于任意的n∈N*,都有an+2an=q(q为...
解答:(1)证明:因为bn?bn+1=-9×28-n,所以bn+1?bn+2=-9×27-n,所以bn+2bn=12,所以,数列{bn}是“类等比数列”. …(4分)(2)解:由b1=b,b1?b2=-9×27,得b2=-9×27b …(5分)所以bn=b×(12)n?1,(n是奇数)?9×27b×(12)n?2,(n是偶数)…(7分)因为{...
已知数列an的各项均为正数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+...+an...
2Sn+1=an+1^2+an+1 令n=0,得 2S1=a1^2+a1 因为S1=a1 所以可以解得a1=1或a1=0,对因an各项为正,所以a1=1 由2Sn+1=an+1^2+an+1 可得2Sn=an^2+an 两式相减得 2an+1=an+1^2+an+1-an^2-an an+1^2-an^2 = an+1+an (an+1+an)(an+1-an)=an+1+an 所...
设收敛数列{An}的每一项都是整数,问:该数列有什么特殊性质?
这个数列从某一项起是常数列 因为数列收敛,所以对任意的0<d<1 存在一实数N 使对任意的n>N 都有 |A(n)-a|<d<1 => a-1<A(n)N),而它的极限也必然只能是常数。而你写的性质也不正确,只要一对照上面的这条,就明白了。
在各项都是正数的等比数列{an}中,a1=3,a1+a2+a3=21,则a4+a..._百度...
a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=21,进而得到公比,再结合a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3)即可得到答案.【解析】由题意可得:数列{an}是各项都是正数的等比数列,所以a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=21,因为a1=3,所以q=2.又因为a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3)=168.故选B.
若在所给条件下,数列{an}的每一项的值都能唯一确定,则称该数列是“确...
即{an}的每一项都是确定的.∴③对.④{an}是等比数列,S1=2,a3=a1?q2=2∴q2=1∴q=±1∴{an}的各项是不确定的∴④不对.⑤{an}满足Sn=2an∴a1=2a1∴a1=0 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1 ∴an=2an-1,∴an=0.∴⑤对故答案为:①②③⑤ ...
设数列{an}各项均为正数,对任意n属于正整数,都有:a1^3+a2^3+…an-1...
a1^3+a2^3+…an-1^3+an^3=Sn²那么也有 a1^3+a2^3+…an-1^3+a(n-1)^3=S(n-1) ²两式相减得 an^3=Sn ²-S(n-1) ²=[Sn+S(n-1)][Sn-S(n-1)]而 S(n-1)=Sn-an 所以有 an³=(2Sn-an)·an an为正数 约去an 得 an...
怎么判断数列的单调性
(2)一个数列,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列。(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫作摆动数列。(4)如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列。
丁性吡罗:[答案] an,sn,an^2成等差数列,则 2sn=an^2+an 那么2s(n-1)=a(n-1)^2+a(n-1) 俩式相减: 2sn-2s(n-1)=an^2+an-a(n-1)^2-a(n-1) 而an=sn-s(n-1) 所以, 2an=an^2+an-a(n-1)^2-a(n-1) 化简得:[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0 显然,因为an的各项均为正数.所以an+...
武侯区17055442151: 设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为sn,已知对任意n,sn是an的平方和an的等差设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的n∈N+,am... - ?
丁性吡罗:[答案] (1) (an+2)/2=根号下2Sn 所以8Sn=(an+2)^2 n=1,S1=a1.8a1=(a1+2)^2,得a1=2 n=2,8S2=(a2+2)^2,8(a1+a2)=(a2+2)^2,得a2=6 n=3,8S3=(a1+2)^2,8(a1+a2+a3)=(a3+2)^2,得a3=10 (2) 8Sn=(an+2)^2 当n≥2时,8S(n-1)=[a(n-1)+2]^2 两式相减得8an=...
武侯区17055442151: 已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=an(an+1)2(n∈N*)(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=12Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn. - ?
丁性吡罗:[答案] (Ⅰ)∵Sn=an(an+1)2,∴2Sn=an2+an,①2Sn-1=an-12+an-1 (a≥2),②由①-②得:2an=an2-an-12+an-an-1,(2分) (an+an-1)(an-an-1-1)=0,∵an>0,∴an-an-1=1  ...
