二项式定理展开式公式
如下图所示。
二项式定理(英语:binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。
在阿拉伯,10世纪,阿尔 ·卡拉吉已经知道二项式系数表的构造方法:每一列中的任一数等于上一列中同一行的数加上该数上面一数。11~12世纪奥马海牙姆将印度人的开平方、开立方运算推广到任意高次,因而研究了高次二项展开式。
13世纪纳绥尔丁在其《算板与沙盘算法集成》中给出了高次开方的近似公式,并用到了二项式系数表。15世纪,阿尔 ·卡西在其《算术之钥》中介绍了任意高次开方法,并给出了直到九次幂的二项式系数表,还给出了二项式系数表的两术书中给出了一张二项式系数表,其形状与贾宪三角一样。
16世纪,许多数学家的书中都载有二项式系数表。1654年,法国的帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理,因此算术三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年,英国的牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形。
18世纪,瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。
二项式展开公式:(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。
二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子,由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中,二项式系数是一些特殊的组合数,与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项,而系数最大的项却不一定是中间项。
性质:
(1)项数:n+1项。
(2)第k+1项的二项式系数是。
(3)在二项展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。
(4)如果二项式的幂指数是偶数,中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的的二项式系数最大,并且相等。
(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。
二项式定理(英语:Binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。
一、二项展开式定义:
二项展开式是依据二项式定理对(a+b)^n进行展开得到的式子,由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中,二项式系数是一些特殊的组合数,与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项,而系数最大的项却不一定是中间项。
二、二项式定理:
其中,又有
等记法,称为二项式系数,此系数亦可表示为杨辉三角形。等式的右边
即为(a+b)n次方的展开式,称为二项展开式。
三、二项展开式的性质:
1、项数:n+1项;
2、第k+1项的二项式系数是C;
3、在二项展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系数相等;
4、如果二项式的幂指数是偶数,中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的的二项式系数最大,并且相等。
四、证明
采用数学归纳法对二项式定理进行证明:
如图:
等式也成立。
结论:对于任意自然数n,等式均成立。
五、例题
1、某项的系数
求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点,每年的高考题都有一定的题出现。
2、系数最值项
3、指定项
求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行。
a^ n的展开式怎么求?
(a-b)^n的展开式可以使用二项式定理来求解。根据二项式定理,展开式中的每一项可以表示为组合数的形式。展开式的通项公式为:C(n, k) * a^(n-k) * (-b)^k 其中,C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数,a^(n-k)表示a的指数为(n-k),(-b)^k表示(-b)的指数为k。展开...
二项式的展开式是什么?
C(n,0)表示从n个中取0个。这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式,其中的系数Cnr(r=0,1,……n)叫做二次项系数,式中的Cnran-rbr.叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1=Cnraa-rbr。二项式定理的意义:牛顿以二项式定理作为基石发...
二项式展开的定理和公式
1、二项式定理 二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如 展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。2、二项式展开公式 二项式定理可以用如下公式表示:3、常数项 二项式展开式中的常数项,指...
多项式的n次方展开公式
多项式的n次方展开公式是一个重要的数学工具,其核心原理是基于二项式定理。这个定理,通常以牛顿二项式定理的形式表述,它揭示了两个数相加的幂次如何展开为一系列特定的项之和。其公式如下:对于任意一个多项式 \\( (a + b)^n \\),其展开可以表示为:(a + b)^n = Σk=0^n Cnk a^(n-k)...
二项式定理展开式公式
二项式展开公式:(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子,由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出,二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中,二项式系数是一些特殊的...
二项式展开公式是什么?
二项式展开公式:(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n 二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子。右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式,其中的系数Cn^r(r=0,1,……n)叫做二次项系数,式中的Cn^r*a^n-...
如何用数学公式求二项式展开式?
二项式定理(英语:Binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。二项式定理可以用以下公式表示:其中,又有 等记法,称为二项式系数(binomial ...
