设f(x)在(－∞,＋∞)内可导，证明:
答：构造函数，求导，利用单调性证明 过程如下图：
1). f(x)为偶函数 －＞ f(x) = f( -x )
因f(x)在(－∞,＋∞)内可导，两边同时求导得：
f'(x)=-f'(-x)，
f'(-x)=-f'(-(-x))
即：f'(－x)为奇函数。
2). f(x)为奇函数 －＞ f(x) = －f( -x )
因f(x)在(－∞,＋∞)内可导，两边同时求导得：
f'(x)=f'(-x)，
f'(-x)=f'(-(-x))
即：f'(－x)为偶函数。
注：
f(x)为偶函数 ＜＝＞ f(x) = f( -x )
f(x)为奇函数 ＜＝＞ f(x) = －f( -x )
看清楚题目好忙？这是个证明题，你直接把结论拿出来证明结论不可能算对的。
这个题应该从导数和奇偶函数的概念入手解决
（1）因为f(x)在(－∞,＋∞)内可导
所以设g(x)=f'(x)
g(x)=f'(x)=lim[f(x+dx)-f(x)]/dx
g(-x)=f'(-x)=lim[f(-x+dx)-f(-x)]/dx
由题意可知，f（x）为偶函数
所以f（x）=f（-x）
＝＞lim[f(-x+dx)-f(-x)]/dx =lim[f(x-dx)-f(x)]/dx
由于f(x)在(－∞,＋∞)内可导，又由可导的定义我们知道：其左右导数相等。
＝＞lim[f(x-dx)-f(x)]/(-dx) =lim[f(x)-f(x-dx）]/dx
=-lim[f(x+dx)-f(x)]/dx
所以g(-x)= -lim[f(x+dx)-f(x)]/dx
再由g(x)= lim[f(x+dx)-f(x)]/dx
不难看出g(x)=-g（-x）
所以g（x）为奇函数
所以f'(－x)为奇函数。
原题得证
第二问也是一样的证法就把符号换一下就OK了~~
v
f(x)在(-∞,+∞)单调递增吗
单调递增区间：(-∞,+∞)。因为√1+x^2>√x²=|x|,所以对任意实数x,都有x+√(1+x²)>0 ∴定义域是(-∞,+∞)函数在(-∞,+∞)上单增的.设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2 [x1+√(1+x1²)]-[x2+√(1+x2²)]=(x1-x2)+(x1+x2)(x1-x2)\/[√...
设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,在x=0的某邻域有界,a>1,b>1,,对任意x有f...
如图。
设f(x)在(-∞,+∞)内可导,证明:
证：1). f(x)为偶函数 －＞ f(x) = f( -x )因f(x)在(－∞,＋∞)内可导，两边同时求导得：f'(x)=-f'(-x)，f'(-x)=-f'(-(-x))即：f'(－x)为奇函数。2). f(x)为奇函数 －＞ f(x) = －f( -x )因f(x)在(－∞,＋∞)内可导，两边同时求导得：f'(x)=f'(...
证明,若f(x)在(-∞,+∞)内连续,且极限x趋∞时f(x)存在,则f(x)必在...
证明,若f(x)在(-∞,+∞)内连续,且极限x趋∞时f(x)存在,则f(x)必在(-∞,+∞)内 证明,若f(x)在(-∞,+∞)内连续,且极限x趋∞时f(x)存在,则f(x)必在(-∞,+∞)内有界... 证明,若f(x)在(-∞,+∞)内连续,且极限x趋∞时f(x)存在,则f(x)必在(-∞,+∞)内有界 展开 我来...
设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)>0,证明F(x)=[∫(0-x)tf(t)dt]\/[∫...
此问题的核心是求该函数的导数，然后证明其导数大于0(我想难点可能在导数分析上).对F(x)关于x求导 对F(x)的表达式, 可知其分母大于0, 对其分子项进行分析, f(x)是大于零的，由因为积分项里面x>t，故积分项也是大于零的,故 从而证得F(x)>0。亦即F(x)在区间(0,+\\infty)是单调递增的.
