证明两直线平行的所有方法

证明两直线平行的方法有多少?~

证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

1.平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。）
　　2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
　　3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
　　4.同位角相等，两直线平行。
　　5.内错角相等，两直线平行。
　　6.同旁内角互补，两直线平行。
　　在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
　　平行公理的推论：（平行传递性）　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
　　即平行于同一条直线的两条直线平行。

内错角相等
同旁内角互补
对顶角相等
都平行于某条线
都垂直与某条线

(1)同位角相等，两直线平行�(公理)

(2)内错角相等，两直线平行�(定理)

(3)同旁内角互补，两直线平行�(定理)

(1)两条直线平行，同位角相等�

(2)两条直线平行，内错角相等�

(3)两条直线平行，同旁内角互补�

由于每个问题的条件和结论交换所得到的新的问题不一定正确，如：“对顶角相等”是成立的，但它的反面问题“相等的角是对顶角”就不成立，又如：“两直线相交成直角，这两条直线互相垂直”，它的反面问题是“两条直线互相垂直，这两条直线相交所成的角是直角”，它们同时成立�

所以上面三条性质还不能说是正确的，因此只能说是猜想，即：

猜想(1)：两直线平行，同位角相等；

猜想(2)：两直线平行，内错角相等；

猜想(3)：两直线平行，同旁内角互补�

设l1‖l2，l3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小，你能发现什么关系?

答：∠1＝∠2�

平行线性质1(公理)：两直线平行，同位角相等�

下面运用这条公理去证明另外两个猜想成立�

已知：如图2—63(2)，直线AB，CD被直线EF所截，AB‖CD�

求证：∠1＝∠2�

证明：因为AB‖CD，(已知)

所以∠2＝∠3�(两直线平行，同位角相等)

因为∠3＝∠1，(对顶角相等)

所以∠2＝∠1�(等量代换)

已知：如图2—64，直线AB，CD被直线EF所截，AB‖CD�

求证：∠1+∠2＝180°�

证明：因为AB‖CD，(已知)

所以∠3＝∠2�(两直线平行，同位角相等)

因为∠3+∠1＝180°，(邻补角)

所以∠1+∠2＝180°�(等量代换)

在此基础上指出：猜想2和猜想3是成立的�并将前面的猜想2和猜3分别改为“平行线的性质2(定理)”和“平行线的性质3(定理)”�

三、平行线判定与性质的区别与联系

投影：将判定与性质各三条全部打出�

问：它们的区别和联系是什么?

可以从以下两个方面看�

1�从因果关系上看：

性质：因为两条直线平行，所以……�

判定：因为内错角相等，所以……�性质与判定的因果关系是相反的�

2�从所起作用上看：

性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补�

判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行，联系是：它们的条件和结论是互逆的，性质与判定要证明的问题是不同的�

四、应用举例变式练习(采用讲练结合方式教学)(四个例题供课堂选用)

例1 如图2—65，AB‖CD，AC‖BD�找出图中相等的角与互补的角�

此题一定要强调，哪两条直线被哪一条直线所截�

答：相等的角为：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8�互补的角为：∠BAC+∠ACD＝180°，∠ABD+∠CDB＝180°，∠CAB+∠DBA＝180°，∠ACD+∠BDC＝180°�

相等的角还有：∠ACD＝∠ABD，∠BAC＝∠BDC�(同角的补角相等)

例2 如图2—66�已知：AD‖BC，∠AEF＝∠B，求证：AD‖EF�

分析：(执果索因)从图直观分析，欲证AD‖EF，只需∠A+∠AEF＝180°，

(由因求果)因为 AD‖BC，所以 ∠A+∠B＝180°，又∠B＝∠AEF，所以∠A+∠AEF＝180°成立�于是得证�

证明：因为AD‖BC，(已知)

所以∠A+∠B＝180°�(两直线平行，同旁内角互补)

因为∠AEF＝∠B，(已知)

所以∠A+∠AEF＝180°，(等量代换)

所以AD‖EF�(同旁内角互补，两条直线平行)

例3 如图2—67，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB‖CD�

求证：∠1+∠2＝90°�

证明：因为AB‖CD，所以∠BAC+∠ACD＝180°，

又因为 AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，

所以∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACD，

故∠1+∠2＝1/2(∠BAC+∠ACD)

