高中数学——解三角形

高中数学解三角形，什么时候一个解？什么时候两个解？什么时候无解~

在已知三角形两边a，b和一边的对角A时，根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，即c²-2bcosA*c+b²-a²=0，这是个一元二次方程，判别式Δ=4b²cos²A-4(b²-a²)=4(a²-b²sin²A)，∴当a=bsinA时,Δ=0,方程只有一个解，即三角形只有一个。

其他情况
当a>bsinA时，Δ>0，方程有两个解，即三角形有两个，当a<bsinA时，方程没有解，即三角形无解。

解三角形：
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
解三角形，常用到正弦定理和余弦定理和面积公式等。
常用定理：
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径）。

变形公式
（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c
（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB
（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
面积公式（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC

余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC
注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式
cosC=(a²+b²-c²)/2ab
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
cosA=(c²+b²-a²)/2bc

海伦-秦九韶公式
p=(a+b+c)/2（公式里的p为半周长）
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。
已知三条中线求面积
方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc，
则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ；
方法二：已知三边a，b，c ；
则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ；

在解三角形问题时，须掌握的三角关系式
在△ABC 中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时，经常用到，要记准、记熟、灵活地加以运用。
4．解斜三角形的问题，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。其中建立数学模型的思想方法，也是我们学习数学的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的所在。
解题时应根据已知与未知，合理选择正、余弦定理使用，使解题过程简洁，要达到算法简练，算式工整、计算准确。
（1）．解斜三角形应用题的步骤
①准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中有关名词、术语，如仰角、俯角、视角、方向角、方位角及坡度、经纬度等；
②根据题意画出图形；
③将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练，计算准确，最后作答。
（2）．实际应用问题中有关名词、术语
①仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。
②方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。
③方位角：从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角。
④坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数。
（3）．须熟悉的三角形中的有关公式
解斜三角形主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：
（ 为三角形的周长）
（ 表示 边上的高）

（可用正弦定理推得）
（ 为内切圆半径）
还须熟悉两角和差得正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式。
五、注意点
1．在我们的课本上，推导正弦定理是从直角三角形出发得到的，说明对于直角三角形，正弦定理也是成立的，我们也须知道推导正弦定理的传统方法，是首先推出 ，然后各式均除以 ，即得到正弦定理公式。
课本上是利用向量知识推导正弦定理公式。它是平面向量知识的具体应用。
2．注意正弦定理的变形应用。
我们不难证明 ，（其中R为 外接圆半径）。
这样，正弦定理可有如下一些变形：
， ， ；
， ， ；
；
， ， ；
， ， 。
以上这些关系式，可根据问题的条件和求得结论选择加以应用。
3．关于已知两边和其中一边的对角，解三角形的讨论
已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论，图1与图2即是表示了在 中，已知 、 和A时解三角形的各种情况
当A为锐角时，

当A为直角或钝角时，

4．余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量，当已知三边，可以求角，此时利用余弦定理得另一种形式。

解：∵0<A<π
∴0<2A<2π
则-π/6<2A-π/6<11π/6
又sin(2A-π/6)=1/2
∴2A-π/6=π/6或
2A-π/6=5π/6
∴A=π/6或A=π/2
而ΔABC为钝角三角形
∴A=π/6
∵sinB=√3sinC
b/sinB=c/sinC
令b/sinB=c/sinC=k(k≠0)
∴(b/k)=√3(c/k)
∴b=√3c
∵cosA=(b²+c²-a²)/2bc
∴cos(π/6)=(3c²+c²-4)/2√3c²
∴c²=4
故c=2
∴b=2√3
ΔABC的面积
S=(1/2)bcsinA
=(1/2)×2√3×2×sin(π/6)
=√3

sin(2A-π/6)=1/2
= sin(π/6)
= sin( π
- π/6
)；
2A
-
π/6
= π
- π/6，2A
= π，不合题意；∴ 2A
-
π/6
= π/6，A
= π/6；
sinB/sinC
=
b/c
=
√3，∴ b
>
c，C
>
B，B 是钝角；
sinB
= sin[ π
-
(C+π/6)
]
=
sin(C+π/6)
=
sinCcos(π/6)
+
sin(π/6)cosC
= √3sinC/2
+ cosC/2
= √3sinC，cosC
= √3sinC
= sin(π/3)/coc(π/3)
* sinC，
coc(π/3)cosC
= sin(π/3)sinC，
coc(π/3)cosC
-
sin(π/3)sinC
= cos(π/3+C)
=
0，π/3
+
C
=
π/2，C
= π/6；
sinA
=
sinC
=
sin(π/6)
=
1/2，sinB
= √3sinC
= √3/2；
b
= sinB
*
2/sinA
=
√3/2
*
4
=
2√3；
b 边的高
=
2sinC
=
2
*
1/2
=
1；
该三角形的面积为
1
*
2√3/2
= √3
。

