微分和导数之间为什么相等？他们有什么关系？为什么这个式子的lΔxl趋于零的时候有下面那个式子存在？

微分和导数是什么关系~

这两者是不同的，粗略来看很多人会认为这两者是一样的，但是其数学含义是不同的，而且严格说两者不是相等的关系。
从数学符号的意义上来说，dy与Δy是不同的，dx与Δx也是不同的。一般地，Δ~代表做“差（分）”运算之后的结果，是一个具体精确的表达。而d~代表做“微分”运算后的结果，里面包含有取某种极限之后的结果，是更抽象的表达。差分仅仅是直观的减法运算，而微分则包含有更为深刻的极限思想在里面。甚至也可以把微分认为是差分的极限。
我们定义函数y=F(x)
Δy=AΔx+o（Δx）来自于差分表达式：Δy=y1-y0=F(x1)-F(x0)，其中x1-x0=Δx.
右边F(x1)-F(x0)相当于做了一个一阶展开（如果你学过taylor展开，可以联系起来考虑），得到线性部分AΔx和残差项o（Δx），o（Δx）指的是Δx的高阶无穷小：如果Δx是一个具体的数，那么o（Δx）就是一个具体的数；如果Δx趋向于零，那么o（Δx）比Δx“更快地”趋向于零。A是一个与x0有关而与Δx无关的量。
dy=f（x）dx就是把之前式子里Δx的高阶无穷小o（Δx）拿掉不考虑，但是这里舍弃的o（Δx）并不是等于零的，而且一个关于Δx的函数，比如当取Δx收敛到零的极限时就有limo（Δx）=0。所以你可以把dy=f（x）dx看作是Δy=AΔx+o（Δx）取某种极限后的结果。
形式上我们可以定义dy=f（x）dx为一个微分表达式，是一个相对抽象的结果。但其实质是由具体的差分形式Δy=y1-y0=F(x1)-F(x0)演化而来的。或者说dy是Δy在某种极限意义下的近似。
这里相等的只有一阶展开系数A与导数f(x)，注意把上面固定的x0看做x即可。

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述： 可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率； 可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。 dx、dy: 可微性； dy/dx: 可导性 dy = (dy/dx)dx， 在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx 这就是可导、可微之间的关系： 可导 = 可微 = Differentiable。 导数 = 微分 = Differentiation，Derivative 不可导 = 不可微 = Undifferentiable 【说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性】 2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念， 有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。 【说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性】 多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念 一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数， a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。 b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。 c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯 这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。 一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。4、dx、dy、du都是微分，只有在写成du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy时， du才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。 而∂f、∂x、∂y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。x的单独变化会引起u的变化，du=(∂f/∂x)dxy的单独变化会引起u的变化，du=(∂f/∂y)dy其中的 ∂f/∂x、∂f/∂y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。∂f/∂x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；∂f/∂y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。x、y同时变化，引起u的变化是：du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。总而言之，言而总之：对一元函数，可导与可微没有本质区别；对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。


可以么？

微分和导数之间并不相等
他们之间的关系是变量与比值的关系
如果两个变量x和y的微分dx和dy成比例关系：dx=kdy
那么我们就把这个比例数k叫做x对y的导数
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那么微分又是什么呢？
微分dx是对变量x的一种运算
具体地说就是变量由x变到x'的差值：Δx=x'-x
当这个差值足够小，达到某种稳定状态（见后述）时
就是我们所想要的微分，并把这个差值Δx记作：dx
.
可见，如果x是常量，Δx就固定是0了
所以常量的微分都是0，通常就说变量才有微分
这也是微分运算与加减乘除运算的本质不同
四则运算是对数值的运算
微分运算是对变量的运算
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那么微分dx有什么意义呢
如果只有一个微分dx
确实是毫无意义的
因为现实世界里的事物都是多元的、互相制约的
他们互相作用构成一个系统才有意义
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所以单独一个变量的微分是没有意义的
要互相比较才有意义
这就是为什么微分总是要计算导数了
或者说有了导数微分才有意义
只有算出导数来了，才搞清楚两个微分的关系
导数y'把两个微分dx和dy联系起来了：dy=y'dx
而且这是一个最简单的线性比例关系
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最后来说微分为什么要趋于0
首先要搞清楚微分运算的目的是什么
其实上面已经提到了
就是要弄清楚两个变量x和y之间的关系
通常这两个变量不是随机乱变
（应对随机乱变的事就是概率论了）
所以就可以通过计算变量的差值Δx和Δy
来观察这个差值究竟有多大，是否很离谱
更重要的是这两个差值是否协调稳定
如果是比较稳定的，Δy:Δx就只在某个范围内变动
进一步就想知道他究竟有没有一个准确的比例数
要想得到这个精确的结论，就要不断地减少误差
让Δx和Δy尽可能地小，当确认了这个精确值时
微分就达到目的了，用dx和dy取代Δx和Δy称之为微分
把这个精确比例：dy/dx称为y对x导数，记作y'
终于找到他们的准确倍数关系了：dy=y'dx

