已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-qan1-q(n∈N*)其中q为非...
当n=1时,(1-q)S1=2-qa1⇒a1=2
当n≥2时,(1-q)Sn-(1-q)Sn-1=qan-1-qan⇒an=qan-1
∴{an}是以2为首项,公比为q的等比数列.
(Ⅱ) 当q=13时,由(1)得 an=2(13)n-1
又 f(x)=12x2+2x-12,∴f′(x)=x+2
由bn+1=f′(bn)得bn+1=f′(bn)=bn+2
∴{bn}是以2为首项,公差为2的等差数列,
故bn=2n
∴cn=112anbn=n(13)n
Tn=n(b1+bn)2=n(n+1),
Bn=1T1+1T2+…+1Tn=11×2+12×3+…+1n(n+1)=1-1n+1
An=c1+c2+…+cn=1•13+2(13)2+…+n(13)n…①
∴13An=1•(13)2+2(13)3+3(13)4+…+(n-1)(13)n+n(13)n+1…②
①-②得∴23An=1•(13)1+(13)2+(13)3+…+(13)n-n(13)n+1
=13(1-13n)1-13-n(13)n+1=1-13n2-n(13)n+1
∴43An=1-13n-2n3•13n
∴43An-Bn=1-13n-2n3•13n-1+1n+1=1n+1-2n+33n+1=3n+1-(2n2+5n+3)(n+1)•3n+1
当n=1时,43An-Bn=3n+1-(2n2+5n+3)(n+1)•3n+1=9-1018<0
∴43An<Bn
当n≥2时,
令g(x)=3x+1-(2x2+5x+3)
则g′(x)=3x+1ln3-(4x+5),g∥(x)=3x+1(ln3)2-4在[2,+∞)上为单调增函数,
∴g∥(x)=3x+1(ln3)2-4≥33(ln3)2-4>0
∴g′(x)=3x+1ln3-(4x+5)在[2,+∞)上为单调增函数,
g′(x)=3x+1ln3-(4x+5)≥33ln3-9>27-9>0
g(x)=3x+1-(2x2+5x+3)在[2,+∞)上为单调增函数,
∴当n≥2时,g(n)=3n+1-(2n2+5n+3)≥33-(2×4+10+3)>0
即当n≥2时,43An-Bn=3n+1-(2n2+5n+3)(n+1)•3n+1>0
∴当n≥2时,43An>Bn
又f′(x)=x+2>0对x≥0恒成立,
∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴当n=1时f(43An)<f(Bn)
当n≥2时f(43An)>f(Bn).
已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)\/2]的平方,求证数列{an}...
4an=[a(n)+1]²-[a(n-1)+1]²∴ 4a(n)=a(n)²+2a(n)-a(n-1)²-2a(n-1)∴ 2a(n)+2a(n-1)=a(n)²-a(n-1)²∴ 2[a(n)+a(n-1)]=[a(n)-a(n-1)]*[a(n)+a(n-1)]∵ an>0 ∴ 2=a(n)-a(n-1)∴ {an}是等差数...
已知等差数列{An}的前n项和为Sn,且S4=16,A4=7,求数列{An}的通项公式
解:(1)由题意得 因为{a n }是等差数列 所以当n+m=k+l时则a n +a m =a k +a l 所以S 4 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =2(a 1 +a 4 )=16 由∵a 4 =7 ∴a 1 =1 ∴d=2 所以数列{a n }的通项公式是a n =2n-1....
已知数列{A n}的前n项和Sn=3(n的平方)- n,bn=(根号an+根号an+1)分之...
解:A 1=S1=2 An=Sn-S(n-1)=3n²-n-[3(n-1)²-(n-1)]=6n-4 An-A(n-1)=6 所以数列{A n}是一个首项为2,公差为6的等差数列 bn=1\/[√(6n-4)+√(6n+2)]=[√(6n+2)]-√(6n-4)]\/2 ~...
已知等比数列{an}的前n项和为sn,s1=2,a2+1是a1与a3
数列{Sn+1}是公比为2的等比数列 S(n)+1=2^(n-1)(S1+1)=2^(n-1)(a1+1) ① S(n-1)+1=2^(n-2)(a1+1) ② ①-②得 an=2^(n-2)(a1+1) ,n≥2 a2=a1+1 a3=2(a1+1)a2是a1和a3的等比中项,故 a2^2=a1a3 (a1+1)^2=a1*2(a1+1)解得a1=1(a1=-1则a2=0不...
