等积法在抛物线中的应用——2020年秋襄城区九年级数学期末第25题
探索抛物线中的等积法艺术——2020秋襄城区九年级期末压轴题解
等积法，如同魔术师手中的魔法，巧妙地将复杂问题简化为直观的面积转换。它以三角形面积公式为基石，通过对等底等高的三角形进行面积等量替换，揭示了几何世界中的平衡法则。在这道题目中，我们如何运用等积法来解开抛物线的秘密呢？
抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点A和B，构成了一幅独特的几何画卷。当OA=2OB，且抛物线对称轴为x=1/2时，每一个几何细节都蕴含着等积法的影子。题目要求我们通过等积法求解一系列问题，从解析式到特殊角度的判定，再到面积比例的探索。
(1) 解析抛物线的秘密
我们先从基础出发，利用中点定理找到A和B的坐标，进而求得a和b的值。设A为(2x,0)，B为(-x,0)，中点坐标为(1/2,0)，解出x=1，A和B坐标分别为(2,0)和(-1,0)。代入解析式，得a=-1，b=1，抛物线的神秘面纱就此揭开——y=-x²+x+2。
(2) 等角定理的启示
当∠AFO=90°时，我们需要找到一个几何上的关键点。观察到△AOC是一个等腰直角三角形，这为我们提供了线索。点F在AC中点时，∠AFO为直角，此时D的横坐标为1，D点坐标为(1,2)。这一步，等积法与直觉巧妙地结合，揭示了解题的关键。
(3) 等积法的挑战与解答
问题的难点在于确定三角形GCD的面积比例。设CD与AC的交点为Q，我们需要分析两个可能的面积比例——2：1或1：2。利用等积法，我们构造了辅助高GH，以及与AC平行的线段，分别对应两种情况。通过计算，我们发现当m=1、1-√3/2或1+√3/2时，△GCD的面积比例符合要求。
解题反思，等积法的优势在于它对特殊三角形的利用，尤其是在处理等腰直角三角形时，计算更为简洁。然而，它容易被割补法的直观性所掩盖。在教学中，我们应该鼓励学生跳出思维定势，尝试不同的解题策略，追求解决问题的最简途径，这对培养数学思维的灵活性和解决问题的能力至关重要。
数学之美，不只在于答案，更在于寻找答案的过程。等积法，就像一把钥匙，打开了抛物线世界里的一个个谜题，让我们在探索中领略几何的韵律和逻辑的和谐。
抛物线求积公式
抛物线求积公式：V=Cm（t－t0）。抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标...
抛物线面积计算公式
抛物线面积计算公式：S=x^2（1）y。抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的...
为什么抛物线上焦点弦的两个点的横坐标乘积为定值?
抛物线上焦点弦的两个点的横坐标乘积是定值p^2／4。解：设抛物线y^2＝2px，焦点是（p／2，0），则过焦点（p／2，0）的直线y＝k（x-p／2）。把y＝k（x-p／2）代入y^2＝2px中，得 [k（x-p／2）]^2＝2px，整理得k^2x^2-（k^2+1）px＋k^2p^2／4＝0，∴x1x2＝p^2／4...
在抛物线里最大的长方形面积,数学高人进!!
2x [(-1\/36)(x^2) + 36 ] = 面积, 2x 为在轴上的长方形长 0<x<36 根据因为这里x>0，-1\/36)(x^2) + 36>0 所以根据2xy≤x²+y²可知 2x [(-1\/36)(x^2) + 36 ]≤x²+[(-1\/36)(x^2) + 36 ]²当x=[(-1\/36)(x^2) + 36 ]时取等号 ...
抛物线中,ab的乘积大于零
这种题目的方法一般是利用根的作用 来求 设过P的直线为Y-2=kx 将其与抛物线连列 可以得到x1+x2的值 和x1*x2的值 再利用这两个结果可以解题
抛物线焦点三角形面积公式
P²／2Sina。任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点。那么△PAB称作阿基米德三角形。该三角形满足以下特性：1、P点必在抛物线的准线上 2、△PAB为直角三角形，且角P为直角 3、PF⊥AB（即符合射影定理）另外，对于任意圆锥曲线（...
高数题 定积分的几何应用 1、抛物线y=-x^2+4x-3与其在点(0,-3)(3...
先求抛物线的导函数y‘=-2x+4,然后把两点（0，-3）（3，0）各自代入，求得两个切点处切线的斜率分别为4和-2，代入两点，求得两条切线的方程分别为：y=4x-3 和y=-2x+6,两条切线交点为(3\/2,0)，以x为积分变量，x变动范围为[0,3\/2]，可以列出积分式：∫(0~3\/2)[(4x-3)-(-x^2...
在抛物线中,焦点弦被焦点分成的m和n两部分,如何求证mn的乘积为定值
若焦点为：（c，0）设焦点弦为：y=k(x-c)与抛物线方程组成方程组，求根，从而求交点(x1,y1)(x2,y2)，再计算两点间距离，求出(x1,y1)(x2,y2)到（c，0）的距离即mn，求比值。试试
抛物线的性质
（1）焦点 ，准线 ，设 ，则过P的切线方程为：令 ，得 ，所以 于是 ，易证二者数量积为0，因此有PF⊥QF。要证PQ平分∠APF，可通过全等三角形的判定方法HL证明Rt△APQ≌Rt△FPQ，得到对应角∠APQ=∠FPQ即可。HL是显然的，因为根据抛物线的定义，有PF=PA，而斜边PQ是公共边，因此两个三角形全等...