Δx,Δy，趋近于0时，叫微分，记作dx,dy
微分的比值，叫导数，也叫微商——微分之商。
取极限dy/dx=0/0
0乘以任何数，都等于0，0=0×任何数，0/0=任何数，叫做不定式。因为不定，可以是任何数，由另外的附加条件决定，就是y与x的函数关系，决定了这个比值。导数概念，赋予在小学、初中数学中无意义的0/0以新的意义。

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宁江区18459857103： 微分和导数是什么关系? - ？
焦莉抗栓： 一元函数中可导与可微等价.导数是函数图像在某一点处的斜率,是纵坐标增量(Δy)和横坐标增量(Δx)在Δx-->0时的比值. 微分的定义:由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分...

宁江区18459857103： 微分和导数有什么关系 - ？
焦莉抗栓： 对一元函数来说,可导和可微是等价的,函数 y=f(x) 的导数 f'(x) 等于两个微分的商 dy/dx.

宁江区18459857103： 导数.积分.微分之间的关系 - ？
焦莉抗栓： 导数y'是函数在某一点的变化率,微分是改变量,导数是函数微分与自变量微分之商,即y'=dy/dx,所以导数与微分的理论和方法统称为微分学(已知函数,求导数或微分).积分则是微分学的逆问题,即如何求一个函数,使他的导数等于已知函数.运算中导数和微分一般可通用. 微分就是对这个数或某个式子求导 例如:2x^2-3x的微分等于4x-3 积分就是和微分是反的,说通俗一点就是反过来求导 例如:对4x-3,求积分就是2x^2-3x+λ(λ为常数)对方程求导其实就是微分. 以上回答你满意么?

宁江区18459857103： 导数和微分的关系 - ？
焦莉抗栓：[答案] 通俗的将,微分是一种方法,就是取对象的微小变量或微元来处理数学问题,而导数是微元式的极限,所以数学上分别用符号⊿x和dx区分两者.导数的定义式很好的说明了两者的关系,例如 df/dx=lim{⊿f/⊿x}=lim{(f(x+⊿x)-f(x))/⊿x} 表达式⊿f/⊿x,就是对...

宁江区18459857103： 导数与微分有何关系? - ？
焦莉抗栓： 微分是指一种方法,导数可以理解为就是无限的微分

宁江区18459857103： 导数和微分的不同?？
焦莉抗栓： 导数和微分的不同点在于: 导数是函数在一点处的应变量与自变量它们相应增量的比值当自变量增量其趋于0时的极限.导数是一个极限值,是一个定值;而微分是函数在一点处的应变量与自变量它们相应增量之间当自变量增量较微小时的一个线性关系.微分是一种关系,不是定值. 在几何意义上,导数是曲线在一点的切线斜率,而微分则是在该点处,以该点为一顶点,以该点处切线为斜边、平行x轴以自变量增量为长度的一直角边,这样所作的直角三角形的另一个直角边的长度.即f'(x)=dy/dx

宁江区18459857103： 函数的微分为什么等于函数的导数与自变量微分的积?那还是不是说自变量微分还可以化解? - ？
焦莉抗栓：[答案] “数学之美”团员448755083为你解答!微分不叫导商,从来没听说过这种说法!正确的关系应该是导数其实就是函数y的微分dy和自变量x的微分dx的比值dy/dx,也就是做除法求商,因此导数也叫做微商,取微分之商的意思.微分的d是...

宁江区18459857103： 微分和导数之间有什么关系呢?既然两个公式一样只不过结果多个dx,那学微分有什么意义呢 - ？
焦莉抗栓：[答案] 在微分里,x和y地位相同,按照微分规则即可,而求导这需要考虑谁是自变量谁是函数,总之,微分是更为普遍的法则,应用更为广泛

宁江区18459857103： 导数与微分有何关系?？
焦莉抗栓： 两者是互逆关系

宁江区18459857103： 导数与微分知识点总结(导数与微分) ？
焦莉抗栓： 1、我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的,大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念,再引进微分的概念,到底导数和微分这两个概念...