已知函数f（x）是定义域为R，且?∈x，y∈R都有：f（x?y）=xf（y）+yf（x），且f（2）=2，若数列{an}满足a

设函数f（x）对于任意x,y∈R,都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且f（x）在区间[0,＋∞~

（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）⇒f（0）=0．
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
2)由(1)知（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）任取x1＜x2，则x2-x1＞0．⇒f（x2-x1）＜0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴y=f（x）在R上为减函数．
f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1)>f(-1)=-f(1)=2

x²-1+x<-1. -1<x<0

（Ⅰ）f（x）是奇函数，令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）．故函数f（x）是奇函数，（Ⅱ）证明：令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，∵f（xy）=xf（y）+yf（x），∴x≠0时，f（x?1x）=xf（1x）+1xf（x）=0∴f（1x）=-1x2f（x），∴?x，y∈R且y≠0，f（xy）=f（x?1y）=xf（1y）+1yf（x）=-xy2f（y）+1yf（x）=yf(x)?xf(y)y2；∴?x，y∈R且y≠0：f（xy）=yf(x)?xf(y)y2；（Ⅲ）∵a1=f（2）=2 且f（xy）=xf（y）+yf（x）． 令x=2，y=2n-1，∴f（2n）=f（2?2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，即an=2an-1+2n（n≥2），∴an2n＝an?12n?1+1，∴{an2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an2n=1+（n-1），即an=n?2n．

因为对任意x，y∈R，f（x?y）=xf（y）+yf（x）成立，令x=y=1可得f（1）=0，
令x＝

1

2

，y＝2可得f(1)＝2f(

1

2

)+

1

2

f(2)，得f(

1

2

)＝?

1

2

，
∴an+1＝

f(2?(n+1))

n+1

＝

f(2?n× 1 2 )

n+1

=

2?nf( 1 2 )+ 1 2 f(2?n)

n+1

＝

? 1 2 ×2?n+ nan 2

n+1

得2(n+1)an+1＝?

1

2n

+nan得  (n+1)2n+1an+1?n2nan＝?1
所以数列{n2ⁿa_n}是等差数列，公差为-1，首项为2a₁=-1，
故n2ⁿa_n=-n，
得an＝?

1

2n

故答案为：?

1

2n

．

---

杨凌区17185678581： 已知函数f(x)的定义域为R,且满足 f(x)是偶函数,f(x - 1)为奇函数,若f(1)=9.则f - ？
凌奚珍珠： 因f(x 1)与f(x-1)都是奇函数,故: f(x 1)=-f(-x 1) f(x-1)=-f(-x-1) 从而 f(x)=-f(-x 2) f(x)=-f(-x-2) 进而 f(-x-2)=f(-x 2) 也即 f(x)=f(x 4),换句话说,f(x)是以t=4为周期的函数 由于:f(x 3)=f(x 3-t)=f(x-1)=-f(-x-1)=-f(-x-1 t)=-f(-x 3) 所以f(x 3)是奇函数,d正确

杨凌区17185678581： 已知函数y=f(x)的定义域为R, - ？
凌奚珍珠： 因为F(2+X)=F(2-X) 所以F[2+(2+X)]=F[2-(2+X)] 所以F(4+X)=F(-X) 因为f(x)是偶函数,F(4+X)=F(-X)=F(X) 所以T=4 F(X)=F(X-4)=2x-1 x∈[0,2]则X-4∈[-4,-2] F(X-4)=2(x-4)+7 所以当X∈[-4,-2]时 F(X)=2X+7 因为偶函数 F(X)=F(-X)=2X-1 x∈[0,2]则-X∈[-2,0] F(-X)=2X-1=-2(-X)-1 所以当X∈[-2,0]时F(X)=-2X-1 总上所述 F(X)=2X+7,X∈[-4,-2];F(X)=-2X-1,X∈[-2,0] 完整吧,我自己做哪儿有那么多麻烦,呵呵

杨凌区17185678581： 已知函数y=f(x)的定义域是R,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),并且当x>0时,f(x)<0恒成... - ？
凌奚珍珠： 设x1>x2,f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=[f(x1-x2)+f(x2)]-f(x2)=f(x1-x2),因x1-x2>0,则f(x1-x2)

杨凌区17185678581： 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(X)=x(x - 1).求函数f(X)的解析式 - ？
凌奚珍珠： 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0 当x<0时,f(-x)=(-x)(-x-1)=x(x+1)=-f(x),f(x)=-x(x+1) 所以,答案是分段函数.

