高中数学——解三角形
在已知三角形两边a,b和一边的对角A时,根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA,即c²-2bcosA*c+b²-a²=0,这是个一元二次方程,判别式Δ=4b²cos²A-4(b²-a²)=4(a²-b²sin²A),∴当a=bsinA时,Δ=0,方程只有一个解,即三角形只有一个。
其他情况
当a>bsinA时,Δ>0,方程有两个解,即三角形有两个,当a<bsinA时,方程没有解,即三角形无解。
解三角形:
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
解三角形,常用到正弦定理和余弦定理和面积公式等。
常用定理:
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,R是此三角形外接圆的半径)。
变形公式
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c
(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB
(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC
余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC
注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
变形公式
cosC=(a²+b²-c²)/2ab
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
cosA=(c²+b²-a²)/2bc
海伦-秦九韶公式
p=(a+b+c)/2(公式里的p为半周长)
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。
已知三条中线求面积
方法一:已知三条中线Ma,Mb,Mc,
则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ;
方法二:已知三边a,b,c ;
则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)];其中:p=(a+b+c)/2 ;
在△ABC 中,以下的三角关系式,在解答有关的三角形问题时,经常用到,要记准、记熟、灵活地加以运用。
4.解斜三角形的问题,通常要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出所要求的量,从而得到实际问题的解。其中建立数学模型的思想方法,也是我们学习数学的归宿,用数学手段来解决实际问题,是学习数学的根本目的所在。
解题时应根据已知与未知,合理选择正、余弦定理使用,使解题过程简洁,要达到算法简练,算式工整、计算准确。
(1).解斜三角形应用题的步骤
①准确理解题意,分清已知和未知,准确理解应用题中有关名词、术语,如仰角、俯角、视角、方向角、方位角及坡度、经纬度等;
②根据题意画出图形;
③将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型,然后正确求解,演算过程要算法简练,计算准确,最后作答。
(2).实际应用问题中有关名词、术语
①仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角。
②方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角。
③方位角:从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角。
④坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数。
(3).须熟悉的三角形中的有关公式
解斜三角形主要应用正弦定理和余弦定理,有时也会用到周长公式和面积公式,比如:
( 为三角形的周长)
( 表示 边上的高)
(可用正弦定理推得)
( 为内切圆半径)
还须熟悉两角和差得正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式。
五、注意点
1.在我们的课本上,推导正弦定理是从直角三角形出发得到的,说明对于直角三角形,正弦定理也是成立的,我们也须知道推导正弦定理的传统方法,是首先推出 ,然后各式均除以 ,即得到正弦定理公式。
课本上是利用向量知识推导正弦定理公式。它是平面向量知识的具体应用。
2.注意正弦定理的变形应用。
我们不难证明 ,(其中R为 外接圆半径)。
这样,正弦定理可有如下一些变形:
, , ;
, , ;
;
, , ;
, , 。
以上这些关系式,可根据问题的条件和求得结论选择加以应用。
3.关于已知两边和其中一边的对角,解三角形的讨论
已知两边和其中一边的对角,不能唯一确定三角形的形状,解这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况,应分情况予以讨论,图1与图2即是表示了在 中,已知 、 和A时解三角形的各种情况
当A为锐角时,
当A为直角或钝角时,
4.余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,便可求得第四个量,当已知三边,可以求角,此时利用余弦定理得另一种形式。
解:∵0<A<π
∴0<2A<2π
则-π/6<2A-π/6<11π/6
又sin(2A-π/6)=1/2
∴2A-π/6=π/6或
2A-π/6=5π/6
∴A=π/6或A=π/2
而ΔABC为钝角三角形
∴A=π/6
∵sinB=√3sinC
b/sinB=c/sinC
令b/sinB=c/sinC=k(k≠0)
∴(b/k)=√3(c/k)
∴b=√3c
∵cosA=(b²+c²-a²)/2bc
∴cos(π/6)=(3c²+c²-4)/2√3c²
∴c²=4
故c=2
∴b=2√3
ΔABC的面积
S=(1/2)bcsinA
=(1/2)×2√3×2×sin(π/6)
=√3
sin(2A-π/6)=1/2
= sin(π/6)
= sin( π
- π/6
);
2A
-
π/6
= π
- π/6,2A
= π,不合题意;∴ 2A
-
π/6
= π/6,A
= π/6;
sinB/sinC
=
b/c
=
√3,∴ b
>
c,C
>
B,B 是钝角;
sinB
= sin[ π
-
(C+π/6)
]
=
sin(C+π/6)
=
sinCcos(π/6)
+
sin(π/6)cosC
= √3sinC/2
+ cosC/2
= √3sinC,cosC
= √3sinC
= sin(π/3)/coc(π/3)
* sinC,
coc(π/3)cosC
= sin(π/3)sinC,
coc(π/3)cosC
-
sin(π/3)sinC
= cos(π/3+C)
=
0,π/3
+
C
=
π/2,C
= π/6;
sinA
=
sinC
=
sin(π/6)
=
1/2,sinB
= √3sinC
= √3/2;
b
= sinB
*
2/sinA
=
√3/2
*
4
=
2√3;
b 边的高
=
2sinC
=
2
*
1/2
=
1;
该三角形的面积为
1
*
2√3/2
= √3
。
(高中数学)(解三角形)如图,这道题化成角要如何求解?答案是化成边的_百...
