二项式定理展开式公式
如下图所示。
二项式定理(英语:binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。
在阿拉伯,10世纪,阿尔 ·卡拉吉已经知道二项式系数表的构造方法:每一列中的任一数等于上一列中同一行的数加上该数上面一数。11~12世纪奥马海牙姆将印度人的开平方、开立方运算推广到任意高次,因而研究了高次二项展开式。
13世纪纳绥尔丁在其《算板与沙盘算法集成》中给出了高次开方的近似公式,并用到了二项式系数表。15世纪,阿尔 ·卡西在其《算术之钥》中介绍了任意高次开方法,并给出了直到九次幂的二项式系数表,还给出了二项式系数表的两术书中给出了一张二项式系数表,其形状与贾宪三角一样。
16世纪,许多数学家的书中都载有二项式系数表。1654年,法国的帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理,因此算术三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年,英国的牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形。
18世纪,瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。
二项式展开公式:(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。
二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子,由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中,二项式系数是一些特殊的组合数,与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项,而系数最大的项却不一定是中间项。
性质:
(1)项数:n+1项。
(2)第k+1项的二项式系数是。
(3)在二项展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。
(4)如果二项式的幂指数是偶数,中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的的二项式系数最大,并且相等。
二项式展开公式:(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n,二项式定理也叫做牛顿二项式定理,是牛顿在十七世纪六十年代提出的,该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。
用数学归纳法证明二项式定理:
证明:当n=1时,左边=(a+b)1=a+b
右边=C01a+C11b=a+b;左边=右边
假设当n=k时,等式成立,即(a+b)n=C0nan+C1n a(n-1)b+…+Crn a(n-r)br+…+Cnn bn成立;
则当n=k+1时, (a+b)(n+1)=(a+b)n*(a+b)=[C0nan+C1n a(n-1)b+…+Crn a(n-r)br+…+Cnn bn]*(a+b)
=[C0nan+C1n a(n-1)b+…+Crn a(n-r)br+…+Cnn bn]*a+[C0nan+C1n a(n-1)b+…+Crn a(n-r)br+…+Cnn bn]*b
=[C0na(n+1)+C1n anb+…+Crn a(n-r+1)br+…+Cnn abn]+[C0nanb+C1n a(n-1)b2+…+Crn a(n-r)b(r+1)+…+Cnn b(n+1)]
=C0na(n+1)+(C0n+C1n)anb+…+(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br+…+(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
=C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…+Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时,等式也成立;
二项展开式的性质:
1、项数: n+1项;
2、第k+1项的二项式系数是Cₙᵏ;
3、在二项展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系数相等;
4、如果二项式的幂指数是偶数,中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数
是奇数,中间两项的的二项式系数最大,并且相等。
所以对于任意正整数,等式都成立。
16世纪,许多数学家的书中都载有二项式系数表。1654年,法国的帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理,因此算术三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年,英国的牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形。
18世纪,瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。
艾萨克·牛顿简介:
艾萨克·牛顿(1643年1月4日—1727年3月31日),爵士,英国皇家学会会长,英国著名的物理学家、数学家,百科全书式的“全才”,著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。
牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理,它适用于任何幂。他发现了牛顿恒等式、牛顿法,分类了立方面曲线(两变量的三次多项式),为有限差理论作出了重大贡献,并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋近了调和级数的部分和(这是欧拉求和公式的一个先驱),并首次有把握地使用幂级数和反转(revert)幂级数。他还发现了π的一个新公式。
二项式定理展开式公式是什么?
二项式定理展开式公式为:^n = a^n + Ca^b + Ca^b^2 + ... + Ca^b^i + ... + b^n。二项式定理是用来展开形如^n的式子,揭示了该式子与二项系数之间的密切联系。定理的展开式清楚地表明了如何从单项式构建多项式的所有可能方式。具体到每一个项来说,它们由系数和a、b的幂次相乘得...
二项式展开式奇数项和偶数项的和公式
在二项式展开定理中,奇数项的和与偶数项的和的公式如下:1. 奇数项的和:奇数项是指展开式中指数为奇数的项,例如(a + b)^1、(a + b)^3、(a + b)^5等。奇数项的和可以用以下公式表示:奇数项和 = (a + b)^n - (a - b)^n \/ 2 2. 偶数项的和:偶数项是指展开式中指数为...
牛顿二项公式展开式是什么?
二项式定理论述了(a+b)n的展开式。人们只要有初步的代数知识和足够的毅力,便可以得到如下公式,(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。二项式定理(英语:Binomial theorem)又称牛顿二项式定理,定理给出两个数之和的整数次幂诸...