展开式公式有哪些
1+x的n次方展开式公式是:(x-1)^n=Cn0x^n+Cn1x^(n-1)(-1)^1+Cn2x^(n-2)(-1)^2+……+Cn(n-1)x(-1)^(n-1)+Cnn(-1)^n(x+1)^n。性质 (1)项数:n+1项。(2)第k+1项的二项式系数是C。(3)在二项展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系...
求助数学二项式定理解释
是一个两项和的乘方的展开式的定理,一般用公式表示:(x+a)^n=C(n,0)a^0x^n+C(n,1)a^1x^(n-1)+C(n,2)a^2x^(n-2)+……+C(n,n)a^nx^0 规律:共n+1项;每一项均由三部分组成,以第k(k=0,1,……,n)项为例,第一部分C(n,k)叫组合数,分子是从n开始的递减的...
多项式的n次方展开公式
根据二项式定理,多项式的n次方展开公式,如下图所示:其中二项式定理如下图所示:
夷雅朗铭:[答案] 在二项式定理(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,r)a^(n-r)b^r+...+C(n,n)b^n
同安区19295898928: 二项式定理公式和展开式通式是什么? - ?
夷雅朗铭:[答案] (a+b)^n=a^n+[C(n,1)]a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)b^2+……+C(n-1,n)ab^(n-1)+b^n 通项T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)*b^k
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夷雅朗铭: 二次项定理展开式公式:(a+b)1=a+b.二项式定理(英语:binomialtheorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出.该定理给出两个数...
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夷雅朗铭:[答案] (a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2+…+anbn,设 A=a0+a2+a4+…,B=a1+a3+a5+…,(即A为展开式中各奇数项的系数和,B为展开式中各偶数项的系数和).则:令a=b=1,得A+B=2n…………(1)a=1,b=-1,得A-B=0…………(2)由(1)(2...
同安区19295898928: 二项展开式的通项公式并解释各字母含义 - ?
夷雅朗铭:[答案] 二项展开式的通项公式(a+b)^n展开式中的第r+1项是T(r+1)=C(n,r)a^(n-r)b^r T(r+1)表示二项展开式的第r+1项C(n,r)表示n个数中取r个数的组合^表示次方,表示后面的数是前面的数的上标,次方的意思
同安区19295898928: 展开式的通项公式 ?
夷雅朗铭: 展开式的通项公式为:T(r+1)=C(r,n)a^nb^(n-r).二项展开式是依据二项式定理对(a+b)^n进行展开得到的式子.在二项式展开式中,二项式系数是一些特殊的组合数.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的通项公式.
同安区19295898928: 二项展开式系数和公式 ?
夷雅朗铭: 二项展开式系数和公式:(0,n)+C(1,n)+…+C(n,n)=2^n.二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子,由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出.二项展开式是高考的一个重要考点.系数(coefficient),是指代数式的单项式中的数字因数.单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数.通常系数不为0,应为有理数.
同安区19295898928: 广义二项式定理的内容是什么 展开形式是什么 - ?
夷雅朗铭:[答案] 广义二项式定理?我想lz指的应该是泰勒展开式吧.普通的牛顿二项式定理仅限于形如(x+y)^n的展开,这里的n是正整数,而泰勒展开式则可以对任意的一个实数n展开上面那个式子.事实上,可以证明,对于任意一个实数范围内的单变量各阶连续可导...
同安区19295898928: 给说下有关高中数学二项式的所有公式 及技巧,我找不到 谢谢啦 明天高考 - ?
夷雅朗铭:[答案] 二次项定理 a+b)n次方=C(n,0)a(n次方)+C(n,1)a(n-1次方)b(1次方)+…+C(n,r)a(n-r次方)b(r次方)+…+C(n,n)b(n次方)(n∈N*) C(n,0)表示从n个中取0个, 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式,其中的系数Cnr(r=0,1,……n)...