＝1/2×180°＝90°�

即∠1+∠2＝90°

1。没有公共点的两条直线互相平行
2。两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行.
3。 内错角相等，两直线平行.
4。 同旁内角互补，两直线平行.
5。平行于同一直线的两直线平行.
6，垂直于同一直线的两直线平行.
7。平行四边形的对边互相平行.
8。关于某点成中心对称的两个图形，对应线段互相平行.
9。同圆中夹等弧的两条不相交的弦互相平行.
10。斜率相等的两条直线平行.
11。线面平行，则线线平行.
12。一平面与两平行平面都相交，则交线平行.
13。垂直于同一平面的两直线平行.

1．平行线的判定公理（定理）

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简称“同位角相等，两直线平行”）．

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简称“内错角相等，两直线平行”）．

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（简称“同旁内角互补，两直线平行”）．

平行线还有以下一些判定和性质：

（1）平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

（2）平行线的传递性 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

（3）如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行．

1. 交叉角相等
2. 线段比例
3. 两内角和为180
4. 都垂直与某条线
5. 都平行于某条线

同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
同旁外角互补，两直线平行

---

博兴县19754021965： 证明两直线平行的方法 - ？
宥拜心脉：[答案] 1.平行线的定义(在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.) 2.平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行.3.在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.4.同位角相等,两直线平行.5.内...

博兴县19754021965： 证明两直线平行的方法有多少? - ？
宥拜心脉： 证明: 假设:在同一平面内 若第一条直线垂直与第二条直线 而不垂直与第三条 那么第二条直线一定与第三条直线相交 因为题目给出第二条直线和第三条直线是平行线 所以得出若一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么这条直线也和另一条垂直 证明完毕 (补充如果不是在同一平面内怎么方法不一样 那样两条平行线就应该是异面平行,单题目没有给出异面平行,所以按同一平面证明)

博兴县19754021965： 10种证平行的方法 - ？
宥拜心脉： 1,同位角相等 2, 内错角相等 3,与同一条直线平行 4,在同一平面内,垂直于同一条直线 5.一条直线上的任意一点到另一条直线上的距离相等 6.没有交点的两条直线平行(这个适合反证法) 7.同旁内角互补 8,如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.(这是高中学的) 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(高中)10.如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行(还是高中学的)答案其实有点牵强,证明平行可以从概念,推理出的结论来证明的

博兴县19754021965： 证明空间内两条直线平行的所有方法 - ？
宥拜心脉：[答案] 1、同位角相等,两直线平行 2、内错角相等,两直线平行 3、同旁内角互补,两直线平行

博兴县19754021965： 证明两直线平行的方法有多少?别人说有10个 - ？
宥拜心脉：[答案] 证明:假设:在同一平面内 若第一条直线垂直与第二条直线 而不垂直与第三条 那么第二条直线一定与第三条直线相交 因为题目给出第二条直线和第三条直线是平行线 所以得出若一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么这条...

博兴县19754021965： 证明空间内两条直线平行的所有方法 - ？
宥拜心脉： 1、同位角相等,两直线平行 2、内错角相等,两直线平行 3、同旁内角互补,两直线平行

博兴县19754021965： 数学中证明平行的方法有几种 - ？
宥拜心脉：[答案] 两条直线不相交,则两条直线平行.两条直线都分别于第三条直线平行,那么这两条直线平行.如果两直线分别与第三条条直线相交且同位角相等,两直线平行.如果连条直线分别于第三条直线垂直,两直线平行.

博兴县19754021965： 证明两直线平行的所有方法归纳(高中) - ？
宥拜心脉： 1. 交叉角相等 2. 线段比例 3. 两内角和为180 4. 都垂直与某条线 5. 都平行于某条线

博兴县19754021965： 能说明两条直线互相平行的方法 - ？
宥拜心脉： 内错角相等,两直线平行. 同旁内角互补,两直线平行. 同位角相等,两直线平行. 平行于同一条直线的两直线平行. 垂直于同一条直线的两直线平行.

博兴县19754021965： 证明平行的方法 - ？
宥拜心脉：[答案] 内错角相等,两直线平行.同位角相等,两直线平行.同旁内角互补,两直线平行