【分析】sinA+2sinBcosC=0,利用三角形内角和定理与诱导公式可得:sin(B+C)+2sinBcosC=0,展开化为:3sinBcosC+cosBsinC=0,cosC≠0,cosB≠0.因此3tanB=-tanC.即可判断:B为锐角,C为钝角;tanA=﹣tan(B+C)展开代入利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:三角形ABC中,A+B+C=180...
高中数学解三角形公式
解三角形,常用到正弦定理和余弦定理和面积公式等。常用定理:正弦定理 a\/sinA=b\/sinB=c\/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,R是此三角形外接圆的半径)。变形公式 (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c (3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB ...
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在解三角形问题时,须掌握的三角关系式 在△ABC 中,以下的三角关系式,在解答有关的三角形问题时,经常用到,要记准、记熟、灵活地加以运用。4.解斜三角形的问题,通常要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出所要求的量,从而得到实际问题的解。其中建立数...
解三角形公式~
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高中数学解三角形公式
一、三角形的内角和公式 三角形的内角和等于180°。即A+B+C=180°。【注】在不至于引起误解和歧义的前提下,高中数学中常把∠A、∠B、∠C简写为A、B、C。二、正弦定理 在解三角形的问题中,正弦定理和正弦定理的推论常用于“已知两角和一边”、“已知两边和其中一边的对角”的情况。a\/sinA=b\/...
初中数学竞赛辅导讲义:第17讲--解直角三角形(含习题解答)
第十七讲解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下两方面的应用:1.为线段、角的计算提供新的途径.解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突破纯粹几何关系的局限.2.解实际问题.测量、...
高中数学〔必修五〕 关于解三角形.帮帮忙,谢谢了!
cosC\/2=sinCsinC\/2 再用被角公式:cosC\/2=2sinC\/2的平方cosC\/2 再约分化简:2sinC\/2的平方=1 sinC\/2=二分之根号二 所以C\/2等于45度 直角三角形 因为直角三角形 所以r=1\/2(a+b-c)a方+b方=c方 (a+b)方=a方+b方+2ab小于等于2c方 所以a+b大于c,小于等于(根号2)c ...
初三数学【解直角三角形】
本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质,勾股定理,特殊角的三角函数值等,解题的关键是根据题意画出图形,利用数形结合求解.
解直角三角形是几年级的知识
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高二数学中数列和解三角形学习方法。
主要是对于一些基本的公式要熟悉,这比记概念要好。例如三角函数的和差化积,积化和差公式,还有万能公式都是很好用的。
正侄渴乐: 设AC=x AB=y AD=m R²=x²+y²-2xycos(θ1+θ2) R²=x²+m²-2xmcosθ2 R²=y²+m²-2ymcosθ1 解这个方程组可得x,y
南汇区15733215143: 高中数学解三角形 - ?
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南汇区15733215143: 高中解三角形相关数学题 - ?
正侄渴乐: 设:a-2=k b=2k c+2=3k cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=[(2k)^2+(3k-2)^2-(k+2)^2]/2*2k*(3k-2)=(3k-4)/(3k-2)=4/5 所以k=4 所以a=6,b=8,c=10 所以是直角三角形
南汇区15733215143: 数学高一必修5解三角形 - ?
正侄渴乐: 原发布者:仙人指路 解三角形 一、选择题1.在中,,,,则() A.B.C.D.2.在中,若,则的形状是() A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.在中,角的对边分别是,若,,则()A.B.C.D.4.在中,如果,那么角等于() A. ...
南汇区15733215143: 如何学好高中解三角形 - ?
正侄渴乐: 解高中三角形三种情况要掌握就好:令三角形三边为a,b,c三角为角A,B,C,1,若已知三角形三边a,b,c , 据角的余弦定理可得三角bccosA=b^2+c^2-a^2 accosB=a^2+c^2-b^2 abcosC=a^2+b^2-c^2 这样三边及三角都确定了,所以只有一个这样的三...
南汇区15733215143: 高一数学解三角形问题…… - ?
正侄渴乐: 嗯 目前一般值都用计算器 例如知道tanβ=0.5543,求β是多少 在计算器里按“SHIFT ”“tan”“0.5543”就可算出角度值为28.9996,默认的单位是° 如果知cosβ=0.8862 就按“SHIFT”“cos”“0.8862”就可算出角度值 不过楼主题目中的0.5543和0.8862因该分别是√3/3和√3/2吧 tan30°=√3/3 cos30°=√3/2 一般高中时期考察的三角函数值是不需要用计算器的 所以计算结果用分数、带√根号就行 不需要化成小数的 (注:三角形中0°180°不合实际,所以α也只能取30°)
南汇区15733215143: 高中数学——解三角形 - ?
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南汇区15733215143: 高中数学必修五第一章解三角形如何判断有几个解 - ?
正侄渴乐:[答案] 方法是这样的,三角形的形状取决于它最大的那个角,同时在三角形中大角对大边,小角对小边.求出最大的那个角的余弦值,这里可以用到正弦定理或余弦定理.若余弦值为负,则说明该角为钝角,是钝角三角形;若余弦值等于零,则为指教三角形...
南汇区15733215143: 高中数学必修五解三角形知识框架 - ?
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南汇区15733215143: 高一数学必修5解三角形公式who help me .急用啊 - ?
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