二项式定理展开式公式
二项式定理展开式公式详解二项式定理是一个基本的数学工具,它描述了两个数之和的任意整数次幂如何展开为一系列项的和。这个公式表述为:(a+b)^n = a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + b^n。牛顿二项式定理是牛顿在17世纪的重要贡...
二次项展开式怎么求?
以下是两种常用的方法:1. 二项式定理:二项式定理表达了一个二次项的展开式。对于一个二次项 (a + b)^2,展开式为:(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2其中,a和b是任意实数或变量。例如,要展开 (x + 2)^2,可以使用二项式定理:(x + 2)^2 = x^2 + 2(x)(2) + 2^2= ...
二项式定理及通项公式二项式展开式通项公式
关于二项式定理及通项公式,二项式展开式通项公式这个很多人还不知道,今天来为大家解答以上的问题,现在让我们一起来看看吧!1、1。2、二项式系数的通项公式是:C(n,r)[r在右上角]——第(r+1)项的系数。3、2。4、二项式的通项公式是:C(n,r)a的(n-r)次方b的r次方——第(r+1)项...
二次项定理展开式公式
二次项定理展开式为:(a+b)^n=Cn^0*a^n+Cn^1*a^n-1b^1+…+Cn^r*a^n-rb^r+…+Cn^n*b^n(n∈N*)。右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式,其中的系数Cn^r(r=0,1,……n)叫做二次项系数,式中的Cn^r*a^n-rb^r叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项为...
二项式定理
以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的(此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交)。牛顿写道:项式的“指数是整数还是(比如说)分数,是正数还是负数”的问题。公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。对于那些见过现代...
多次项展开式系数通用公式是什么?
多次项展开式系数公式是T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)*b^k。二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子,由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中,二项式系数是一些特殊的组合数,与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项...
二项展开式的公式是什么?
n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n.二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n 式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合数=n!\/(n-i)!i!
扈使山香:[答案] 在二项式定理(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,r)a^(n-r)b^r+...+C(n,n)b^n
于洪区18870282633: 二项式定理公式和展开式通式是什么? - ?
扈使山香:[答案] (a+b)^n=a^n+[C(n,1)]a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)b^2+……+C(n-1,n)ab^(n-1)+b^n 通项T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)*b^k
于洪区18870282633: 二次项定理展开式公式 ?
扈使山香: 二次项定理展开式公式:(a+b)1=a+b.二项式定理(英语:binomialtheorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出.该定理给出两个数...
于洪区18870282633: 二项式展开定理中奇数项的和与偶数项的和的公式分别是? - ?
扈使山香:[答案] (a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2+…+anbn,设 A=a0+a2+a4+…,B=a1+a3+a5+…,(即A为展开式中各奇数项的系数和,B为展开式中各偶数项的系数和).则:令a=b=1,得A+B=2n…………(1)a=1,b=-1,得A-B=0…………(2)由(1)(2...
于洪区18870282633: 二项展开式的通项公式并解释各字母含义 - ?
扈使山香:[答案] 二项展开式的通项公式(a+b)^n展开式中的第r+1项是T(r+1)=C(n,r)a^(n-r)b^r T(r+1)表示二项展开式的第r+1项C(n,r)表示n个数中取r个数的组合^表示次方,表示后面的数是前面的数的上标,次方的意思
于洪区18870282633: 展开式的通项公式 ?
扈使山香: 展开式的通项公式为:T(r+1)=C(r,n)a^nb^(n-r).二项展开式是依据二项式定理对(a+b)^n进行展开得到的式子.在二项式展开式中,二项式系数是一些特殊的组合数.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的通项公式.
于洪区18870282633: 二项展开式系数和公式 ?
扈使山香: 二项展开式系数和公式:(0,n)+C(1,n)+…+C(n,n)=2^n.二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子,由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出.二项展开式是高考的一个重要考点.系数(coefficient),是指代数式的单项式中的数字因数.单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数.通常系数不为0,应为有理数.
于洪区18870282633: 广义二项式定理的内容是什么 展开形式是什么 - ?
扈使山香:[答案] 广义二项式定理?我想lz指的应该是泰勒展开式吧.普通的牛顿二项式定理仅限于形如(x+y)^n的展开,这里的n是正整数,而泰勒展开式则可以对任意的一个实数n展开上面那个式子.事实上,可以证明,对于任意一个实数范围内的单变量各阶连续可导...
于洪区18870282633: 给说下有关高中数学二项式的所有公式 及技巧,我找不到 谢谢啦 明天高考 - ?
扈使山香:[答案] 二次项定理 a+b)n次方=C(n,0)a(n次方)+C(n,1)a(n-1次方)b(1次方)+…+C(n,r)a(n-r次方)b(r次方)+…+C(n,n)b(n次方)(n∈N*) C(n,0)表示从n个中取0个, 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式,其中的系数Cnr(r=0,1,……n)...