极限一定是有界吗？
1、有极限就一定有界
回忆极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε
证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）
有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|
取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }
则我们会发现，所有的 |xn|<M，（因为M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }，因此M比数列中前N个数的绝对值都要大，当n>N后，所有的 |xn| 均小于1+|a|≤M）
因此{xn}有界。
2、有界不一定有极限
比如：f(x)=sinx,在R上有界，但是x趋近于无穷是没有极限。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
扩展资料：
极限的产生
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
建立的概念
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
1、函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
2、函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
3、函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
4、数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
5、广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，等等。
参考资料来源：百度百科-极限
极限存在则一定有界吗?
3、极限存在，则一定有界。但有界，极限不一定存在。如：sinx是有界的，但x趋于无穷大时，极限不存在。具体的例子，利用有界函数与无穷小乘积仍为无穷小，关于有界函数不需要有极限的例子(我图中前两行)及说明见上。
有极限的函数就是有界函数吗?有界函数是必须同时有上下两个界的吗?
有极限不一定有界，比如函数y＝1\/x，极限是0但是无界。有界函数必须即有上界又有下界。一个函数f(x)有界等价于存在M(≥0)，使得对任意的x属于其定义域总有：|f(x)|≤M。根据上面的有界定义，显然可以看出M，-M分别为其一个上界和下界。另外根据确界原理我们还有：只要有上界就一定是存在其上确界...
有极限的函数就是有界函数吗?有界函数是必须同时有上下两个界的吗?
函数有极限不一定意味着它是有界函数。例如，函数y = 1\/x的极限是0，但它是一个无界函数。一个有界函数必须同时具有上界和下界。一个函数f(x)被认为是有界的，当存在一个正常数M，使得对于任意x在其定义域内，都有|f(x)| ≤ M。根据上述有界的定义，很明显M和-M分别对应函数的上界和下界。根...
极限和有界的关系是什么?
1，有界不一定有极限，例如振荡函数（正弦函数）。2，函数极限存在一定是有界的，既有下界，也有上界。（利用“单调有界必有极限”的原理去证明数列（在N⇒∞时）极限存在时，只需证明有下界（单调递减）或者有上界（单调递增）。3，级数的部分和极限存在，则该级数收敛。4，如果级数收敛，则一...
有极限的函数就是有界函数吗?有界函数是必须同时有上下两个界的吗?
1）（要指明）在某点有极限的函数未必是有界函数,只能是在某点“局部”有界的.2）有界函数是必须同时有上下两个界的!注：对函数来说,“有界” 是一个整体概念,而在某点有极限的函数只能保证 “局部” 的有界性,而不是整体的有界性.这一点和数列不一样.
什么情况下极限存在一定有界?
极限和有界性之间存在一定的关系。下面是一些常见的情况：1. 如果一个函数在某一点的极限存在，则该函数在该点附近可能有界。如果函数在某一点的极限存在且有限（有一个有限的极限值），则可以推断该函数在这个点附近是有界的。也就是说，存在一个范围，函数在这个范围内的取值是有限的。2. 如果一个...
为什么有极限就一定有界,有界不一定有极限
有极限就一定有界：因为极限就是界。有界不一定有极限：因为存在一种“无限接近”或者说“无限趋向于”的说法。
有界和有极限是一个意思吗
不是，有界不一定有极限，有极限也不一定有界，有界是针对某一区间而言的，有极限则是针对未知数趋于某一值或无穷大而言，是不同的概念
极限存在一定有界吗?
结果不一定。例如：f极限存在，且为0，g（x）=sinx，sinx是有界，故f*g是无穷小乘以有界，极限存在且为0。设h（x）极限为无穷，则f*h是0*无穷的未定式，极限不一定存在。设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a...
函数有界一定是有极限吗?
函数的局部有界性是指函数在极限点的邻域内有界，而在整个定义域上并不一定有界。数列其实可以看作是一个离散的函数，但数列求极限是总是令N趋向于无穷大。而函数求极限则不然，因此数列的有界性是对于整个数列而言的。举例 一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。例如：y=x+6在［1，2]上有最小...
湛纯奥维：[答案] 有极限一定有界, 你所说的1/x有极限是指x趋向于无穷大,极限为0,也有界; 而x趋向于0,1/x趋向于无穷大,没有极限,无界 一定要注意变量的趋向
嵩县15882388194： 有极限的函数不一定有界 - ？
湛纯奥维：[答案] 有极限的函数只是表明它在所论极限的点的附近是有界的,例如lim{x->x0}f(x)=A表明在x=x0的某个邻域内f(x)是有界的,但是f(x)在其定义域内未必有界,例如lim{x->0}e^x=1,函数e^x在x=0的某个邻域例如(-1,1)内有界:e^x
嵩县15882388194： 存在极限的函数都为有界函数? - ？
湛纯奥维：[答案] 存在极限的函数不一定都为有界函数,比如y=1/x,x趋于无穷大时,极限是0.它不是有界函数.
嵩县15882388194： 有极限的函数必有界,有界的函数不一定有极限 求解释 - ？
湛纯奥维：[答案] 有极限说明它会趋于一个定值,那肯定不会趋向无穷大,所以必有界;而有界表示不会趋向无穷大,但不一定会趋于一个定值,可以在一些位置上来回波动,比如(-1)^n,一直在-1和1之间波动,没有极限.
嵩县15882388194： 有极限的函数就是有界函数吗?有界函数是必须同时有上下两个界的吗? - ？
湛纯奥维：[答案] 1)(要指明)在某点有极限的函数未必是有界函数,只能是在某点“局部”有界的. 2)有界函数是必须同时有上下两个界的! 注:对函数来说,“有界” 是一个整体概念,而在某点有极限的函数只能保证 “局部” 的有界性,而不是整体的有界...
嵩县15882388194： 有极限的函数一定有界吗?? - ？
湛纯奥维： 举个例子啊 lim(x→X)f(x)存在,存在δ>0时f(x)在X的去心邻域中有界,那怎么又有当x→∞函数极限有界,这不是与书中定义中的x→X矛盾吗? x→X,是一般的写法,代表某个极限过程. x→∞函数极限有界指的是:如果lim(x→∞)f(x)存在存在,则存在某个正数 M,当x>M时,f(x)有界. 希望采纳
嵩县15882388194： 极限函数,有极限就一定有界吗 - ？
湛纯奥维： 不一定有界.反比例函数无界.
嵩县15882388194： 变量有极限一定有界,对吗?为什么? - ？
湛纯奥维： 对数列来说,正确.有极限就有界. 对函数来说,只是局部有界.比如(0,1)中的函数f(x)=1/x,在其中任何点的一个邻域有界,但整体无界.
嵩县15882388194： 数列要有极限,则一定有界 为什么? - ？
湛纯奥维：[答案] 数列有极限必有界. 证明: 若an→a, 那么有对所有的e>0,存在自然数N, 当n>N,时 |an-a|就是说 n>N时 a-e对于n取M=max{a+e,ai} m=min{a-e,aj} 那么M,m分别是an的上界和下界 所以an有界. 这就说明了数列有极限必有界.
嵩县15882388194： 有界和有极限是一个意思吗在函数和数列中,有极限和有界是一个意思吗? - ？
湛纯奥维：[答案] 不是,有界不一定有极限,有极限也不一定有界,有界是针对某一区间而言的,有极限则是针对未知数趋于某一值或无穷大而言,是不同的概念
