如何求∫xcos^2xdx？
作者&投稿：嬴英 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
方法一：换元积分法
令 u = xcosx, du = (cosx - xsinx) dx，那么：
∫xcos^2xdx = ∫u^2/(u^2 + sin^2x) du
= ∫(u^2 + sin^2x - sin^2x)/(u^2 + sin^2x) du
= ∫(1 - sin^2x/(u^2 + sin^2x)) du
= ∫1 du - ∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du
= u - ∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du
然后，对 ∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du 进行换元积分，令 v = u/sin^2x，dv = (cos^2x - 2u/(sin^2x)^2) du，那么：
∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du = ∫1/(v^2 + 1) dv
= arctan v + C
将 u 和 v 代入上式，得到：
∫xcos^2xdx = xcosx - ∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du
= xcosx - arctan(u/sin^2x) + C
= xcosx - arctan(xcosx/sin^2x) + C
方法二：分部积分法
令 u = x, dv = cos^2xdx，那么：
∫xcos^2xdx = ∫u dv
= uv - ∫v du
= xcosx - ∫cos^2xdx
= xcosx - ∫(1 + cos2x)/2 dx
= xcosx - (x/2) - ∫cos2x/2 dx
= xcosx - (x/2) - (1/4)∫(cos4x + cos2x)/2 dx
= xcosx - (x/2) - (1/8)∫cos4x dx - (1/8)∫cos2x dx
= xcosx - (x/2) - (1/32)sin4x - (1/16)sin2x + C
= xcosx - (x/2) - (1/16)(sin2x - cos2x) + C
= xcosx - (x/2) - (1/16)sin2x + (1/16)cos2x + C
因此，∫xcos^2xdx = xcosx - (x/2) - (1/16)sin2x + (1/16)cos2x + C.
本题是不定积分基本练习题，具体步骤如下:
∫ⅹcos^2xdx
=∫x(1+cos2x)dx/2
=(1/2)∫xdx+(1/2)∫xcos2xdx
=(1/2)*(1/2)*x^2+(1/4)∫ⅹcos2xd2x
=(1/2)*(1/2)*x^2+(1/4)∫ⅹdsin2x
=(1/4)ⅹ^2+(1/4)ⅹsin2x-(1/4)∫sin2xdx
=(1/4)ⅹ^2+(1/4)ⅹsin2x-(1/8)∫sin2xd2x
=(1/4)ⅹ^2+(1/4)ⅹsin2x+(1/8)cos2x十C。
本题主要用到分部积分法和三角函数的求导公式。
∫xcos^2xdx
=0.5∫x （1+cos2x）dx
=0.5∫（x +x cos2x）dx
=0.25 x^2 +C_1 +0.5∫ x cos2x dx
=0.25 x^2 +C_1 +0.25x sin 2x + 0.125 cos2x + C_2
=0.25 x^2 +0.25x sin 2x + 0.125 cos2x + C(其中C为常数)
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1. 双阙 :***很文言文,穿越成婴儿,这个小说节奏很慢的,文字很考据2. 牵情:***在穿越文中算短的了,还可以3. 贱妾:***女主很强,穿越文,有情节,值得一看4. 绾青丝 :***不用说了,经典5. 帝王业 :***经典皇宫争斗,很大气6. 美人殇 :***女主穿越到三国年间,成了一个婴儿,里面挺虐的,最后和爱人回...
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线宁金复：[答案] cos^2 x=(cos2x+1)/2 ∫ xcos^2 xdx =∫ x(cos2x+1)dx/2+C=(∫xcos2xdx+∫xdx)/2+C=(∫xdsin2x+x^2)/4+C =(xsin2x-∫sin2xdx+x^2)/4+C=(2xsin2x+cos2x+2x^2)/8+C
方正县19517392589： 求不定积分∫COS^2根号xdx - ？
线宁金复： 令t=根号x 再将cos^2=(1+cos2x)/2带入就会得到(1/2)t^2-1/4|cos2t*tdt如果我没算错,最终得到(1/2)t^2+(t/2)sin2t+(1/4)cos2t+c
方正县19517392589： 求不定积分∫xcos(x^2)dx - ？
线宁金复：[答案] ∫xcos(x^2)dx =∫cos(x^2)(xdx) =∫cos(x^2)(d(x^2)/2) =(1/2)∫cos(x^2)d(x^2) =(1/2)sin(x^2)+C
方正县19517392589： ∫sinxcos^2xdx= 急用啊!!!! - ？
线宁金复： ∫sinxcos^2xdx=- ∫cos^2xdcosx= 1/3cos^3x
方正县19517392589： 复合函数微积分例如∫3^2xdx怎么求 - ？
线宁金复： ∫3^(2x)dx=½∫3^(2x)d(2x)=½·(1/ln3)·3^(2x)+C=3^(2x)/(2ln3)+C 积分题目的计算,关键是掌握各类公式.如果不知道公式,很多情况下会一头雾水,无法解答.
方正县19517392589： 用凑微分法计算定积分cos^2xdx - ？
线宁金复：[答案] ∫cos^2xdx =∫(1+cox2x)/2dx =1/2∫dx+1/4∫cos2xd(2x) =1/2*x+1/4*sin2x+C
方正县19517392589： 求∫xcos^2xdx等于多少,上限是2π,下限是0.谢谢!! - ？
线宁金复： 先利用积化和差公式: sin(a)cos(b) = (1/2)[sin(a+b) + sin(a-b)] ∴sin(2x)cos(3x) = (1/2)[sin(2x+3x) + sin(2x-3x)] = (1/2)[sin5x + sin(-x)] = (1/2)(sin5x - sinx) ∴∫ sin(2x)cos(3x) dx = (1/2)∫ sin(5x) dx - (1/2)∫ sinx dx = (1/2)(1/5)∫ sin(5x) d(5x) - (1/2)∫ sinx dx = (1/10)(-cos(5x)] + (1/2)cosx + c = (1/10)[5cosx - cos(5x)] + c
方正县19517392589： ∫(cotx)^2·x dx 怎么求啊 - ？
线宁金复： 1/4x-1/2=3/41/4x=3/4+1/21/4x=5/4 x=5/4÷1/4 x=5对啊 简单来说,就是一个x对应一个y 且一个y对应一个x是不是内部
方正县19517392589： 求不定积分 ∫xln^2xdx - ？
线宁金复： ∫xln^2xdx=1/2*x²ln²x-1/2*x²lnx+1/4*x²+C.C为积分常数.解答过程如下:∫xln^2xdx=1/2∫ln²xdx²=1/2*x²ln²x-1/2∫x²dln²x=1/2*x²ln²x-1/2∫x²*2lnx*1/xdx=1/2*x²ln²x-1/2∫lnxdx²=1/2*x²ln²x-(1/2*x²lnx-1/2∫x²dlnx)=1/2*x²ln²x-1/...
方正县19517392589： 求不定积分∫COS^2根号xdx - ？
线宁金复：[答案] 令t=根号x 再将cos^2=(1+cos2x)/2带入 就会得到(1/2)t^2-1/4|cos2t*tdt 如果我没算错,最终得到(1/2)t^2+(t/2)sin2t+(1/4)cos2t+c