已知抛物线上三个点,在抛物线上再找一个点,使这四点围成的四边形面积...
下面再来谈谈这个问题：即在AB上方的抛物线上求一点P，使四边形ACBP的面积最大。解：四边形ACBP由△ABC和△ABP构成，△ABC的面积可以用上面的方法求出，是一定值，要使四边形ACBP的面积最大，必须△ABP的面积最大。现在的关键是如何求出点P的坐标，使△ABP的面积最大。如图，过点P作PG‖y轴交...
苍玛滋心： 两个三角形等底等高,则面积相等.由此可以推得:两个三角形高相等,底边成倍数关系,面积也成同样的倍数关系;同理,两个三角形底相等、高成倍数关系、面积也成同样的倍数关系.运用这些性质使题目简便得到解答,就叫做等积法.
安吉县17043361919： 如何应用等积变换解立体几何高考题 - ？
苍玛滋心： 等积变换是立体几何中的一种重要方法.高考试题为这一方法提供了广阔的用武之地. 请看以下几方面的应用. 一、用等积变换的基本形式求几何体的体积 等积变换的基本形式有两种,即几何体的“自身变换”和“割'补变换”.求J-L何体体积的高...
安吉县17043361919： 如何快速掌握抛物线的做题方案 - ？
苍玛滋心： 1.理解障碍 (1)对抛物线定义的理解 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握: (i)抛物线的定义还可叙述为:“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的...
安吉县17043361919： 谁有初一到初二的数学重点知识和定义的整理 - ？
苍玛滋心： 第一章 实数 ★重点★ 实数的有关概念及性质,实数的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 1.数的分类及概念 数系表: 说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏) 2)有标准 2.非负数:正实数与零的统称.(表为:x≥0) 常见的非负数有: 性质:若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0. 3.倒数: ①定义及表示法 ②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.01;a>1时,1/a0时, >0;②a0(n是偶数), 0)(正用、逆用) 10.根式运算法则:⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化:A. ;B. ;C. . 11.科学记数法: (1≤ab、ab、ax
安吉县17043361919： (1)点A(2, - 4)在以原点为顶点,坐标轴为对称轴的抛物线上,? ？
苍玛滋心： 试题答案:(1)点A(2,-4)在第四象限,设抛物线方程为 y2=2px ①,或 x2=-2py ②,将点A(2,-4)代入①解得 p=4,将点A(2,-4)代入②解得 p=12,故抛物线的方程为:y2=8x,或 x2=-y.(2)设双曲线的方程为 y2-3x2=λ,将点(1,1)代入可得 λ=-2,故答案为 3x22-y22=1.
安吉县17043361919： 已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y^2=2? ？
苍玛滋心： 已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y^2=2px(p>0)上,求这个等边三角形的边长 很明显,另外两个顶点关于x轴对称. 设其中位于x轴上方的顶点的坐标为A(x,√(2px)),那么位于x轴下方的顶点坐标为B(x,-√(2px)) 所以,等边三角形的边长为AB=2√(2px) 而,等边三角形的边长还=OA=√[(x-0)^2+(√2px-0)^2] 所以:OA^2=AB^2 则: 4*2px=x^2+2px 即:x^2=6px 所以:x=6p 所以:等边三角形的边长AB=2√(2px)=2√(2p*6p)=4√3p
安吉县17043361919： 三角函数的公式和运用 - ？
苍玛滋心： 1、先弄懂特殊角、正弦、余弦、正切的定义、性质; 2、先弄懂正弦定理、余弦定理等的定义、性质、运用; 3、弄懂和、差、倍、半等诱导公式; 4、多练习、熟悉运用.
安吉县17043361919： 如何运用定积分求不规则平面图形的面积? ？
苍玛滋心： 求直线y=2x+3与抛物线y=x²所围图形的面积.解:先求出直线与抛物线的交点的坐标:令x²=2x+3,得x²-2x-3=(x-3)(x+1)=0;故得交点的横坐标为:x₁=-1,x₂=3;故所围面积A=∫(2x+3-x²)dx=[x²+3x-(1/3)x³]=(9+9-9)-(1-3+1/3)=32/3.
安吉县17043361919： 抛物线中的三角形P在抛物线y^2=4x上F是焦点,A(5,4) ？
苍玛滋心： 抛物线焦点F(1,0),A(5,4),AF为定值. 三角形APF周长最小,即PA+PF值最小. PF等于P到抛物线准线x=-1的距离, 即PA+PF的最小值等于A到准线x=-1的距离,A(5,4) 此时,AP方程应该为y=4, 代入y^2=4x中,P(4,4), PA=1,PF边上高是A到x轴距离4, 三角形APF的面积是(1/2)*1*4=2.
安吉县17043361919： 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴.(1)若抛物线上的点M( - ? ？
苍玛滋心： 试题答案:(1)设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),∵抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离为5,∴p2-(-3)=5,∴p=4.∴抛物线的方程为:为y2=-8x,由m2=-8*(-3)=24得:...
