高一年级数学《集合》知识点总结
【一】
一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:N,Z,Q,R,N*
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对x∈A都有x∈B,则AB(或AB);
2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或,且)
3)交集:A∩B={xx∈A且x∈B}
4)并集:A∪B={xx∈A或x∈B}
5)补集:CUA={xxA但x∈U}
注意:①?A,若A≠?,则?A;
②若,,则;
③若且,则A=B(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
5.交、并集运算的性质
①A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
【例1】已知集合M={xx=m+,m∈Z},N={xx=,n∈Z},P={xx=,p∈Z},则M,N,P满足关系
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合M:{xx=,m∈Z};对于集合N:{xx=,n∈Z}
对于集合P:{xx=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P,故选B。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:M={…,,…},N={…,,,,…},P={…,,,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
=∈N,∈N,∴MN,又=M,∴MN,
=P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以选B。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合,,则(B)
A.M=NB.MNC.NMD.
解:
当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B
【例2】定义集合A*B={xx∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为
A)1B)2C)3D)4
分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵A*B={xx∈A且xB},∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。
变式1:已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为
A)5个B)6个C)7个D)8个
变式2:已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个.
【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={xx2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A
∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,
∴∴
变式:已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.
解:∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={xx2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴
又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={xx>-2},且A∩B={x1
分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。
解答:A={x-21}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B,而(-∞,-2)∩B=ф。
综合以上各式有B={x-1≤x≤5}
变式1:若A={xx3+2x2-8x>0},B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。
解答:M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM
①当时,ax-1=0无解,∴a=0②
综①②得:所求集合为{-1,0,}
【例5】已知集合,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若,在内有有解
令当时,
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1.下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}
⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数
(A)4(B)5(C)6(D)7
2.集合{1,2,3}的真子集共有
(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个
3.集合A={x}B={}C={}又则有
(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一个
4.设A、B是全集U的两个子集,且AB,则下列式子成立的是
(A)CUACUB(B)CUACUB=U
(C)ACUB=(D)CUAB=
5.已知集合A={},B={}则A=
(A)R(B){}
(C){}(D){}
6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为
{1,2,3}或{3,2,1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};(4)集合{}是有限集,正确的是
(A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3)
(C)只有(2)(D)以上语句都不对
7.设S、T是两个非空集合,且ST,TS,令X=S那么S∪X=
(A)X(B)T(C)Φ(D)S
8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a
数学中,什么叫做集合
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高中数学一年级集合的交、并(详见内)
当(p+2)^2\/4-1<0,集合A为空集,A交R+=空集,条件成立,则有,-4<p<0,---(1)当(p+2)^2\/4-1≥0,此时,p≤-4,p≥0时,A交R+=空集,则有,x的两根最大值都应该小于等于0,则有,根号下【(p+2)^2\/4-1】-(p+2)\/2≤0,且当p+2≥0时,两边平方,不等式不改变...
小学一年级数学整体与部分的概念
小学一年级数学整体与部分的概念:总体是一个集合,整休是一个子集,子集是集合中的一部分,集合包含子集,子集做为整体的个体存在。整体教学法是一种以“教学整体”为工具,利用“教学整体”的知识性与功能性相统一的特征,规范学生的思维模式,帮助学生体验人生,把握科学知识,控制学习进度,达成学习目标...
...表示单个物体,也可以表示一个集合,什么意思这句话,一年级数学的
“1”可以表示1个萝卜、1朵花这些单个的物体,可以表示1筐萝卜、1个班级这样的一群物体一个集合,也可以表示1座山、1条河这些很大的物体,还可以表示1滴水、1粒米这样很小的物体。
举例说明在小学数学教学中如何渗透集合的概念
这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用1、子集思想在小学数学教学中的应用教学数的大小这一问题时,就可以应用子集思想。如北师大版二年级(下册)第36页试一试中,给出一些数,组成一个数的集合,元素有387、99、809、 345、1725、4300...
一年级数学几个表示物体个数的多少,第几则表示物体的排列
几个表示物体个数的多少,第几则表示物体的排列(次序)。在数学上,基数(cardinal number)是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。集合论基本概念之一,是日常使用的第一、第二等...
一年级数学中的数的基数和序数是什么意思
基数:在数学上,基数(cardinal number)是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。序数:集合论基本概念之一,是日常使用的第一、第二等表示次序的数的推广。序数概念是建立在良序集...
一年级数学题 方格里边填什么数
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高中一年级有关集合的概念问题.
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一年级数学大括号问题怎么讲解?
一年级数学大括号问题可以这样讲解:加法问题:左边问号代表的是总数,用加法计算。减法问题:上面一侧的尖尖角代表的是总数,用减法计算。例如:大括号下面有问号,问的是把两部分合在一起,用加法计算;大括号上面一侧有问号,问的是从总数中去掉一部分,还剩多少,用减法计算。集合表示:大括号可以用来...
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双昌易使: 集合具有某种特定性质的事物的总体. 这里的“事物”可以是人,物品,也可以是数学元素.例如: 1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~. 2、数学名词.一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~. 3、口号等等.集合在数学...
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双昌易使: 作为高中数学的一种基本语言及工具,几乎为每年高考的必考内容,多以选择题出现,分值约占总分的3%-5%,多与函数、不等式、数列等知识联系而命制小型综合题,根据新课标考试大纲的要求,集合关系与集合运算为考试重点,因此既要牢固掌握集合基本概念与运算,又要加强集合与其他数学知识的联系,以上来自德智教育网
日喀则地区13740045262: 高一数学(集合)知识概念总结 -- 结构图. - ?
双昌易使: 集合 1.集合的概念与表示方法A.概念~~~~B.表示方法 a.列举法 b.描述法 c.图示法 2.集合间的关系A.包含---子集与真子集B.相等 3.集合的运算A.交集B.并集C.补集 4.集合的应用---不等式的解集A.含绝对值不等式B.一元二次不等式C.简单分式不等式把上面的画成网络式,再把书中对应的内容填上就行了.
日喀则地区13740045262: 高一数学 集合的笔记 - ?
双昌易使: 集合与函数知识点归纳 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为 ; ②空集是任何集合的子集,记为 ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果 ,同时 ,那么A = B. 如果 那么 . [注] Z= {...
日喀则地区13740045262: 高一数学中的第一章知识总结光需要关于集合的知识点 - ?
双昌易使:[答案] 一、准确地把握集合的概念,熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题 概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显著特点,例如交集、并集、补集的概念及其表示方法,集合与元素的关系及其表示方法,集合与集合的关系及其表示方法,子集、...
日喀则地区13740045262: 有关高一数学集合的知识点儿 - ?
双昌易使: 构成集合的元素的概念; 元素与集合的属于关系的概念; 还有集合与集合包含与被包含概念; 集合与集合的交集、并集及补集的概念; 差不多的概念都在这里了,还有不足等日后不上.