武侯区17055442151: 已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn且Sn=an(an 1)/2 求数列an是等差数列 - ?
丁性吡罗:[答案] 由题意 2an=Sn+1/2 Sn=2an-1/2 n=1时,S1=a1 a1=2a1-1/2 a1=1/2 S(n+1)-Sn=a(n+1) 2a(n+1)-1/2-[2an-1/2]=a(n+1) a(n+1)=2an 因此{an}是等比数列,首项1/2,公比2 an=(1/2)*2^(n-1) =2^(n-2) Sn,an,1/2成等差数列 2an=1/2+Sn 2an-1=1/2+Sn-1 2a1...
武侯区17055442151: 各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,a1=2,(an - 2)²=8S(n - 1) (n>=2)证明an是等差数列并求通项公式 - ?
丁性吡罗:[答案] (an-2)²=8S(n-1) (an+1-2)^2=8Sn 相减 (an+1-2)^2-(an-2)²=8an an+1^2-4an+1-an^2+4an=8an (an+1^2-an^2)=4an+1+4an (an+1+an)(an+1-an)=4(an+1+an) 因为各项均为正数,所以an+1+an>0 所以 an+1-an=4 所以{an}为等差数列,公差d=4,...
武侯区17055442151: 已知各项均为正数的等比数列{An}的前n项和为Sn,A1=3,S3=39,求数列{An}的通项公式? - ?
丁性吡罗:[答案] A1=3, S3=39 s3=a1+a2+a3=3(1+q+q^2)=39 q^2+q-12=0 q=3 ,q=-4(舍去) an=3^n
武侯区17055442151: 已知数列{an} 的各项均为正数,Sn 是数列 {an}的前 n项和,且4Sn=an^2+2an - 3 - ?
丁性吡罗: ^^1) 4Sn=an^2+2an-3 4S1=a1^2+2a1-3 a1=14Sn-1=an-1^2+2an-1-34an=an^2-an-1^2+2an-2an-1an^2-an-1^2-2an-2an-1=0(an+an-1)(an-an-1-2)=0an=an-1+2 an=1+(n-1)*2=2n-1 2) Tn=2+3*2^2+........+(2n-1)2^n2Tn=2^2+3*2^3+......+(2n-...
武侯区17055442151: 设数列{an}是各项均为正数的数列,前n项和为Sn,若数列{an},{根号Sn}都是首项为1的等差数数列,求{an}的通项公式 - ?
丁性吡罗:[答案] Sn=na1+n(n-1)d/2 a1=1 sn=n(2+dn-d)/2 根号Sn是首项为1的等差数 则2-d=0 d=2 an=2n-1
武侯区17055442151: 已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,点(an,Sn)在曲线(x+1)2=4y上.求{an}的通项公式 - ?
丁性吡罗:[答案] 点(an,Sn)在曲线(x+1)2=4y上 4Sn=(an+1)^2 4S[n-1]=(a[n-1]+1)^2 相减 4an=an^2-a[n-1]^2+2an-2a[n-1] 2{an-a[n-1]}=(an+a[n-1])(an-a[n-1]) 正数 an-a[n-1]=2 等差数列 d=2 a1=1 an=2n-1
武侯区17055442151: 数列{an}各项均为正数,前n项和为Sn,首项为a1,且1/2,an,sn成等差数列,若an²=(1/2)^bn,设Cn=bn/an,那么{Cn}的前n项和为? - ?
丁性吡罗:[答案] 仅供参考: 1/2,an,sn成等差数列 ∴1/2+Sn=2an an=Sn-S(n-1) 1/2+Sn=2Sn-2S(n-1) Sn=2S(n-1)+1/2 Sn+1/2=2(S(n-1)+1/2) {Sn+1/2}是等比数列 ∴Sn+1/2=2^(n-1)(S1+1/2) 1/2+S1=2a1 则a1=1/2 Sn=2^(n-1)-1/2 an=Sn-S(n-1)=2^(n-1)-2^(n-2)=2^(n-2) ...