一道数学证明题
有条定理是
直角三角形中
斜边上的中线等于斜边的一半
设AB
CE
相交于F
所以
DC=BC
角BCD=角B
角ECD+角BCD=角ECD+角B=角ECD+90-角A=角BCE=45
得
角ECD=角A-45
角E=90-角DFE=90-(180-角A-角ACE)
角ACE=45
得
角E=角A-45
所以
角E=角ECD
所以
DC=DE
解：因为y=kx+b的图像经过A(-2,-1),B(1,3)两点
所以
-2k+b=-1
k+b=3
解得：k=4/3,b=5/3
所以直线解析式为y=4/3x+5/3
△AOB的面积=1/2*5/3*(2+1)=5/2
因为OA=根号5，OB=根号10
过B作AO的垂线，交延长线于点D
则1/2*(根号5)*BD=5/2
所以BD=根号5
因为OB=根号10
所以角BOD=45度
所以角AOB=135度
例2
、如图,以锐角ΔABC的一边BC为直径作⊙O,过点A作⊙O的两条切线,切点为M、N,点H是ΔABC的垂心.求证:M、H、N三点共线。(96中国奥数)
证明:射线AH交BC于D,显然AD为高。
记AB与⊙O的交点为E,易知C、H、E三点共线。
联结OM、ON、DM、DN、MH、NH,
易知
,
∴A、M、O、D、N五点共圆,更有A、M、D、N四点共圆,
此时,
因为
(B、D、H、E四点共圆),
即
;又
,所以
,故
同理,
。
因为
,所以,M、H、N三点共线。
3、利用面积法
如果
,点E、F位于直线MN的异侧,则直线MN平分线段EF,即M、N与EF的中点三点共线。
例3
、如图,延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E,延长边AD、BC交于点F,又
M、N、L分别是AC、BD、EF的中点,求证:M、N、L三点共线。
证明:设BC的中点为O,辅助线如图所示,
由
可知,
点O必在
内,此时,
同理,
。
因此
。此时,直线MN平分EF,即M、N、L三点共线。
注:利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。
4、利用同一法
尽管同一法是一种间接证法,但它却是一各很有用的证法,观察例4后,你会感到,同一法在证明三点共线问题时,也有其用武之地。
例4
、如图4(a),凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切,切点分别为P、M、Q、N,设PQ与
MN交于S,证明:A、S、C三点共线。
证明:如图4(b),令PQ与AC交于
,
易证
互补。
而
,则
,
故
。再令MN与AC交于
。同理可得
但
,所以
。利用合比性质得,
。
因此,
,可断定
与
必重合于点S,故A、S、C三点共线。
注:观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线;换言之,AC、BD、PQ、MN四线共点。
5、利用位似形的性质
如果
与
是两个位似三角形,点O为位似中心,那么不仅A、
、O;B、
、O;C、
、O分别三点共线,而且
、
的两个对应点与位似中心O也三点共线,位似形的这种性质,对于证明三点共线,颇为有用。
例5、如图,
内部的三个等圆⊙
、⊙
、⊙
两两相交且都经过点P,其中每两个圆都与
的一边相切,已知O、I分别是
的外心、内心,证明:I、P、O三点共线。
证明:联结
、
、
。由已知得
、
、
。
可断定
与
是一对位似三角形,
且易知
的内心I是两者的位似中心。
因为⊙
、⊙
、⊙
为等圆,
即
,
所以点P是
的外心。又点O是
的外心,故P、O两点是两个位似三角形的对应点,利用位似形的性质,即得I、P、O三点共线。
6、
利用反证法
有的几何题利用直接证法很难,而用反证法却能很快达到预期目的。
例6、如图,梯形ABCD中、DC//AB,对形内的三点
、
、
,如果到四边距离之和皆相等,那么,
、
、
三点共线,试证之。
证明:先看
两点,
设直线
分别交AD、BC于M
、N,
于
,
于
,
于
,
于
。
因为DC//AB,则点
到AB、CD的距离之和等于点
到AB、CD的距离之和。由已知可得
。过点
作AD的平行线、过点
作BC的平行线得交点P(由于AD与BC不平行)。记
交
于G,
交
于H。
观察上式有
。所以,
。
因为
有两条高
,所以,
是等腰三角形,则
。
故
。
再用反证法证明点
一定在
上:假设点
不在
上,联结
并延长分别交AD、BC于
,易知点
在MN的异侧;因为点
到AD、BC的距离之和等于点
到AD、BC的距离之和,由上述证明过程知必有
。
事实上,观察图形只能得到
,矛盾,这说明点
必在
上,即MN上,因此
、
、
三点共线。
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