设函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足f(x)=f'(x),f(0)=m,如果∫(1,-1...
楼上的方法虽然是常微分方程的常规解法, 但是有缺陷, 一旦f(x)有零点还需要额外讨论.更好的方法是直接令g(x)=f(x)\/e^x, 那么g'(x)=0, 得到g是常数, 即g(x)=g(0)=m
f(x)在(-∞,+∞)上单调有界,xn单调 则f(xn)收敛
简单计算一下即可，答案如图所示
设f (x)在(-∞,+∞)内有定义,且limx→∞f(x)=a,g(x)=f(1x), x≠00...
因为limx→0g(x)＝limx→0f(1x)＝limu→∞f(u)=a（令u＝1x），又g（0）=0，所以，①当a=0时，limx→0g(x)＝g(0)，即g（x）在点x=0处连续；②当a≠0时，limx→0g(x)≠g(0)，即x=0是g（x）的第一类间断点．因此，g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关．故选：...
设函数f(x)在(-∞,+∞)内满足f(x)=f(x-π)+sinx,且f(x)=x,x∈[0,π...
f（x）=f（x-π）+sinx 所以：f（x+π）=f（x）-sinx 即：f（x）=f（x+π）+sinx所以：f（x-π）=f（x+π） 即：f（x）=f（x+2π） f（x）是以2π为周期的周期函数又f（x）=f（x+π）+sinx=x+π+sinx，x∈（-π，0]，f（x）=x，x∈（-2π，-π]所以：...
证明: 若函数f(x) 在(-∞,+∞) 内连续, 且limf(x) 存在, 则f(x...
由极限的定义知，对任意的ε>0,存在M,使得当|x|>M时，|f(x)-A|<ε (A是极限），则|f(x)|<A+ε 又f(x)在（－∞,＋∞） 内连续，所以在[-M,M]也连续，所以在[-M,M]上也连续，则在[-M,M]上存在一个最大值和一个最小值，则在[-M,M]上有界，即|f(x)|<B, 取N=m...
弥翟麝香：[答案] 当X1>X2时,有f(X1)>f(X2),==> f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 ===> f ' (x)≥0 对于 对于任意小x ,可以f'(x)=0 (如f(x)=x^3,f'(x)=2x^2,x=0时,f'(0)=0,但f(x)是递增的)∴那么f(-x)在(-∞,+∞)内单减,-f(-x)在(-∞,+∞)内单增 加
秀英区17281573550： 设f(x)在( - ∞,+∞)内可导,对任意X1,X2,当X1>X2时,都有f(X1)>f(X2),则对任意的X,f′(X)>0.这个结论为什么是错误的?答案是举例y=x³.但是根据导数的定... - ？
弥翟麝香：[答案] 虽然分子分母均大于0,但是(f(X1)-f(X2))/(X1-X2)的值在X1→X2时极限可能为0.此时f'(x)就等于0了.事实上对于一元函数若它可导则一定连续,则根据函数点连续的定义可知f(X)在X→X2时其极限值为f(X2),令X=X1,则当X1→X2时有f(X1)的...