杨凌区17185678581： 已知函数f(x)是定义域在R上的非常值函数 且对于任意的实数x,y满足f(xy)=f(x)*f(y) - ？
凌奚珍珠： (1)令x=y=1,代入得到f(1*1)=f(1)*f(1),所以解得f(1)=1或者f(1)=0.若f(1)=0,对于任意x,f(x)=f(x*1)=f(x)*f(1)=0,与f(x)是非常值函数矛盾,所以f(1)=1.同理,令y=0,代入得到f(x*0)=f(x)*f(0),所以f(0)=f(0)*f(x),由于f(x)是非常值函数,所以f(0)=0....

杨凌区17185678581： 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+无穷)内的零点(函数值为零的点)有1005个,则f(x)的零点...已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,... - ？
凌奚珍珠：[答案] 奇函数关于原点对称,在左右两边有零点1005*2=2010 加上原点处所以有2011个零点

杨凌区17185678581： 已知函数f(x)的定义域为R - ？
凌奚珍珠： f(x+2)-f(x+1)+f(x)=0 f(x+2)=f(x+1)-f(x) 而:f(x+1)-f(x)+f(x-1)=0 所以:f(x+2)=f(x+1)-f(x)=-f(x-1) f(x-1)=-f(x-4) 所以f(x+2)=f(x-4) 即函数周期为6 所以:f(2008)=f(6*334+4)=f(4) f(1)=1/2,f(2)=1/4 f(x-1)=-f(x-4) 令x=5 f(4)=-f(1)=-1/2 所以:f(2008)=f(6*334+4)=f(4)=-1/2

杨凌区17185678581： 已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立,证明:函数y=f(x)是奇函数令:x=y=0代入可得:f(0)=f(0)+f(... - ？
凌奚珍珠：[答案] 就是用代入法啊 f(0)=f(0)+f(0),就是f(0)=2f(0) 所以f(0)=0,能理解吗 令y=-x代入可得:f(x-x)=f(x)+f(-x), x-x=0即f(x)+f(-x)=0 移项得f(-x)=-f(x) 课本上定义了满足f(-x)=-f(x) 就是奇函数 慢慢来,这种题目做多了理解的,会通的

杨凌区17185678581： 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(X)=x(x - 2) - 1.求函数f(X)的解析式. - ？
凌奚珍珠：[答案] 当x=0时,f(0)=0 当x0 所以f(x)=-f(-x)=-[-x(-x-2)-1]=-(x²+2x-1) f(x)=-x²-2x+1 f(x) 是一个分段函数 x >0时,f(X)=x(x-2)-1 x=0时,f(0)=0 x

杨凌区17185678581： 已知函数f(x)的定义域为R,且满足:f(x)是偶函数,f(x - 1)是奇函数,若f( - 0.5)=9,则f(2012)+f - ？
凌奚珍珠： ∵f(x)是偶函数,f(x-1)是奇函数,∴f(-x)=f(x),f(-x-1)=-f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期是4,∴f(2012)+f(2014)+f(2.5)+f(1.5)=f(0)+f(2)+f(-1.5)+f(1.5)=f(0)+f(2)+2f(1.5),当x=0时,f(2)=-f(0),即f(0)+f(2)=0,当x=-0.5,f(-0.5+2)=-f(0.5)=-9,即f(1.5)=-9,∴f(2012)+f(2014)+f(2.5)+f(1.5)=f(0)+f(2)+2f(1.5)=0-9*2=-18. 故选:A