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,并且对任意正整数n都有Sn+2=4Sn+3...
解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,并且对任意正整数n都有Sn+2=4Sn+3成立,∴Sn+1=4Sn-1+3与Sn+2=4Sn+3两式相减得出:an+2=4an 即an+2an=4,∵等比数列{an} ∴q2=4,q=±2,当q=2时,a1×1-2n+21-2=4a1×1-2n1-2+3,a1=1,∴a2=2,当q=-2时,a1×1-(-2)n+...
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,令bn=1\/Sn,且a3b3=1\/2,S3+S5=21,求{...
解:由于数列an是等差数列,所以:(等差数列求和我喜欢用:(首项 + 末项)乘以项数\/2,你用公式法也可以)S3 = 3(a1 + a3)\/2 , S5 = 5(a1 + a5)\/2,都代入 S3 + S5 = 21,解出a5为:a5 = [ 42 - (8a1 + 3a3) ] \/5; (1)另外,根据bn = 1\/Sn, 所以b3 = 1\/S3,...
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=16,an=7 求数列an通项公式
a1n+(n-1)nd\/2=16(1)a1+(n-1)d=7(2)(1)化简 2a1n+(n-1)nd-32=0 a1=7-(n-1)d=7-nd+d 2(7-nd+d)n+(n-1)nd-32=0 14n-2n^2d+2nd+n^2d-nd-32=0 n^2d-nd-14n+32=0 dn^2-(14+d)n+32=0 n=[14+d+根(196+d^2-100d)]\/2d an={7-[14+d+根(196+...
已知等差数列{an}的前n项和为Sn.a3=7.S8=80.求数列an的通项公式
解:a3=7 a1+2d=7 ① S8=8a1+28d=80 a1+3.5d=10 ② 联立①、②,解得a1=3,d=2 an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1 数列{an}的通项公式为an=2n+1
已知数列an的前n项和为sn且满足a2=4 2sn=(n+1)
应该是2Sn=n A(n +1)吧 a1:2S1=1*a2,a1=S1=2 a3:2S2=2*a3,a3=S2=a1+a2=6 a4:2S3=3*a4,a4=2\/3S3=2\/3(a1+a2+a3)=8 可以猜想:an = 2n bn = (-1)^n * 2n Tn = b1+b2+b3+b4+...+b15 =-2+4 -6+8 ...-30 =(-2+4)+( -6+8) ...-30 =2+2...
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2等于3,S6等于36 求{an}通项公式 求...
(1)已知{an}是等差数列,故设{an}通项公式为an=a1+(n-1)k。因为S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a6)+(a2+a5)+(a3+a4)=3(a2+a5)=36 所以a2+a5=12,故a5=9 由a2=a1+k=3 a5=a1+4k=9得 k=2,a1=1。故an=2n-1(n∈N+)(2)设:bn=(an)\/(2^n) 【2^n表示2的n...
豆卢玛庆兴: (1)∵a1=4,(n+1)an+1=(n+3)an ∴an/a(n-1)=(n+2)/n a(n-1)/a(n-2)=(n+1)/(n-1) ..... a2/a1=4/2 ∴an/a1=(n+2)/n*(1/3*2)=(n+2)(n+1)/6 ∴an=(2/3)(n+2)(n+1) ∴bn=an/(n+1)=(2/3)(n+2) ∴b(n-1)=(2/3)(n+1) ∴bn-b(n-1)=2/3 ∴{bn}是公比为2/3的等比数列 ...
石阡县19361302122: 已知数列an 的前n项和为Sn...数学题! - ?
豆卢玛庆兴: s1=a1=2 1*a(2)=s(1)+1*2=2+2=4 a(2)=4 s(2)=a(1)+a(2)=6 2*a(3)=s(2)+2*3=6+6=12 a(3)=6猜想a(n)=2n因为a(n+1)=2(n+1) s(n)=2(1+2+3+...+n)=n(n+1) na(n+1)-sn-n(n+1)=2n(n+1)-n(n+1)-n(n+1)=0 即 na(n+1)=sn+n(n+1) 又a(1)=2*1=2 猜想得证
石阡县19361302122: 已知数列an的前n项和为sn,根据sn求数列的通项公式an,sn=2n^2 - 3n - 2 - ?