秀英区17281573550： 设f(x)在( - ∞,+∞)内可导,且对任意的x1,x2,当x1>x2时,有f(x1)>f(x2),则对任意的x,有f'(x)≤0,为什么是错的,而“函数 - f( - x)单调增加”却是对的? - ？
弥翟麝香：[答案] 由f(x)在(-∞,+∞)内可导,且对任意的x1,x2,当x1>x2时,有f(x1)>f(x2)可知此函数为单调增函数,单调增函数的f'(x)>0,所以对任意的x,有f'(x)≤0是错误的
秀英区17281573550： 设f(x)在( - ∞,+∞)内可导,且对任意x1、x2,当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),则() - ？
弥翟麝香：[选项] A. 对任意x,f′(x)>0 B. 对任意x,f′(x)≤0 C. 函数f(-x)单调增加 D. 函数-f(-x)单调增加
秀英区17281573550： 设f(x)在( - ∞,+∞)内可导,证明: - ？
弥翟麝香： 证:1). f(x)为偶函数 -> f(x) = f( -x ) 因f(x)在(-∞,+∞)内可导,两边同时求导得:f'(x)=-f'(-x),f'(-x)=-f'(-(-x)) 即:f'(-x)为奇函数.2). f(x)为奇函数 -> f(x) = -f( -x ) 因f(x)在(-∞,+∞)内可导,两边同时求导得:f'(x)=f'(-x),f'(-x)=f'(-(-x)) 即:f'(-x)为偶函数.注:f(x)为偶函数f(x) = f( -x ) f(x)为奇函数f(x) = -f( -x )
秀英区17281573550： 设f(x)在( - ∞,+∞)内可导,且对任意x1、x2,当x1
弥翟麝香：[选项] A. 对任意x,f′(x)>0 B. 对任意x,f′(x)≤0 C. 函数f(-x)单调增加 D. 函数-f(-x)单调减少
秀英区17281573550： 设f(x)在( - ∞,+∞)内可导,且对任意x1,x2,当x1>x2时有f(x1)>f(x2),为什么答案是 函数 - f( - x)单调增加?为什么 任意x,f'(x)>0不对? - ？
弥翟麝香：[答案] 设 f(x) 在 (-∞,+∞) 内可导,且对任意 x1,x2,当 x1>x2 时有 f(x1) > f(x2), 则因 -x2>-x1,有 f(-x2) > f(-x1), 这样, -f(-x2) 即 -f(-x1) > -f(-x2), 所以函数 -f(-x) 是单调增加的.
秀英区17281573550： 设f(x)是定义在( - ∞,+∞)上的函数,f(x)0,f'(0)=1且对任意x,y∈( - ∞,+∞),f(x+y)=f(x)f(y)证明:f(x)在( - ∞,+∞)上可导且f'(x)=f(x) - ？
弥翟麝香：[答案] 令x=y=0有f(0)=f(0)f(0) 所以f(0)=1 对任意x,存在dx,当dx趋近于0时 f(x+dx)=f(x)f(dx)=f(0)f(x)=f(x) 所以f(x)在定义域连续可导 对任意x,给定增量dx,当dx趋近于0时 f'(x)=[f(x+dx)-f(x)]/dx =[f(dx)-1]f(x)/dx =[f(0+dx)-f(0)]/dx f(x) =f'(0)f(x) =f(x)
秀英区17281573550： 设f(x)在( - ∞,+∞)上可导,试证明: (1)奇函数的导函数为偶函数 (2)偶函数的导函数为奇函数 - ？
弥翟麝香： 解:(1)因为f(x)在(-∞,+∞)上可导,且为奇函数 即f(x)=-f(-x),则f(x)'=-f(-x)'=-f(-x)*(-1)=f(-x) 即可证奇函数的导函数为偶函数 (2)因为f(x)在(-∞,+∞)上可导,且为偶函数 即f(x)=f(-x),则f(x)'=f(-x)'=f(-x)*(-1)=-f(-x) 即可证偶函数的导函数为奇函数
秀英区17281573550： 设f(x)在( - ∞,+∞)内可导,且对任意x1,x2,当x1>x2时有f(x1)>f(x2),为什么答案是 函数 - f( - x)单调增加? - ？
弥翟麝香： 设 f(x) 在 (-∞,+∞) 内可导,且对任意 x1,x2,当 x1>x2 时有f(x1) > f(x2),则因 -x2>-x1,有f(-x2) > f(-x1),这样,-f(-x2) 即-f(-x1) > -f(-x2),所以函数 -f(-x) 是单调增加的.