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南汇区15733215143： 高中数学题 解三角形 求详细解答 - ？
正侄渴乐： 设AC=x AB=y AD=m R²=x²+y²-2xycos(θ1+θ2) R²=x²+m²-2xmcosθ2 R²=y²+m²-2ymcosθ1 解这个方程组可得x,y

南汇区15733215143： 高中数学解三角形 - ？
正侄渴乐： 由正弦定理a=(b+c)/(cosB+cosC) 所以 a[(a^2+c^2-b^2)/2ac+(a^2+c^2-b^2)/2ab]=b+c 化简通分后得 ba^2+bc^2-b^3+ca^2+cb^2-c^3=2bc^2+2cb^2 分解因式得 (b+c)(a^2-b^2-c^2)=0 所以 a^2=b^2+c^2 直角三角形

南汇区15733215143： 高中解三角形相关数学题 - ？
正侄渴乐： 设:a-2=k b=2k c+2=3k cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=[(2k)^2+(3k-2)^2-(k+2)^2]/2*2k*(3k-2)=(3k-4)/(3k-2)=4/5 所以k=4 所以a=6,b=8,c=10 所以是直角三角形

南汇区15733215143： 数学高一必修5解三角形 - ？
正侄渴乐： 原发布者:仙人指路 解三角形 一、选择题1.在中,,,,则() A.B.C.D.2.在中,若,则的形状是() A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.在中,角的对边分别是,若,,则()A.B.C.D.4.在中,如果,那么角等于() A. ...

南汇区15733215143： 如何学好高中解三角形 - ？
正侄渴乐： 解高中三角形三种情况要掌握就好:令三角形三边为a,b,c三角为角A,B,C,1,若已知三角形三边a,b,c , 据角的余弦定理可得三角bccosA=b^2+c^2-a^2 accosB=a^2+c^2-b^2 abcosC=a^2+b^2-c^2 这样三边及三角都确定了,所以只有一个这样的三...

南汇区15733215143： 高一数学解三角形问题…… - ？
正侄渴乐： 嗯 目前一般值都用计算器 例如知道tanβ=0.5543,求β是多少 在计算器里按“SHIFT ”“tan”“0.5543”就可算出角度值为28.9996,默认的单位是° 如果知cosβ=0.8862 就按“SHIFT”“cos”“0.8862”就可算出角度值 不过楼主题目中的0.5543和0.8862因该分别是√3/3和√3/2吧 tan30°=√3/3 cos30°=√3/2 一般高中时期考察的三角函数值是不需要用计算器的 所以计算结果用分数、带√根号就行 不需要化成小数的 (注:三角形中0°180°不合实际,所以α也只能取30°)

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南汇区15733215143： 高中数学必修五第一章解三角形如何判断有几个解 - ？
正侄渴乐：[答案] 方法是这样的,三角形的形状取决于它最大的那个角,同时在三角形中大角对大边,小角对小边.求出最大的那个角的余弦值,这里可以用到正弦定理或余弦定理.若余弦值为负,则说明该角为钝角,是钝角三角形;若余弦值等于零,则为指教三角形...

南汇区15733215143： 高中数学必修五解三角形知识框架 - ？
正侄渴乐：[答案] 高中嘛,考试解三角形就这几个重点, 1)a/sinA=b/sinB=c/sinC 2)a?=b?+c?-2bcsinA b?=a?+c?-2acsinB c?=b?+a?-2absinC 3)S=1/2absinC S=1/2bcsinA S+1/2acsinB 附加一下,(1)中的考点:万一题目给你两边一角比如a,b,A你还要比较a和...

南汇区15733215143： 高一数学必修5解三角形公式who help me .急用啊 - ？
正侄渴乐：[答案] 正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径的两倍) 步骤1. 在锐角△ABC中,设三边为a,b,c.作CH⊥AB垂足为点D CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·...