豆卢玛庆兴: 解决这类问题主要利用前n项和与项的关系 1) 当n=1时,a1=-3, 2) 当n>1时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2-2(n-1)2+3(n-1)+2=4n-5 所以所求通项为:an= -3,n=1 an=4n-5,n>1
石阡县19361302122: 已知等差数列{an}的前n项和为Sn... - ?
豆卢玛庆兴: a(m)=a(m-1)+d a(m)=a(m+1)-d 第一个条件等价于 2a(m)-a(m)^2=0推出 a(m)=0or2 a(1)=a(m)-(m-1)d a(2m-1)=a(m)+(m-1)d 以此类推,s(2m-1)=(2m-1)*a(m)=38 故,显然a(m)不为0,a(m)=2 故2m-1=19,m=10
石阡县19361302122: 已知数列{an}的前n项和为sn - ?
豆卢玛庆兴: (1) an=(sn+2)/2a1=(s1+2)/2s1=a1得 a1=2a2=(s2+2)/2s2=a1+a2得 a2=4 (2) 2an=sn+22a(n-1)=s(n-1)+22an-2a(n-1)=sn-s(n-1)=anan=2a(n-1)an=a1q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^nP(bn,b(n-1))在直线x-y+2=0上,则bn-b(n-1)=-2bn=b1+(n-...
石阡县19361302122: 已知数列an的前n项和为Sn - ?
豆卢玛庆兴:[答案] (1)由sn+s(n-1)=kan^2+2 (1)得s(n+1)+sn=ka(n+1)^2+2 (2)(2)-(1) 得a(n+1)+an=k[a(n+1)+an][a(n+1)-an]因为an>0,k>0 故a(n+1)-an=1/k{an}是等差数列,则an=1+(n-1)/k(2) 1/[an*a(n+1)]=k^2/[(n+k-1)(n+k)]=k^...
石阡县19361302122: 已知数列{an}的前n项和为sn,点(n,sn)(n∈N*)在函数y=x2的图象上,数列{bn}满足bn=6bn - 1+2n+1(n≥2 - ?
豆卢玛庆兴: 1.x=n y=Sn代入y=x² Sn=n² n=1时,a1=S1=1²=1 n≥2时,Sn=n² S(n-1)=(n-1)² an=Sn-S(n-1)=n²-(n-1)²=2n-1 n=1时,a1=2-1=1,同样满足通项公式 数列{an}的通项公式为an=2n-12.b1=a1+3=1+3=4 n≥2时,bn=6b(n-1)+2n+1 bn+(2/5)n ...
石阡县19361302122: 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3+2an,求an - ?
豆卢玛庆兴: 解:由题意可得:Sn=3+2an 所以Sn-1=3+2an-1 所以Sn-Sn-1=an=2an-2an-1 所以an=2an-1 所以an/an-1=2 又S1=a1=3+2a1,解得a1=-3 所以数列{an}是以a1=-3为首项,公比为2的等比数列 所以an=-3*2^(n-1) (n≥1)
石阡县19361302122: 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn - 1=0 - ?
豆卢玛庆兴: 解答:(1) an+2Sn*S(n-1)=0 即Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0 同时处以Sn*S(n-1) 即 1/S(n-1)-1/S(n)+2=0 即 1/S(n)-1/S(n-1)=2 即{1/Sn}是等差数列 (2) {1/Sn}的首项是2,公差是2 即1/Sn=2+2(n-1)=2n 即Sn=1/(2n) ① n=1时,a1=1/2 ② n≥2时,an=-2Sn*S(n-1)=-2*[1/(2n)]*[1/(2n-2)]=-1/[2n(n-1)]
石阡县19361302122: 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an - 2n(n∈N+),(1)求证数列{an+2}为等比数列;(2)若数列{bn} - ?
豆卢玛庆兴: (1)令n=1,由Sn=2an-2n可得a1=2. 再由Sn=2an-2n(n∈N+),可得 sn+1=2an+1-2(n+1), ∴sn+1-Sn =2an+1-2an-2,即 an+1=2an +2,故有 an+1+2=2(an +2 ), 故数列{an+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列. (2)由(1)知,an +2=4*2n-1...